§ 2. Спружынны і матэматычны маятнікі

Груз, падвешаны на нітцы, які вагаецца ў полі цяжару Зямлі, а таксама груз, прымацаваны да спружыны — прыклады найбольш простых механічных вагальных сістэм. Разгледзім фізічныя працэсы, якія адбываюцца ў такіх сістэмах.

Сукупнасць некалькіх цел утвараюць механічную сістэму. Целы, якія не ўваходзяць у сістэму, называюцца знешнімі.
Другі закон Ньютана (асноўны закон дынамікі): паскарэнне, якое набывае цела пад дзеяннем прыкладзеных да яго сіл, адваротна прапарцыянальна масе цела, накіравана па выніковай гэтых сіл і прама прапарцыянальна яе модулю:

Закон Гука: пры пругкіх дэфармацыях сціскання і расцяжэння модуль сілы пругкасці прама прапарцыянальны модулю змянення даўжыні цела:

begin mathsize 18px style F subscript пр equals k open vertical bar l minus l subscript 0 close vertical bar equals k open vertical bar increment l close vertical bar end style

дзе k — жорсткасць цела, l0 — даўжыня недэфармаванага цела, l — даўжыня дэфармаванага цела. Напрамак сілы пругкасці заўсёды процілеглы напрамку зруху пры дэфармацыі.

Якія ўмовы неабходны для ўзнікнення ваганняў?
Вынікі доследаў паказваюць, што для ўзнікнення і існавання меха­нічных ваганняў цела першапачаткова неабходна прывесці ў рух. Гэта можна зрабіць, адхіліўшы яго ад становішча раўнавагі ці надаўшы яму пачатковую скорасць пасродкам штуршка. Гэтым адхіленнем ці штуршком вызна­чаецца амплітуда ваганняў. Акрамя таго, пры вывядзенні цела са ста­новішча раўнавагі ў вагальнай сістэме павінна ўзнікаць выніковая сіла, якая імкнецца вярнуць цела ў становішча раўнавагі.
Найпрасцейшая вагальная сістэма, якая складаецца з цела з прымацаванай да яго спружынай, што злучае цела і апору, называецца спружынным маятнікам. Спружына можа размяшчацца як гарызантальна (гарызантальны спружынны маятнік), так і вертыкальна (вертыкальны спружынны маятнік).
Разгледзім ваганні гарызантальнага спру­жыннага маятніка.

Няхай цела масай m, што ляжыць на гладкай гарызантальнай паверхні, прымацавана да свабоднага канца бязважкай спружыны жорсткасцю k (мал. 13, а). Другі канец спружыны прымацаваны да нерухомай апоры.
Выведзем цела са становішча раўнавагі, зрушыўшы яго, напрыклад, управа на адлегласць x (гл. мал. 13, б). Пры гэтым згодна з законам Гука ўзнікне сіла пругкасці  прыкладзеная да цела і накіраваная ўлева.
Згодна з другім законам Ньютана будзе выконвацца роўнасць:

 (1)

З улікам закона Гука з (1) атрымліваем ураўненне для праекцый велічынь на вось Ox (гл. мал. 13, б):
(2) 

Згодна з (2) паскарэнне цела масай m прапарцыянальна дзеючай сіле і накіравана да становішча раўнавагі. Пры гэтым узнікаюць ваганні цела. Кожныя паўперыяды напрамак руху змяняецца на процілеглы. Зрух грузу адбываецца то ўправа, то ўлева адносна становішча раўнавагі, г. зн. ён мяняе знак. Такім чынам, і праекцыя сілы згодна з (2) таксама мяняе знак.
Перапішам атрыманую суадносіну (2) у выглядзе:

                      
(3)

Ураўненне (3) называецца ўраўненнем гарманічных ваганняў спружыннага маятніка.
Такім чынам, неабходнай умовай узнікнення гарманічных ваганняў з’яўляецца дзеянне вяртальнай сілы, накіраванай да становішча раўнавагі і прама прапарцыянальнай зруху цела ад становішча раўнавагі. Гэта вяртальная сіла заўсёды накіравана да становішча раўнавагі, аб чым «гаворыць» мінус ва ўраўненні (2).
У становішчы раўнавагі вяртальная сіла роўна нулю (F = 0), паколькі x = 0. Таму калі ў гэтым становішчы цела, што вагаецца, спыніць, то ваганні знікнуць.
Разлікі паказваюць, а вынікі эксперыментаў пацвярджаюць, што пры апісаных умовах цела будзе выконваць ваганні з перыядам:
(4)

З улікам таго, што перыяд звязаны з цыклічнай частатой суадносінай , знаходзім:

. (5)

З формул (4) і (5) вынікае, што перыяд і частата гарманічных ваганняў спружыннага маятніка вызначаюцца масай грузу m і жорсткасцю спружыны k і не залежаць ад амплітуды яго ваганняў.
Адзначым, што перыяд і цыклічная частата ваганняў вертыкальнага спружыннага маятніка (мал. 14) таксама вызначаюцца па формулах (4) і (5).
Адной з найбольш распаўсюджаных вагальных сістэм з’яўляецца матэматычны маят­нік.

Матэматычным маятнікам называецца не­вялікае цела масай m, падвешанае на бязважкай нерасцяжной нітцы даўжынёй l, якое знаходзіцца ў полі сілы цяжару (мал. 15).

Разгледзім ваганні матэматычнага маятніка.
Адхіленне маятніка ад становішча раўнавагі будзем характарызаваць вуглом a (мал. 16), які ўтварае нітка з вертыкаллю. Пасля адхілення маятніка ад становішча раўнавагі на яго дзей­нічаюць дзве сілы: накіраваная вертыкальна ўніз сіла цяжару m g with rightwards arrow on top і накіраваная ўздоўж ніткі сіла пругкасці  Пад дзеяннем гэтых сіл цела рухаецца паскорана да становішча раўнавагі (пункт B). Прайшоўшы пункт B, цела працягвае рухацца, але яго скорасць паступова памяншаецца, ператвараючыся ў нуль у пункце, сіметрычным пункту А адносна вертыкалі. Пасля гэтага яно пачынае рухацца назад да пункта B. 

Згодна з другім законам Ньютана для руху маятніка можам запісаць:

(6)

У праекцыях на выбраныя восі каардынат Ox і Oy (гл. мал. 16) атрымліваем:

, (7)

(8)

Паколькі пры малых вуглах адхілення даўжыня дугі АВ ≈ х, то з ΔAOD знаходзім: 

,  

дзе х — адхіленне маятніка ад становішча раўнавагі, l — даўжыня маятніка. Падставіўшы выраз для сінуса ў (7), атрымаем:

(9)

Такім чынам, сілай, якая вяртае маятнік да ўстойлівага становішча раўнавагі пры ваганнях, з’яўляецца раўнадзейная сіл пругкасці яго ніткі і цяжару.
Пры малых вуглах адхілення маятніка праекцыя вектара паскарэння  і яе можна не ўлічваць, а cos space alpha space almost equal to 1, тады з ураўнення (8) вынікае Fпр ≈ mg. Значыць, ураўненне руху маятніка ўздоўж восі Ox запішацца ў выглядзе:

.

дзе ax — праекцыя паскарэння, якое надаецца грузу маятніка сілай пругкасці ніткі. Такім чынам атрымліваем ураўненне ваганняў матэматычнага маятніка:
(10)

Параўнаўшы суадносіны (10), (3) і (5), лёгка атрымаць формулу для цыклічнай частаты матэматычнага маятніка ў полі цяжару Зямлі:

. (11)

Перыяд малых ваганняў матэматычнага маятніка   у полі цяжару Зямлі вызначаецца па формуле Гюйгенса:

begin mathsize 18px style T equals fraction numerator 2 pi over denominator omega end fraction equals 2 pi square root of l over g. end root end style
(12)

Выкарыстаўшы суадносіны (4) і (11), ураўненні ваганняў спружыннага маятніка  і матэматычнага маятніка begin mathsize 18px style alpha subscript x plus g over L x equals 0 end style можна запісаць у аднолькавым выглядзе:
.
(13)

Такім чынам, залежнасці каардынат ад часу x(t), якія апісваюцца ўраўненнямі (5) і (6) з § 1, задавальняюць ураўненне (13), якое называецца ўраўненнем гарманічных ваганняў.
Як бачна з формул (11), (12), перыяд і цыклічная частата малых ваганняў матэматычнага маятніка не залежаць ад масы маятніка і амплітуды яго ваганняў, а вызначаюцца толькі яго даўжынёй і паскарэннем свабоднага падзення.

Галілеа Галілей першы эксперыментальна вызначыў, што перыяд малых ваганняў () матэматычнага маятніка даўжынёй l у полі сілы цяжару не залежыць ад яго масы m і амплітуды ваганняў (вугла пачатковага адхілення a). 

Адным з найважнейшых дасягненняў Хрысціяна Гюйгенса было вынаходства гадзінніка з маятнікам. Ён запатэнтаваў сваё вынаходства 16 ліпеня 1657 г. У 1673 г. пабачыла свет яго праца «Маятнікавы гадзіннік», у якой былі выкладзены тэарэтычныя асновы яго вынаходства. Менавіта пастаянства перыяду (частаты) ваганняў маятніка дазволіла выкарыстаць яго для стварэння гадзінніка.

Калі маятнік набывае дадатковае паскарэнне , абумоўленае, напрыклад, паскораным рухам пункта падвесу, то пры гэтым будзе змяняцца сіла пругкасці ніткі. У такім выпадку перыяд ваганняў маятніка будзе вызначацца па формуле

 

дзе  — «эфектыўнае паскарэнне», роўнае вектарнай рознасці .

Павышаная цікавасць да гарманічных ваганняў тлумачыцца тым, што яны шырока распаўсюджаны ў навуцы і тэхніцы (маятнікі, музычныя інструменты, святло, пераменныя токі і г. д.). Акрамя таго, гарманічныя ваганні маюць простае матэматычнае апісанне, а іх перыяд не залежыць ад амплітуды. Падкрэслім, што любы перыядычны рух можна разглядаць як вынік накладання простых гарманічных складаемых.

Уласцівасць незалежнасці перыяду ваганняў маятніка ід амплітуды называецца ізахроннасцю (ад грэч. εσος (ізас) — роўны і χρονος (хронас) — час). Такім чынам, ваганні спружыннага маятніка маюць уласцівасць ізахроннасці. Ізахроннасць ваганняў маятніка была адкрыта Галілеа Галілеем у 1583 г. пры вывучэнні руху грузу, падвешанага на нітцы.

У 1807 г. французскі фізік Жан Батыст Жазеф Фур’е (1768—1830) паказаў, што любы перыядычны працэс, якім бы складаным ён ні быў, можа быць раскладзены на складаючыя яго гарманічнага сiгнала.

У якасці прыкладу прывядзём мадэляванне прамавугольнага сігнала у выглядзе сумы гарманічных сігналіў з кратнымi частотамi  роўнымi 1 : 3 : 5 : 7… (мал. 16-1). Чым больш сігналаў розных частот складаюцца, тым больш дакладна форма канцавога сiгнала будзе адпавядаць зыходнай прамавугольнага сiгнала. Сігналы прамавугольнай формы шырока выкарыстоўваюцца для праверкі дынамікаў, мікрафонаў