§ 10. Мадэляванне дынамікі колькасці папуляцый

10.2. Мадэль неабмежаванага росту

Мадэль неабмежаванага росту з'яўляецца класічнай матэматычнай мадэллю дынамікі колькасці папуляцыі (прыклад 10.3).

Калі пазначыць колькасць папуляцыі ў момант часу t праз x (t), а хуткасць росту гэтай колькасці праз v(t), то мадэль неабмежаванага росту выяўляецца ўраўненнем:

v(t) = ax(t),

дзе a — каэфіцыент натуральнага прыросту.

Каэфіцыент натуральнага прыросту падлічваецца на аснове назіранняў за колькасцю папуляцыі (прыклад 10.4).

Каб пабудаваць графік рашэння ўраўнення, скарыстаемся метадам дыскрэтызацыі часу з крокам t. Хай пачатковы момант t0 = 0, наступныя моманты t1, t2, t3, …  і хуткасць v(t) змяняецца толькі ў гэтыя моманты часу. Тады значэннi x(ti +1) i x(ti ) звязаны роўнасцю

x(ti +1) = x(ti ) + v(ti) ⋅ t,

а з улікам ўраўнення неабмежаванага росту атрымліваем

x(ti +1) = x(ti ) + a x(ti) ⋅ t.

Будзем лічыць, што крок часу t = 1  і супадае з перыядычнасцю назіранняў (1 год, 1 суткі ці 1 гадзіну). Тады t1 = 1, t2 = 2, …  і формула атрымлівае выгляд

x(i +1) = (1 + a) x(i).

Разлікі па такіх формулах зручна праводзіць у электронных табліцах. Пры i = 0 з формулы мадэлі атрымліваем асноўную формулу разліковай мадэлі ў электронных табліцах:

x(1) = (1 + a) x(0).

Прыклад 10.3. Мадэль была прапанавана англійскім святаром і навукоўцам Томасам Робертам Мальтусам у 1798 г.

Ён першым звярнуў увагу на тое, што рост колькасці папуляцыі можа моцна апярэджваць рост рэсурсаў для яе харчавання. На гэтым заснаванні для чалавечай папуляцыі ён зрабіў выснову аб непазбежнасці войнаў за рэсурсы харчавання, надыходу хаосу і голаду.

Прыклад 10.4. Каэфіцыент натуральнага прыросту — гэта стаўленне колькасці прыросту за перыяд назірання да колькасці папуляцыі на пачатак перыяду.

Напрыклад, калі колькасць папуляцыі ў 3000 асобін за год вырасла на 150 асобін, то каэфіцыент натуральнага прыросту роўны

.

Цікава, што ў мадэлі папуляцыя з каэфіцыентам прыросту 0,05 падвойвае сваю колькасць праз кожныя 14 гадоў.

Калі ў папуляцыі нараджальнасць роўная смяротнасці, то каэфіцыент натуральнага прыросту роўны нулю і колькасць папуляцыі застаецца без змены.