§ 21. Работа силы однородного электростатического поля. Потенциал

Работа силы однородного электростатического поля. Расчёты и результаты экспериментов доказали, что работа силы электростатического поля при перемещении заряда между двумя точками зависит только от положения этих точек и не зависит от вида траектории. Такой же особенностью, как вы знаете, обладает и гравитационное поле. Физические поля, работа сил которых не зависит от формы траектории, называют потенциальными.

Покажем, что электростатическое поле потенциально.

Пусть положительный пробный заряд q₀ перемещают в однородном электростатическом поле напряжённостью из точки В в точку С вдоль линии напряжённости рассматриваемого поля (рис. 114, а). При этом сила , которой поле действует на заряд q₀, совершает работу. В скалярном виде выражение для работы имеет вид A = FΔrcosα, где α — угол между направлениями силы и перемещения заряда. Модуль электрической силы F = q₀E, cosα = 1 (направления силы и перемещения заряда совпадают), а Δr = d, где d — расстояние между точками В и С. Тогда работа силы однородного электростатического поля по перемещению заряда:

Если заряд перемещают по прямой из точки В в точку D под углом α к направлению напряжённости поля (рис. 114, б), то Δrcosα = d. Работа силы поля по перемещению заряда и в этом случае:

A_BD = FΔrcosα = q₀Ed.

Очевидно, что для перемещения заряда в обратном направлении (из точки D в точку В) внешней силе требуется, преодолевая силу поля, совершить работу, минимальное значение которой будет таким же: , поэтому A_BD = ‒A_DB. Следовательно, когда заряд возвращается в начальную точку, т. е. при движении заряда по замкнутой траектории, работа силы поля равна

нулю.

Предположим, что перемещение заряда q₀ из точки В в точку D происходит в однородном электростатическом поле напряжённостью по криволинейной траектории (рис. 114, в). В этом случае траекторию можно разбить на такие малые участки, чтобы каждый из них можно было считать прямолинейным. Если просуммировать работы силы на каждом из этих участков, то получим:

A_ВD = q₀E(Δd₁ + Δd₂ + … + Δd_i + … + Δd_n) = q₀Ed,

где Δd_i = Δr_icosα, Δr_i — модуль перемещения на i-м малом участке траектории, α_i — угол между направлениями перемещения и напряжённости поля (i = 1, 2, 3, …, n).

Таким образом, работа силы однородного электростатического поля по перемещению заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, т. е. однородное электростатическое поле потенциально.

От теории к практике

Какую работу совершит сила однородного электростатического поля, модуль напряжённости которого , при перемещении заряда q = 2,4 нКл по отрезку прямой (рис. 115), соединяющему точки: а) В и С; б) С и D; в) D и В?

Какую работу совершит сила поля при перемещении заряда по замкнутой траектории BCDB?

Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле. Воспользовавшись законом сохранения энергии, можно показать, что любое электростатическое поле является потенциальным. Это означает, что электростатическое и гравитационное поля имеют похожие свойства, определяемые их потенциальным характером. Применительно к электростатическому полю эти свойства выражаются в следующем:

а) точечный электрический заряд, находящийся в любой точке электростатического поля, обладает потенциальной энергией взаимодействия с этим полем. Значение этой энергии определяют относительно произвольно выбираемой нулевой точки. В нулевой точке потенциальную энергию заряда принимают равной нулю. Потенциальная энергия взаимодействия точечного заряда с электростатическим полем равна работе, которую совершила бы сила поля при перемещении данного заряда из указанной точки поля в нулевую точку;

б) работа силы поля по перемещению электрического заряда q из точки 1 в точку 2 (рис. 116) может служить мерой изменения потенциальной энергии этого заряда в поле, созданном зарядом Q.

Пусть W_п1 и W_п2 — потенциальные энергии перемещаемого заряда в точках 1 и 2 электростатического поля. Тогда работа силы поля

где ΔW_п12 — приращение потенциальной энергии заряда q при его перемещении из точки 1 в точку 2.

Перепишем выражение (21.2) в виде

и проанализируем его, когда на заряд q действует только сила со стороны электростатического поля:

1) если работа силы поля A₁₂ > 0 (перемещение положительного заряда q происходит в направлении линий напряжённости поля), то потенциальная энергия заряда уменьшается: ΔW_п12 < 0. При этом, согласно закону сохранения энергии, увеличивается кинетическая энергия тела c зарядом q: ;

2) если работа силы поля A₁₂ < 0 (перемещение положительного заряда противоположно направлению линий напряжённости поля), то потенциальная энергия заряда увеличивается: ΔW_п12 > 0. При этом кинетическая энергия заряженного тела уменьшается: ;

3) если работа силы поля A₁₂ = 0 (перемещение заряда перпендикулярно направлению линий напряжённости поля), то потенциальная энергия заряда не изменяется.

Следует подчеркнуть, что потенциальная энергия — это энергия взаимодействия, и её необходимо относить не к заряженной частице или телу, а к системе в целом. В частности, для заряженной частицы (тела), находящейся в электростатическом поле, это потенциальная энергия взаимодействия заряженной частицы с полем, т. е. с другими заряженными частицами и (или) телами, являющимися источниками этого поля. Кратко это принято формулировать так: потенциальная энергия заряда в поле.

Потенциал электростатического поля как его энергетическая характеристика. Из выражений (21.1) и (21.2) следует, что потенциальная энергия пробного заряда q₀ в данной точке поля пропорциональна величине этого заряда. Следовательно, отношение  не зависит от заряда и является энергетической характеристикой электростатического поля, получившей название потенциал.

Потенциал электростатического поля в данной точке пространства — физическая скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии пробного заряда, помещённого в данную точку поля, к значению этого заряда:

За единицу потенциала в СИ принят вольт (В). Единица названа в честь итальянского учёного Алессандро Вольта (1745–1827), внёсшего большой вклад в изучение электрических явлений. 1 В — потенциал такой точки электростатического поля, в которой заряд 1 Кл обладал бы потенциальной энергией 1 Дж.

Потенциал φ электростатического поля точечного заряда Q на расстоянии r от него в вакууме или в воздухе определяют соотношением

Знак заряда-источника поля определяет знак потенциала этого поля.

Поскольку потенциальная энергия заряда в электростатическом поле зависит от выбора нулевой точки, то эта зависимость сохраняется и для потенциала. Если принять, что на бесконечно большом расстоянии от источника поле отсутствует, т. е. потенциальная энергия системы «заряд ‒ электростатическое поле» на бесконечности равна нулю, то потенциал поля в данной точке можно определить следующим образом:

Если электрическое поле создано в однородной среде с диэлектрической проницаемостью ε, то потенциал поля

Следует отметить, что потенциал поля, создаваемого положительным зарядом, уменьшается по мере удаления от заряда, а потенциал поля, создаваемого отрицательным зарядом, увеличивается.

Из формулы (21.5) следует, что во всех точках поля, находящихся на расстоянии r от точечного заряда Q, потенциал φ одинаковый. Эти точки расположены на поверхности сферы радиусом R, центр которой находится в той же точке, что и заряд Q.

Потенциал поля, создаваемого равномерно заряженной сферой радиусом R, заряд которой Q, в вакууме в точках вне сферы на расстоянии r > R от её центра, определяют по формуле . В точках, находящихся на поверхности и внутри сферы по формуле .

Потенциал является скалярной величиной. Поэтому, если в данной точке пространства электростатическое поле создано системой точечных зарядов, то потенциал результирующего поля в этой точке равен алгебраической сумме потенциалов полей в этой же точке пространства, создаваемых каждым из точечных зарядов системы в отдельности:

φ = φ₁ + φ₂ + φ₃ + … + φ_n,

т. е. для потенциала выполняется принцип суперпозиции.

Геометрическое место точек в электростатическом поле, потенциалы которых одинаковы, называют эквипотенциальной поверхностью.

Используя эквипотенциальные поверхности, можно представлять графически электростатические поля. Через каждую точку поля проходят только одна линия напряжённости и одна эквипотенциальная поверхность. В каждой точке электростатического поля линия напряжённости и эквипотенциальная поверхность взаимно перпендикулярны (рис. 116.1). Представление электростатического поля с помощью эквипотенциальных поверхностей, как и термин «потенциал», ввёл немецкий учёный К. Ф. Гаусс в 1840 г.

1. Как определить работу силы однородного электростатического поля по перемещению электрического заряда?

2. Как вы понимаете утверждение «электростатическое поле потенциально»? Как связана работа силы электростатического поля по перемещению электрического заряда с изменением потенциальной энергии заряда в этом поле?

3. Какие две физические величины характеризуют электростатическое поле в любой его точке?

4. Что называют потенциалом электростатического поля?

5. Чему равен потенциал электростатического поля точечного заряда Q на расстоянии r от него?

6. Как определить потенциал электростатического поля, созданного несколькими точечными зарядами?

7. Докажите, что работа силы электростатического поля по перемещению заряда по замкнутой траектории равна нулю.

8. В чём проявляется сходство электростатического и гравитационного полей?

9. Положительно заряженная частица перемещается под действием только сил электростатического поля на некоторое расстояние. В какой точке траектории движения частицы — начальной или конечной — потенциал поля выше, если модуль её скорости: а) возрастает; б) убывает?

10. Отрицательно заряженная частица перемещается из состояния покоя под действием только сил электростатического поля на некоторое расстояние. В какой точке траектории движения частицы — начальной или конечной — потенциал поля выше?

11. Чему равен потенциал электростатического поля равномерно заряженной сферы радиусом R на расстоянии r от её центра, если: а) r ≤ R; б) r > R, а заряд сферы Q?

Упражнение 15

1. Зависит ли работа силы электростатического поля от траектории движения заряда? Сравните работу силы электростатического поля, образованного заряженными пластинами, при перемещении заряда q по контуру А и контуру В (рис. 117).

2. Отрицательный заряд, модуль которого |q| = 0,50 мкКл, переместили в однородном электростатическом поле на расстояние d = 10 см в направлении линий напряжённости. Определите работу силы поля, совершённую при перемещении заряда, и изменение потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем, если модуль его напряжённости .

3. Точечный заряд q = 5,0 нКл перемещают в однородном электростатическом поле, модуль напряжённости которого . Перемещение, модуль которого Δr = 8,0 см, образует угол α = 60° с направлением линий напряжённости поля. Определите работу силы поля, изменения потенциальной и кинетической энергий заряда, если внешняя сила обеспечивает только прямолинейность перемещения заряда.

4. Работа, совершённая силой электростатического поля при переносе заряда q = 2,4 нКл из бесконечности в некоторую точку поля, А = 72 нДж. Определите потенциал этой точки поля. Что изменится, если работу по переносу первоначально неподвижного заряда совершает внешняя сила против силы электростатического поля? Минимальное значение работы внешней силы А_внеш = 72 нДж.

5. Модули напряжённости двух точек поля, создаваемого неподвижным точечным зарядом, отличаются в α = 9 раз. Определите, во сколько раз отличаются потенциалы этих точек поля.

6. Электростатическое поле создано находящимися на расстоянии r = 80 см друг от друга двумя разноимёнными точечными зарядами, модули которых |Q₁| = |Q₂| = 6,4 нКл. Определите модуль напряжённости и потенциал в точке пространства, находящейся на середине отрезка, соединяющего эти заряды.

7. Уединённая заряженная металлическая сфера радиусом R = 20 см подвешена на неокрашенной шёлковой нити в воздухе. Определите, во сколько раз потенциал электростатического поля положительного заряда сферы в точке, находящейся на расстоянии r₁ = 4,0 см от центра сферы, больше потенциала поля заряда сферы в точке, находящейся на расстоянии l = 10 см от поверхности сферы.