§ 9.1. Многоугольники: построение правильных многоугольников по заданной стороне

Многоугольники: построение правильных многоугольников по заданной стороне

Правильный многоугольник - выпуклый многоугольник с равными сторонами и равными углами 


Примерами правильных многоугольников являются равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и другие. 

Правильные многоугольники уже в глубокой древности считались символом красоты и совершенства. Из всех многоугольников с заданным числом сторон наиболее приятен для глаза правильный многоугольник, у которого равны все стороны и равны все углы.

Практическая задача построения таких многоугольников с помощью циркуля и линейки имеет давнюю историю. Древнегреческий математик Евклид в своем труде по геометрии приводит способы построения правильного треугольника, четырехугольника (квадрата), пятиугольника и пятнадцатиугольника, а также всех многоугольников, которые получаются из них удвоением числа сторон (не обязательно однократным). Следовательно, древние греки могли строить правильные многоугольники с числом сторон, равным 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16 и т. д. Долгое время математиков занимал вопрос о построении правильного семиугольника. Лишь в 1796 г. К. Ф. Гаусc доказал принципиальную невозможность этого построения с помощью только циркуля и линейки. 

Построение правильных многоугольников, т. е. деление окружности на равные части, позволяло решать практические задачи (рис. 35.2): создание колеса со спицами, деление циферблата часов, строительство античных театров и создание астрономических сооружений.

Построение квадрата по заданной его стороне L

Последовательность построения
1. На произвольной прямой строят отрезок AD=L.
2. Из любого конца отрезка, например, из точки A, восстанавливают перпендикуляр и на нем откладывают отрезок AB = L.
3. Из точек B и D как из центров проводят дуги радиусом R = L и на пересечении их отмечают точку С.
4. Соединив прямыми точку C с точками B и D, получают квадрат с заданной стороной L.

Как вы считаете, какие построения необходимо произвести, чтобы получить правильный треугольник с заданной стороной?

Построение правильного шестиугольника по заданной его стороне L
Известно, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу окружности, описанной вокруг него.
1. На произвольной прямой строят отрезок AB=L. Из концов отрезка АВ как из центров проводят две дуги радиусом R=L до взаимного пересечения их в точке О.
2. Из точки О проводят окружность тем же радиусом R=L и делят ее на шесть равных частей. Точки деления являются вершинами правильного шестиугольника со стороной L.

Используя последовательность построения шестиугольника, постройте правильный восьмиугольник.