Фізіка. 11 клас

Пры гарманічных ваганнях поўная механічная энергія сістэмы застаецца нязменнай, хоць скорасць грузу і яго зрух непарыўна змяняюцца з цягам часу. Якія ператварэнні энергіі назіраюцца ў сістэме пры гэтым? Як вылічыць кінетычную або патэнцыяльную энергію ў любы момант часу?

Прывесці ў рух вагальную сістэму можна або шляхам адхілення яе ад становішча раўнавагі, або надаваннем целу пачатковай скорасці (г. зн. пасродкам штуршка). У першым выпадку мы надаём сістэме дадатковую патэнцыяльную энергію, а ў другім — дадатковую кінетычную энергію.
Калі сілу трэння можна не ўлічваць, то пры ваганнях механічная энергія сістэмы захоўваецца. Пры гэтых умовах для дадзенай сістэмы выконваецца закон захавання механічнай энергіі:

.

Разгледзім ператварэнні энергіі пры ваганнях матэматычнага маят­ніка. Выберам пачатак адліку патэнцыяльнай энергіі такім чынам, каб у становішчы раў­на­вагі яна была роўна нулю. Пры адхіленні маятніка на вугал  (мал. 19, 20), які адпавядае яго максімальнаму зруху ад становішча раўнавагі (цела ў пункце С), патэнцыяльная энергія маятніка максімальная, а кінетычная энергія роўна нулю:

.

Паколькі ў момант праходжання ста­новішча раўнавагі (цела ў пункце В) патэнцыяльная энергія маятніка роўна нулю W_п = 0, то з закону захавання механічнай энергіі вынікае (гл. мал. 20), што (W_к)_В= (W_п)_С, г. зн. што кінетычная энергія маятніка (а значыць, і ско­расць) у гэты момант будзе максімальная:

.

Такім чынам, у становішчы раўнавагі патэнцыяльная энергія маятніка цалкам пераходзіць у кінетычную, а ў становішчах максімальнага адхілення — кінетычная энергія цалкам пераходзіць у патэнцыяльную. Прыраўнаваўшы поўныя механічныя энергіі маятніка ў пунктах С і В, атрымаем:

.

(1)

Адсюль знойдзем модуль максімальнай скорасці маятніка:

.

(2)

У любым прамежкавым становішчы

Пакажам, што аналагічныя ператварэнні энергіі маюць месца і для спружыннага маят­ніка (мал. 21).
У крайніх пунктах, калі x = ±A і скорасць маятніка v = 0, кінетычная энергія гру­зу цалкам пераходзіць у патэнцыяльную энергію дэфармаванай спружыны (гл. мал. 21, а, г)

Такім чынам, механічная энергія маятніка прапарцыянальна квадрату амплітуды яго ваганняў.
У становішчы раўнавагі, калі x = 0, уся энергія маятніка пераходзіць у кінетычную энергію грузу (гл. мал. 21, д):

дзе υ_max — модуль максімальнай скорасці грузу пры ваганнях. У прамежкавых пунктах поўная энергія:

З улікам выразаў кінематычнага закону руху грузу  и проекции скорости груза , а таксама для  , знаходзім яго патэнцыяльную энергію 

і кінетычную энергію:

у адвольны момант часу t .

Тады поўная механічная энергія спружыннага маятніка ў гэты ж момант часу ёсць велічыня пастаянная і роўная:

Такім чынам, пачатковае зрушэнне  вызначае максімальную патэнцыяльную, а скорасць υ_max вызначае максімальную кінетычную энергію цела, што вагаецца.

Пры адсутнасці ў сістэме страт энергіі працэс ваганняў суправаджаецца толькі пераходам патэнцыяльнай энергіі ў кінетычную і назад. Такія ператварэнні энергіі адбываюцца
з удвая большай частатой (мал. 22, а, б), чым самі ваганні. Сапраўды, двойчы за перыяд механічная энергія будзе цалкам ператварацца ў патэнцыяльную (у двух крайніх становішчах) і двойчы за перыяд — у кінетычную (пры праходжанні праз становішча раўнавагі) (мал. 22, в).