§ 11. Модель «хищник-жертва»

11.2. Математическая модель «хищник-жертва»

Обозначим x(t) количество особей популяции жертв, а y(t) — количество особей популяции хищников в момент времени t. Пусть также v(t) — скорость роста численности популяции жертв, а w(t) — скорость роста численности популяции хищников. Рассмотрим математическую модель «хищник-жертва», в которой для популяции жертв используется модель ограниченного роста.

v(t) = (a – bx(t))x(t) – сx(t)y(t);

w(t) = – dy(t) + fx(t)y(t).

Составляющие и параметры модели рассмотрены в примере 11.3.

Для получения расчетных формул применяем метод дискретизации времени с шагом t (пример 11.4). Тогда получаем формулы

x(ti +1) = x(ti ) + v(ti)t,

y(ti +1) = y(ti ) + w(ti)t.

Считаем, что шаг времени t = 1 и совпадает с периодичностью наблюдений.

Для i = 0 получаем основные формулы расчетной модели

x(1) = x(0) + (a – bx(0))x(0) – сx(0)y(0);

y(1) = y(0) – dy(0) + f x(0)y(0).

Пример 11.3. В первом уравнении модели справа первое слагаемое

(a — bx(t))x(t)

задает рост численности жертв, а второе

— сx(t)y(t)

— ее сокращение от поедания хищниками.

Во втором уравнении модели справа первое слагаемое

— dy(t)

задает сокращение численности хищников за счет смертности, а третье

fx(t)y(t)

— ее рост за счет питания жертвами.

Параметры модели:

a — коэффициент естественного прироста популяции жертв (a > 0);

b — коэффициент смертности жертв от внутривидовой конкуренции (b > 0);

c — коэффициент смертности жертв от хищников (c > 0);

d — коэффициент смертности хищников (d > 0);

f — коэффициент, определяющий прирост численности хищников (f > 0).

Пример 11.4. Пусть начальный момент t0 = 0, последующие моменты t1, t2, t3, …, и скорости v(t) и w(t) меняются только в эти моменты времени.