§ 11. Модель «хищник-жертва»
Сайт: | Профильное обучение |
Курс: | Информационные технологии. 11 класс (Базовый уровень) |
Книга: | § 11. Модель «хищник-жертва» |
Напечатано:: | Гость |
Дата: | Воскресенье, 28 Апрель 2024, 15:30 |
11.1. Основные понятия
Рассмотрим систему совместного существования двух популяций, которая называется системой «хищник-жертва». Считается, что популяции обитают в изолированной среде, которая обеспечивает всем необходимым только одну популяцию (жертвы). А вот особи второй популяции (хищники) питаются только особями первой популяции (пример 11.1). Для исследования динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» построим математическую модель (пример 11.2), а затем компьютерную модель. |
Пример 11.1. В природе система «хищник-жертва» взаимодействия популяций встречается достаточно часто. Например, в пруду обитают караси и щуки. В пруду достаточно питания карасям, а щуки питаются только карасями. По такой же системе взаимодействуют зайцы и волки, мыши и лисы и т. д. Пример 11.2. Впервые математическая модель системы «хищник-жертва» была создана в 1925-1926 годах и носит имена ее создателей — модель Ло́тки - Вольте́рры. |
11.2. Математическая модель «хищник-жертва»
Обозначим x(t) количество особей популяции жертв, а y(t) — количество особей популяции хищников в момент времени t. Пусть также v(t) — скорость роста численности популяции жертв, а w(t) — скорость роста численности популяции хищников. Рассмотрим математическую модель «хищник-жертва», в которой для популяции жертв используется модель ограниченного роста. v(t) = (a – bx(t))x(t) – сx(t)y(t); w(t) = – dy(t) + fx(t)y(t). Составляющие и параметры модели рассмотрены в примере 11.3. Для получения расчетных формул применяем метод дискретизации времени с шагом t (пример 11.4). Тогда получаем формулы x(ti +1) = x(ti ) + v(ti)t, y(ti +1) = y(ti ) + w(ti)t. Считаем, что шаг времени t = 1 и совпадает с периодичностью наблюдений. Для i = 0 получаем основные формулы расчетной модели x(1) = x(0) + (a – bx(0))x(0) – сx(0)y(0); y(1) = y(0) – dy(0) + f x(0)y(0). |
Пример 11.3. В первом уравнении модели справа первое слагаемое (a — bx(t))x(t) задает рост численности жертв, а второе — сx(t)y(t) — ее сокращение от поедания хищниками. Во втором уравнении модели справа первое слагаемое — dy(t) задает сокращение численности хищников за счет смертности, а третье fx(t)y(t) — ее рост за счет питания жертвами. Параметры модели: a — коэффициент естественного прироста популяции жертв (a > 0); b — коэффициент смертности жертв от внутривидовой конкуренции (b > 0); c — коэффициент смертности жертв от хищников (c > 0); d — коэффициент смертности хищников (d > 0); f — коэффициент, определяющий прирост численности хищников (f > 0). Пример 11.4. Пусть начальный момент t0 = 0, последующие моменты t1, t2, t3, …, и скорости v(t) и w(t) меняются только в эти моменты времени. |
11.3. Создание компьютерной модели «хищник-жертва»
Оценку динамики численности популяций удобнее проводить на графиках, поэтому компьютерную модель создадим с помощью электронных таблиц. Данные компьютерной модели разместим по схеме примера 11.5. Заполним формулами первые две строки рабочей таблицы. A11: =0 B11: =A4 C11: = H4 A12: =A11+1 B12: =B11+($A$5–$A$6*B11)*B11– $A$7*B11*C11 C12: =C11–$H$5*C11+$H$6*B11*C11 Диапазоном A12:C12 заполним вниз столбцы расчетной таблицы до строки 361 включительно. Для ячеек расчетной таблицы следует задать формат Числовой с числом десятичных знаков 0 (целые числа). Выведем теперь на лист две диаграммы с графиками. Сначала выделим диапазон A11:C361 и вставим на лист диаграмму Точечная ( — Точечная с гладкими кривыми). Изменим название диаграммы на название «Графики численности популяций», изменим имена рядов на имена «Жертвы» и «Хищники» (см. п. 10.6) и выведем Легенду в нижнюю часть диаграммы. Результат приведен в примере 11.6. Для диапазона B11:C361 выведем еще одну диаграмму Точечная ( — Точечная с гладкими кривыми). Изменим название новой диаграммы и подписи названия осей в соответствии с диаграммой примера 11.7. Координаты (x, y) любой точки графика зависимости — это пара чисел. Координаты точки на графике зависимости для некоторого момента времени t показывают численность жертв x(t) и соответствующую ей численность хищников y(t) в системе «хищник-жертва» (пример 11.8). Разным моментам времени соответствуют разные точки графика. |
Пример 11.5. Левая часть схемы компьютерной модели: Правая часть схемы компьютерной модели: Ячейки диапазонов B4:B7 и I4:I6 сначала следует оставить пустыми. По схеме на этих ячейках установлен элемент управления Полоса прокрутки. Пример 11.6. Диаграмма «Графики численности популяций»: Графики численности популяций демонстрируют колебания, которые затухают с течением времени (уменьшение численности). Пример 11.7. Диаграмма «График зависимости между численностями популяций». Пример 11.8. С увеличением времени t, точка смещается по графику в направлении против часовой стрелки, построенной из условного центра графика. Соответственно меняются численности жертв и хищников. |
11.4. Добавление полос прокрутки
Элемент управления Полоса прокрутки позволяет щелчками мыши по его элементам менять значение связанной с ним ячейки. Этим элементом удобно пользоваться, чтобы быстро задавать в модели новые значения начальной численности или параметра. Вставим элемент управления Полоса прокрутки в каждую ячейку диапазонов B4:B7 и I4:I6 по схеме модели в примере 11.5. Для вставки элемента на вкладке Разработчик в группе Элементы управления выбирают инструмент Вставить, а на его панели выбирают элемент управления формы Полоса прокрутки (пример 11.9). Вставка элемента управления Полоса прокрутки проводится по аналогии со вставкой элемента управления Флажок в модель динамики численности популяций (см. п. 10.7). Каждую Полосу прокрутки следует настроить. Чтобы настроить Полосу прокрутки, по ней щелкают правой клавишей мыши, вызывают контекстное меню и в нем выбирают пункт Формат объекта … Появляется диалоговое окно Формат элемента управления, в котором надо открыть вкладку Элемент управления с несколькими полями для заполнения (пример 11.10). Настроим Полосу прокрутки на ячейке B4. В поле Текущее значение вносим начальное значение из ячейки A4 на схеме примера 11.5. Остальные поля заполняем данными первой строки таблицы примера 11.11. Аналогично настраиваем Полосу прокрутки в ячейке I4. Также настраиваем остальные Полосы прокрутки, но Текущее значение не задаем и замечаем, что полосы связываются с ячейками строки 8 электронной таблицы, вдалеке от начальных значений на схеме модели. Это сделано намеренно (пример 11.12). |
Пример 11.9. Верхний элемент управления формы Полоса прокрутки на панели инструмента Вставить. Пример 11.10. Диалоговое окно Формат элемента управления: Пример 11.11. Таблица данных для настройки Полос прокрутки: Поле Связь с ячейкой показывает ячейку, в которую Полоса прокрутки выдает свое значение. Щелчками мыши по элементам Полосы прокрутки это значение меняется. Сразу надо проверить, как работают элементы настроенной Полосы прокрутки. Пример 11.12. Дело в том, что на схеме начальные значения этих Полос прокрутки являются дробными числами, а в настройках элемента задать дробные значения невозможно. Поэтому целые значения таких Полос прокрутки выведены во вспомогательные ячейки строки 8. В ячейки раздела исходных данных введем формулы, которые переводят целые значения Полос прокрутки в дробные. A5: =A8/100 H5: =D8/100 A6: =B8/100000 H6: =E8/10000 A7: =C8/1000 |
Упражнения
1. Повторите на компьютере рассмотренное в параграфе построение компьютерной модели «хищник-жертва».
2. Проверьте адекватность модели «хищник-жертва». С исходными данными, приведенными на схеме в упражнении 1, ячейки строки 30 расчетной таблицы должны получить значения:
3. В модели «хищник-жертва», изменяя начальную численность жертв от 100 до 1000 с шагом 100, проанализируйте изменения графиков численности и графика зависимости для системы «хищник-жертва».
4. В модели «хищник-жертва», изменяя начальную численность хищников от 20 до 100 с шагом 20, проанализируйте изменения графиков численности и графика зависимости для системы «хищник-жертва».
5. В модели «хищник-жертва», изменяя значение коэффициента естественного прироста жертв от 0,01 до 0,1 с шагом 0,01, найдите диапазон значений коэффициента, при которых график зависимости для системы «хищник-жертва» имеет вид спирали.