§ 5. Ураўненне стану ідэальнага газу

Прыклады рашэння задач

Прыклад 1. Балон з газам, ціск якога p1 = 2,84 МПа, знаходзіўся ў неацепленым памяшканні, дзе тэмпература паветра t1 = 7 °С. Пасля таго як некаторая колькасць газу была зрасходавана, балон унеслі ў памяшканне, дзе тэмпература паветра t2 = 27 °С. Вызначце, якая частка газу была зрасходавана, калі пасля працяглага знаходжання балона ў ацепленым памяшканні ціск газу ў ім стаў p2 = 1,52 МПа.

Дадзена:

p1 = 2,84 МПа = 2,84 · 106 Па
T1 = 280 К, T2 = 300 К
p2 = 1,52 МПа = 1,52 · 106 Па

fraction numerator m subscript 1 space minus space m subscript 2 over denominator m subscript 1 end fraction — ?

Рашэнне. Калі не прымаць пад увагу цеплавое расшырэнне балона, то яго ёмістасць не змяняецца. Запішам ураўненне Клапейрона — Мендзялеева для пачатковага і канчатковага станаў газу, палічыўшы яго ідэальным:

p subscript 1 V space equals space m subscript 1 over M subscript 1 R T subscript 1,  p subscript 2 V space equals space m subscript 2 over M subscript 2 R T subscript 2,

адкуль

m subscript 1 space equals space fraction numerator p subscript 1 V M over denominator R T subscript 1 end fraction,  m subscript 2 space equals space fraction numerator p subscript 2 V M over denominator R T subscript 2 end fraction.

Тады

fraction numerator m subscript 1 space minus space m subscript 2 over denominator m subscript 1 end fraction space equals space fraction numerator begin display style fraction numerator V M over denominator R end fraction end style open parentheses begin display style p subscript 1 over T subscript 1 end style minus begin display style p subscript 2 over T subscript 2 end style close parentheses over denominator begin display style fraction numerator V M p subscript 1 over denominator R T subscript 1 end fraction end style end fraction space equals space 1 minus fraction numerator p subscript 2 T subscript 1 over denominator p subscript 1 T subscript 2 end fraction.

fraction numerator m subscript 1 space minus space m subscript 2 over denominator m subscript 1 end fraction space equals space 1 minus fraction numerator 1 comma 52 times 10 to the power of 6 space Па times 280 space straight К over denominator 2 comma 84 times 10 to the power of 6 space Па times 300 space straight К end fraction space equals space 0 comma 50.

Адказ: fraction numerator m subscript 1 space minus space m subscript 2 over denominator m subscript 1 end fraction space equals space 0 comma 50.

Адсылка да электроннага дадатку для павышанага ўзроўню

Прыклад 2. Вызначце шчыльнасць газавай сумесі, якая складаецца з вадароду масай m1 = 8,0 г і кіслароду масай m2 = 40 г, калі ціск і тэмпература сумесі р = 1,27 · 105 Па і t = 7 °С адпаведна.

Дадзена:
m1 = 8,0 г = 8,0 · 10−3 кг
m2 = 40 г = 4,0 · 10−2 кг
p = 1,27 · 105 Па
Т = 280 К
ρ — ?

Рашэнне. Шчыльнасць газавай сумесі

straight rho equals m over V

(1)

дзе m = m1 + m2 — маса сумесі, V — аб'ём сумесі. Паколькі вадарод і кісларод пры нізкіх тэмпературах хімічна не рэагуюць, то можна выкарыстаць закон Дальтана: р = р1 + р2, дзе р1 i р2 — парцыяльныя ціскі вадароду і кіслароду адпаведна.

Іх можна вызначыць, выкарыстаўшы ўраўненне Клапейрона — Мендзялеева:

p subscript 1 equals fraction numerator m subscript 1 R T over denominator M subscript 1 V end fraction i p subscript 2 equals fraction numerator m subscript 2 R T over denominator M subscript 2 V end fraction,

дзе M subscript 1 equals 2 comma 0 times 10 to the power of negative 3 end exponent space кг over моль i M subscript 2 equals 3 comma 2 times 10 to the power of negative 2 end exponent space кг over моль — малярныя масы вадароду і кіслароду адпаведна. Тады ціск сумесі

p equals fraction numerator R T over denominator V end fraction open parentheses m subscript 1 over M subscript 1 plus m subscript 2 over M subscript 2 close parentheses, а яе аб’ём V equals fraction numerator R T over denominator p end fraction open parentheses m subscript 1 over M subscript 1 plus m subscript 2 over M subscript 2 close parentheses.

Падставіўшы значэнні масы m сумесі і яе аб’ёму V у формулу (1), атрымаем:

straight rho equals fraction numerator open parentheses m subscript 1 plus m subscript 2 close parentheses p over denominator R T open parentheses begin display style m subscript 1 over M subscript 1 end style plus begin display style m subscript 2 over M subscript 2 end style close parentheses end fraction.

straight rho equals fraction numerator open parentheses 8 comma 0 times 10 to the power of negative 3 end exponent space кг plus 4 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space кг close parentheses times 1 comma 27 times 10 to the power of 5 space Па over denominator 8 comma 31 space begin display style fraction numerator Дж over denominator моль times straight К end fraction end style times 280 space straight К open parentheses begin display style fraction numerator 8 comma 0 times 10 to the power of negative 3 end exponent space кг over denominator 2 comma 0 times 10 to the power of negative 3 end exponent space begin display style кг over моль end style end fraction end style plus begin display style fraction numerator 4 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space кг over denominator 3 comma 2 times 10 to the power of negative 2 end exponent space begin display style кг over моль end style end fraction end style close parentheses end fraction equals 0 comma 50 space кг over straight м cubed.

Адказ: straight rho space equals space 0 comma 50 space кг over straight м cubed.