§ 10. Мадэляванне дынамікі колькасці папуляцый

Папуляцыя — гэта сукупнасць асобін аднаго віду, якая займае пэўную прастору, адносна ізаляваная і здольная да рэпрадукцыі.

Папуляцыі ўтвараюць самыя разнастайныя арганізмы (прыклад 10.1).

Сярод характарыстык папуляцыі вылучаюць колькасць, шчыльнасць, прасторавае размеркаванне, структуру (узроставы і палавы склад), паказчыкі нараджальнасці і смяротнасці. Нас будзе цікавіць дынаміка колькасці папуляцыі, г. зн. змяненне колькасці папуляцыі ў часе (прыклад 10.2).

Назіранні за папуляцыямі праводзяць у роўнаадлеглыя моманты часу. Працягласць прамежку часу паміж момантамі назіранняў назавем перыядычнасцю назіранняў.

Перыядычнасць назіранняў залежыць ад хуткасці росту папуляцыі і можа быць роўная 1 году, 1 суткам, 1 гадзіне (гл. прыклад 10.2).

Для апісання дынамікі колькасці папуляцый навукоўцы выкарыстоўваюць некалькі матэматычных мадэляў.

Для адной папуляцыі выкарыстоўваюцца:

- мадэль неабмежаванага росту;
- мадэль абмежаванага росту;
- мадэль з крытычнай колькасцю;
- мадэль з адловам.

Для двух папуляцый выкарыстоўваюцца мадэлі ўзаемадзеяння двух відаў. Сярод іх мадэль «драпежнік-ахвяра», мадэль канкурэнцыі двух відаў за рэсурсы харчавання, мадэлі ўзаемавыгаднай сувязi (сімбіёзу). 

Мадэль неабмежаванага росту з'яўляецца класічнай матэматычнай мадэллю дынамікі колькасці папуляцыі (прыклад 10.3).

Калі пазначыць колькасць папуляцыі ў момант часу t праз x (t), а хуткасць росту гэтай колькасці праз v(t), то мадэль неабмежаванага росту выяўляецца ўраўненнем:

v(t) = ax(t),

дзе a — каэфіцыент натуральнага прыросту.

Каэфіцыент натуральнага прыросту падлічваецца на аснове назіранняў за колькасцю папуляцыі (прыклад 10.4).

Каб пабудаваць графік рашэння ўраўнення, скарыстаемся метадам дыскрэтызацыі часу з крокам t. Хай пачатковы момант t₀ = 0, наступныя моманты t₁, t₂, t₃, …  і хуткасць v(t) змяняецца толькі ў гэтыя моманты часу. Тады значэннi x(t_{i +1}) i x(t_i ) звязаны роўнасцю

x(t_{i +1}) = x(t_i ) + v(t_i) ⋅ t,

а з улікам ўраўнення неабмежаванага росту атрымліваем

x(t_{i +1}) = x(t_i ) + a x(t_i) ⋅ t.

Будзем лічыць, што крок часу t = 1  і супадае з перыядычнасцю назіранняў (1 год, 1 суткі ці 1 гадзіну). Тады t₁ = 1, t₂ = 2, …  і формула атрымлівае выгляд

x(i +1) = (1 + a) x(i).

Разлікі па такіх формулах зручна праводзіць у электронных табліцах. Пры i = 0 з формулы мадэлі атрымліваем асноўную формулу разліковай мадэлі ў электронных табліцах:

Назіранні паказалі, што мадэль неабмежаванага росту справядлівая толькі на абмежаваных прамежках часу. Пастаянны неабмежаваны рост папуляцыі немагчымы, перш за ўсё, праз канкурэнцыю ўнутры папуляцыі за рэсурсы харчавання.

Усведамленне гэтага фактару прывяло да стварэння матэматычнай мадэлі абмежаванага росту (прыклад 15.5).

У азначэннях папярэдняга пункта мадэль абмежаванага росту выяўляецца ўраўненнем:

v(t) = (a – bx(t))x(t),

дзе   a — каэфіцыент натуральнага прыросту (з папярэдняй мадэлі);

b — каэфіцыент смяротнасці ад унутрывідавой канкурэнцыі (прыклад 10.6).

Яшчэ раз выкарыстуем метад дыскрэтызацыі часу і пры i = 0 атрымаем разліковую формулу для электронных табліц

Існуюць папуляцыі, колькасць якіх не можа апускацца ніжэй некаторай крытычнай колькасці. Інакш папуляцыя гіне (прыклад 10.7).

Матэматычная мадэль абмежаванага росту, якая ўлічвае найменшую крытычную колькасць, у азначэннях папярэдняй мадэлі мае выгляд:

v(t) = (a – bx(t))(x(t) – L),

дзе   L — крытычная колькасць папуляцыі.

Асноўная формула разліковай мадэлі атрымлівае выгляд

Разгледжаная мадэль апісвае дынаміку колькасці папуляцыі прамысловай рыбы з крытычнай колькасцю і з улікам яе прамысловай здабычы (прыклад 10.8).

Пакідаем у сіле здагадкі папярэдніх пунктаў параграфа. Калі аб'ём рэгулярнай здабычы рыбы складае Z асобін папуляцыі за час
t = 1, то асноўная формула разліковай мадэлі атрымае выгляд

У электронных табліцах створым комплексную камп'ютарную мадэль дынамікі колькасці чатырох папуляцый, разгледжаных у п. 10.2—10.5 (прыклад 10.9).

Для разліку колькасці папуляцыі з неабмежаваным ростам выкарыстаем формулу п. 10.2

x(1) = (1 + a) x(0).

Для папуляцыі з абмежаваным ростам выкарыстаем формулу п. 10.3

x(1) = x(0) + (a – bx(0))x(0).

Для папуляцыі з мінімальнай крытычнай колькасцю выкарыстаем формулу п. 10.4

x(1) = x(0) + (a – bx(0)) • (x(0) – L).

Для папуляцыі з крытычнай колькасцю і адловам выкарыстаем формулу п. 10.5

x(1) = x(0) + (a – bx(0)) • (x(0) – L) – Z.

У зыходных даных трэба задаць значэння параметраў, запісаных у правых частках гэтых формул (пример 10.9).

Даныя камп'ютарнай разліковай мадэлі размесцім па схеме прыклад 10.10.

Уводзім формулы

A10: =A4/A5    A12: 0

У ячэйкі B12:E12 уводзім формулу

=$A$3

У наступным радку

A13:  =A12+1

У ячэйкі B13:E13 трэба ўвесці правыя часткі чатырох разліковых формул. Значэнне x(0) для формулы ў кожным слупку бярэцца з папярэдняга радка.

B13:  = (1 + $A$4)*B12

C13: = C12+($A$4-$A$5*C12)*C12)

D13: =D12+($A$4—$A$5*D12)*(D12—$A$6)

E13: =E12+($A$4—$A$5*E12)* [1]

                            (E12—$A$6)—$A$7

Формулы мадэляў патрабуюць дапрацоўкі (прыклад 10.11).Формуламі дыяпазону A13:E13 табліца запаўняецца ўніз да радка 47 уключна. Затым трэба вывесці на ліст дыяграму з чатырма графікамі мадэляў.

Вылучаецца дыяпазон A12:E47 у разліковай табліцы і на ліст рабочай кнігі ўстаўляецца дыяграма Точечная ( — Точечная с гладкими кривыми). Уводзіцца назва дыяграмы «Дынаміка колькасці папуляцый». У ніжнюю частку дыяграмы выводзіцца Легенда (прыклад 10.12).

Засталося памяняць імёны элементаў Дыяграмы. Пстрыкаем па дыяграме правай клавішай мышы і ў кантэкстным меню выбіраем пункт Выбрать данные.... З'явіцца дыялогавае акно Выбор источника данных (прыклад 10.13).

У дыялогавым акне злева вылучаем радок Ряд1 і пстрыкаем па кнопцы Изменить. З'яўляецца дыялогавае акно Изменение ряда (прыклад 10.14).

Працаваць адразу з чатырма графікамі на дыяграме не заўсёды зручна, таму дададзім у камп'ютарную мадэль інтэрактыўныя сцяжкі для выключэння графікаў на дыяграме. Работу з сцяжкамі забяспечвае ўкладка Разработчик (прыклад 10.15).

Для вываду сцяжка на ліст на ўкладцы Разработчик у групе Элементы управления выбіраюць інструмент Вставить, а на яго панэлі выбіраюць элемент кіравання формы Флажок (прыклад 10.16).

Пасля выбару пстрычкай элемента Флажок паказальнік мышы атрымлівае выгляд крыжа. Гэтым паказальнікам мышы з націснутай левай кнопкай паўтараюць контур ячэйкі B8 дапаможным прамавугольнiкам (падобна маляванню прамавугольніка ў графічным рэдактары Paint).

Пасля адпускання кнопкі мышы на ячэйцы B8 з'яўляецца сцяжок у форме квадрата з назвай па змаўчанні. Сцяжок змешчаны ў рамку з маркерамі (прыклад 10.17).

Назва сцяжка па змаўчанні трэба выдаліць (прыклад 10.18).

Сцяжок з'яўляецца графічным элементам, размяшчаецца па-над ячэйкамi, і выдзелены сцяжок можна перацягваць па табліцы.

Сцяжок трэба акуратна перацягнуць на ячэйку B11 так, каб яго квадрат размяшчаўся загалоўкам слупка (прыклад 10.19). У астатнія ячэйкi з загалоўкамі слупкоў трэба вывесці копіі сцяжка (прыклад 10.20).

Стан сцяжка можна вывесці ў ячэйку табліцы ў выглядзе значэнняў IСЦIНА (сцяжок уключаны) і ХЛУСНЯ (сцяжок выключаны). Стан першага сцяжка трэба вывесці ў ячэйку B8 (прыклад 10.21). Пстрычка па сцяжку цяпер выводзіць галачку ў квадрат і змяняе значэнне звязанай з сцяжком ячэйкі B8. Астатнія сцяжкі трэба звязаць з ячэйкамі C8:E8.

Засталося змяніць формулы ў радку 12 табліцы. У ячэйку B12 уводзім формулу

=ЕСЛИ(B8;$A$3;#Н/Д)

Тут #Н/Д — гэта штучная памылка, якая не дазволіць пабудаваць графік.

Формулай ячэйкі B12 запаўняецца направа дыяпазон C12:E12. Цяпер пстрычкі па сцяжках выключаюць і ўключаюць графікі на дыяграме.