§ 10. Моделирование динамики численности популяций

10.3. Модель ограниченного роста

Наблюдения показали, что модель неограниченного роста справедлива только на ограниченных промежутках времени. Постоянный неограниченный рост популяции невозможен, прежде всего, из-за конкуренции внутри популяции за ресурсы питания.

Осознание этого фактора привело к созданию математической модели ограниченного роста (пример 10.5).

В обозначениях предыдущего пункта модель ограниченного роста выражается уравнением:

v(t) = (a – bx(t))x(t),

где   a — коэффициент естественного прироста;

b — коэффициент смертности от вну­тривидовой конкуренции (пример 10.6).

Еще раз используем метод дискретизации времени с формулой

x(ti +1) = x(ti ) + v(ti)∆t.

Подставляем выражение для v(ti), считаем ∆t = 1, t0 = 0, ti  = i  и получаем

x(i +1) = x(i) + (a – bx(i))x(i).

Откуда при i = 0 получим расчетную формулу для электронных таблиц

x(1) = x(0) + (a – bx(0))x(0).

Пример 10.5. Модель ограниченного роста предложил в 1848 г. бельгийский математик Пьер Франсуа Ферхюльст.

Идея Ферхюльста состояла в том, что любая популяция, развиваясь, достигает своей максимальной численности, зависящей от факторов внешней среды.

Пример 10.6. Коэффициенты a и b математической модели ограниченного роста определяют максимальную численность популяции как величину, равную дроби . А выражение a — bx(t) можно понимать как переменный коэффициент прироста.