Математика 10 класс (IT-практикум)

Последовательность действий в программе для выполнения чертежа:

   -  Построение основания пирамиды – квадрата.
   -  Построение пирамиды.
   -  Построение секущей плоскости, перпендикулярной SB и проходящей через точку М.
   -  Выделение многоугольника, являющегося сечением пирамиды.
   -  Доказательство, что данное сечение – искомое.

Примечание. Рекомендуется ознакомиться с информацией в статье «Динамическая математическая программа GeoGebra».

Для организации работы с заданием выполните следующие действия:

   – перейдите по ссылке на сайт GeoGebra.
   Также можно воспользоваться установленной на компьютер программой GeoGebra Classic 6 (  – команда «Перспективы» – 3D графика);
   – зарегистрируйтесь или войдите с помощью учетной записи Google – это нужно для сохранения результатов ваших построений и перехода на русскоязычный интерфейс приложения: кнопка   (правый верхний угол) – команда  («Войти»); выберите вариант Google.

Примечание. Переключение интерфейса программы на русский язык обычно происходит после авторизации.
Если это не произошло, нажмите кнопку    (правый верхний угол) – команду  (Настройки) – , в выпадающем меню выберите вариант «Русский» – Сохранить изменения. 

Для построения квадрата (основания пирамиды) необходимо задать длину его ребра.
Установим точки на осях Ох (–3) и Оу (–3) (команда ).
Далее на панели инструментов нажимаем кнопку  и выбираем команду .

Для построения пирамиды нажимаем кнопку    и выбираем команду .
Выполняем щелчок мыши по квадрату основания и «вытягиваем» по оси Oz высоту пирамиды.
Пирамида построена.

Примечание. После выполнения построения определенным инструментом его надо выключать, чтобы не «засорять» чертеж ненужными объектами.
Выключение инструмента можно выполнить нажатием кнопки Esc на клавиатуре или выбором инструмента .

По условию задачи пирамида имеет название SABCD.
Переименуйте вершину пирамиды.
Для изменения имени точки выполните на ней щелчок, наберите с клавиатуры новое имя S и нажмите Enter.
Через пару секунд название поменяется.

Установите точку M на ребре SB: нажмите кнопку , выберите команду  и выполните щелчок по ребру SB.
Переименуйте точку.

Примечание. Скройте координатные оси.
Для этого нажмите в правом верхнем углу кнопку  (панель параметров объектов), выберите команду «Оси» и один из понравившихся режимов отображения. 

Для построения секущей плоскости нажмите кнопку , выберите команду  и нажмите поочередно на точку М и ребро SB.
Построена секущая плоскость.
Примечание. Не забывайте выключать инструмент (кнопка Esc на клавиатуре).

Рассмотрите чертеж.
Посмотрите, в каких точках плоскость пересекает ребра пирамиды?
Какая фигура получилась в сечении?

Примечание. Для вращения чертежа нужно нажать левую кнопку мыши и выполнить движение в сторону.

Для выделения многоугольника, являющегося сечением пирамиды, выберите команду   , подведите курсор к линии, которая определяет сечение внутри пирамиды.
Как только линия появится – выполните по ней щелчок.

Сечение построено.

Теперь можно скрыть секущую плоскость и увеличить интенсивность заливки многоугольника, который является сечением пирамиды.
Для того чтобы скрыть секущую плоскость, найдите описание плоскости на панели объектов слева и выполните щелчок на цветовом круге возле описания.

Для изменения цвета заливки пирамиды, линий и точек нажмите в правом верхнем углу кнопку  (панель параметров объектов) и выберите команду «Цвет и заливка».
Уменьшите интенсивность / измените цвет заливки сечения.

Докажем, что построенная плоскость (сечение) является плоскостью, проходящей через точку М и перпендикулярна ребру SB.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Измерим величину углов ВМG и ВМN.
Для этого выберем команду   и выполним поочередно (в указанном порядке) щелчки мыши по точкам В, М и G, а затем по точкам В, М и N.
Мы видим, что оба угла равны 90°.
Значит плоскость сечения построена верно.

Подумайте, какие фигуры могут получиться в сечении пирамиды данной плоскостью (измените положение вершины пирамиды).

Сохраните свой чертеж с названием «Сечение пирамиды плоскостью»:  – .
Скопируйте ссылку на чертеж для публикации на сайте ( – ).

Разместите ссылку на интерактивный чертеж на сайте «Математика с компьютером».

Для этого:
   – перейдите по ссылке https://sites.google.com и выберите ваш сайт;
   – откроется редактор сайта.
   Перейдите на страницу «Перпендикулярность прямых и плоскостей».
   На вкладке «Вставка» выберите блок «Текст» и добавьте название вашей интерактивной модели.
   Далее выберите блок «Встроить» и добавьте ссылку из буфера памяти на вашу модель;
   – для доступа пользователей к новым материалам на сайте нажмите кнопку «Опубликовать».

Учитель математики может использовать интерактивную модель «Сечение пирамиды плоскостью» при изучении темы «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

Посмотреть модель 

1. Видео «GeoGebra за 19 минут»