§ 26. Алгебра логики
26.2. Логические операции
|
Рассмотрим основные логические операции — варианты обозначения (пример 26.3), таблицы истинности и логические элементы для каждой из логических операций (примеры 26.4 — 26.9). Логическое отрицание, или инверсия (лат. inversion — переворачивание), — логическая операция, которая меняет значение исходного высказывания на противоположное. Инверсия — унарная логическая операция, т. к. выполняется относительно одного высказывания (пример 26.4). Логические операции, которые выполняются относительно как минимум двух высказываний, называются бинарными. Рассмотрим основные из них. Логическое умножение, или конъюнкция (лат. conjunctio — соединение), — операция, соединяющая два или более высказываний при помощи логической связки ИЛИ. Результат операции может быть истинным только в том случае, если одновременно истинны исходные высказывания (пример 26.5). Логическое сложение, или дизъюнкция (лат. disjunction — разделение), — операция, соединяющая два или более высказываний при помощи логической связки ИЛИ. Результат операции будет истинным, если истинно хотя бы одно из исходных высказываний (пример 26.6). Дизъюнкция строгая (сложение по модулю два) — операция, соединяющая два высказывания ( А и В) при помощи логической связки ИЛИ, употребленной в исключающем смысле, и читается: «либо , либо ». Результат операции будет истинным, если истинно только одно из исходных высказываний (пример 26.7). Логическое следование, или импликация (лат. implisito — тесно связываю), — операция, соединяющая два высказывания (А и В), из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия. Читается: «Если А, то В», «А влечет В», «Из А следует В». Результат операции ложен только тогда, когда предпосылка есть истина, а следствие — ложь (пример 26.8). Равнозначность, или эквивалентность (лат. aequalis — равный и valentis — имеющий силу), — операция, позволяющая из двух высказываний (А и В) получить высказывание, которое читается так: «А равнозначно В». Эта операция может быть выражена связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «равносильно». Операция эквивалентности противоположна строгой дизъюнкции и имеет результат «истина» тогда и только тогда, когда значения переменных совпадают (пример 26.9). |
Пример 26.3. Варианты обозначений логических операций.
Пример 26.4. Инверсия.
Пример 26.5. Конъюнкция.
Пример 26.6. Дизъюнкция.
Пример 26.7. Дизъюнкция строгая.
«Этот треугольник тупоугольный или остроугольный» — высказывание истинно, если выполняется какое-то одно из условий. Пример 26.8. Импликация.
«Если 2 ∙ 2 = 4, то вода — это газ». Высказывание ложно, так как 2 ∙ 2 = 4 (предпосылка истинна), а вода не является газом (следствие ложно). Пример 26.9. Эквивалентность.
|
