§ 21. Работа силы однородного электростатического поля. Потенциал

Примеры решения задач

Пример 1. Электростатическое поле создано неподвижным точечным зарядом Q. В точке, находящейся на расстоянии r = 80 см от заряда, потенциал поля φ = 0,42 кВ. Определите модуль силы, действующей со стороны поля на точечный заряд q = 1,5 нКл, помещённый в эту точку.

Дано:
r = 80 см = 0,80 м
φ = 0,42 кВ = 4,2 · 102 В
q = 1,5 нКл = 1,5 · 10–9 Кл
F — ?

Решение: Модуль силы, которой электростатическое поле заряда Q действует на заряд q2, можно определить, воспользовавшись законом Кулона:

F equals k fraction numerator Q q over denominator r squared end fraction.

(1)

Из формулы (21.5) для потенциала поля точечного заряда найдём значение заряда:

Q equals fraction numerator straight phi r over denominator k end fraction.

(2)

Подставив выражение (2) в формулу (1), получим:

F equals k fraction numerator q straight phi r over denominator k r squared end fraction equals fraction numerator q straight phi over denominator r end fraction.

F equals fraction numerator 1 comma 5 times 10 to the power of negative 9 end exponent space Кл times 4 comma 2 times 10 squared space straight В over denominator 0 comma 80 space straight м end fraction equals 7 comma 9 times 10 to the power of negative 7 end exponent space straight Н.

Ответ: F = 7,9 · 10–7 Н.

Материал повышенного уровня

Пример 2. Электрон, двигаясь со скоростью, модуль которой upsilon subscript 1 equals 4 comma 0 times 10 to the power of 5 space straight м over straight с, попадает в однородное электростатическое поле, направление линий напряжённости которого совпадает с направлением его скорости. Пройдя расстояние d = 2,0 см, электрон начинает двигаться в обратном направлении. Определите модуль напряжённости электростатического поля. Как изменилась потенциальная энергия взаимодействия электрона с полем к моменту перемены направления движения? Масса электрона mе = 9,1 · 10−31 кг.

Дано:
upsilon subscript 1 equals 4 comma 0 times 10 to the power of 5 space straight м over straight с
upsilon subscript 2 equals 0 space straight м over straight с
d = 2,0 см = 2,0 · 10−2 м
е = ‒1,6 · 10–19 Кл
mе = 9,1 · 10−31 кг
Е — ?
ΔWп — ?

Решение: До изменения направления движения сила однородного электростатического поля совершает отрицательную работу по торможению электрона: A equals fraction numerator m subscript e upsilon subscript 2 squared over denominator 2 end fraction minus fraction numerator m subscript e upsilon subscript 1 squared over denominator 2 end fraction equals negative fraction numerator m subscript e upsilon subscript 1 squared over denominator 2 end fraction.

Эту работу также можно определить по формуле А = eEd.

Значит: negative fraction numerator m subscript e upsilon subscript 1 squared over denominator 2 end fraction equals e E d. Тогда E equals fraction numerator m subscript e upsilon subscript 1 squared over denominator 2 open vertical bar e close vertical bar d end fraction.

E equals fraction numerator 9 comma 1 times 10 to the power of negative 31 end exponent space кг space times 1 comma 6 times 10 to the power of 11 space begin display style straight м squared over straight с squared end style over denominator 2 times 1 comma 6 times 10 to the power of negative 19 end exponent space Кл times 2 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space straight м end fraction equals 23 space straight В over straight м.

Согласно закону сохранения энергии полная энергия системы «электрон ‒ поле» остаётся неизменной, т. е. ΔWп + ΔWк = 0. Следовательно,

increment W subscript straight п equals negative open parentheses fraction numerator m subscript e upsilon subscript 2 squared over denominator 2 end fraction minus fraction numerator m subscript e upsilon subscript 1 squared over denominator 2 end fraction close parentheses equals fraction numerator m subscript e upsilon subscript 1 squared over denominator 2 end fraction comma

т. е. потенциальная энергия электрона возрастает на величину

increment W subscript straight п equals fraction numerator 9 comma 1 times 10 to the power of negative 31 end exponent space кг space times 1 comma 6 times 10 to the power of 11 begin display style straight м squared over straight с squared end style over denominator 2 end fraction equals 7 comma 3 times 10 to the power of negative 20 end exponent space Дж.

Ответ: Е = 23 straight В over straight м, ΔWп = 7,3 · 10–20 Дж.

Пример 3. В центре сферы с равномерно распределённым положительным зарядом Q1 = 36 нКл находится маленький шарик с отрицательным зарядом, модуль которого open vertical bar Q subscript 2 close vertical bar equals 16 space нКл = 16 нКл. Определите потенциал электростатического поля в точке, находящейся вне сферы на расстоянии r = 10 м от её центра.

Дано:
Q1 = 36 нКл = 3,6 · 10–8 Кл
Q2 = −16 нКл = −1,6 · 10–8 Кл
r = 10 м
φ — ?

Решение: Потенциал в искомой точке определим по принципу суперпозиции: φ = φ1 + φ2, где φ1 > 0 — потенциал электростатического поля положительно заряженной сферы, а φ2 < 0 — потенциал электростатического поля отрицательно заряженного шарика. Поскольку straight phi subscript 1 equals k Q subscript 1 over r, straight phi subscript 2 equals k Q subscript 2 over r, то k Q subscript 1 over r plus k Q subscript 2 over r equals k over r open parentheses Q subscript 1 plus Q subscript 2 close parentheses.

straight phi equals fraction numerator 9 comma 0 times 10 to the power of 9 begin display style fraction numerator straight Н times straight м squared over denominator Кл squared end fraction end style over denominator 10 space straight м end fraction times 2 comma 0 times 10 to the power of negative 8 end exponent space Кл equals 18 space straight В.

Ответ: φ = 18 В.