Математика 10 класс (IT-практикум)

С помощью производной можно увидеть все изменения функции или насколько быстро меняется значение у с изменением значений х. 

Пусть нарисован график некоторой функции y = f(x). Отметим на графике точку А с абсциссой x₀. Проведем в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько увеличилось значение функции при незначительных изменениях аргумента. Для этого рассмотрим тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох.

Вспомним, что прямая (касательная) задается уравнением y = kx + b (величина k в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. k равен тангенсу угла наклона прямой к оси Ох).
Таким образом, значение производной функции в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной k, проведенной к графику функции в этой точке (геометрический смысл производной).

Опишем последовательность наших действий в программе для выполнения чертежа:

   -    Добавление 4 ползунков (a, b, c, d).
   -    Введение функции, коэффициентами которой будут ползунки (например, у = ax^d + bx + c).
   -    Нахождение угла наклона касательной в произвольной точке A.
   -    * Нахождение угла между касательной и прямой, параллельной оси Ох.
   -    Построение графика функции производной.
   -    Исследование функции.

Примечание. Рекомендуется ознакомиться с информацией в статье «Динамическая математическая программа GeoGebra» и посмотреть видео «Геометрическое значение производной в GeoGebra» (см. помощь)

Для организации работы с заданием выполните следующие действия:

   – перейдите по ссылке на сайт GeoGebra.
   Также можно воспользоваться установленной на компьютер программой GeoGebra Classic 6;
   – зарегистрируйтесь или войдите с помощью учетной записи Google – это нужно для сохранения результатов ваших построений и перехода на русскоязычный интерфейс приложения: кнопка   (правый верхний угол) - команда  («Войти») и выберите вариант Google.

Примечание. Переключение интерфейса программы на русский язык обычно происходит после авторизации.
Если это не произошло, нажмите кнопку    (правый верхний угол) – команду  ( Настройки) – , в выпадающем меню выберите вариант «Русский» – Сохранить изменения. 

На панели инструментов нажмите кнопку   и в открывшемся меню выберите инструмент «Ползунок» .
Выполните щелчок в правом углу области построения – добавится ползунок a.

Аналогично добавим еще 3 ползунка.

Примечание. После выполнения построения определенным инструментом его надо выключать, чтобы не «засорять» чертеж ненужными объектами.
Выключение инструмента можно выполнить нажатием кнопки Esc на клавиатуре или выбором инструмента .

В области со списком объектов (слева) найдите поле «Ввод» и добавьте в него функцию (наберите текст), коэффициентами которой будут добавленные ползунки (например, у = ax^d + bx + c).

Примечание. Для набора математических выражений используйте буквы латинского (английского) алфавита;
для ввода формул – встроенную клавиатуру  (левый нижний угол).

После ввода формулы сразу же нарисуется график в специальной области справа.
Переместите ползунки согласно придуманной вами формуле, которая задает показательную функцию.

Переместите ползунок d на 2.

Примечание. Обратите внимание, программа также прописывает уравнение функции, которая сейчас построена.

Выберите инструмент   и поставьте произвольную точку А на построенном графике функции.

Через точку А проводим касательную к графику функции – команда .

С помощью команды  находим угловой коэффициент прямой k (см. Комментарий для выполнения задания). 

В поле «Ввод» (область со списком объектов) добавьте точку  В(x(А),k).(координаты не менять!)
Примечание. Для набора математических выражений используйте буквы латинского (английского) алфавита.

 Для данной точки установите параметр «Оставлять след» (контекстное меню точки – команда «Оставлять след»).
Теперь при перемещении точки А по графику функции точка В будет строить линию, которая является графиком производной данной функции.
Примечание. Чтобы удалить след, выполните сдвиг полотна рабочей области.

Измените формулу функции (переместите ползунки).
Постройте график производной для новой функции.

Примечание. Для удобства построения следа запустите анимацию точки A. 

С помощью команды  определите угол α наклона касательной.
Как связаны между собой значения k и α?

Примечание. Сначала через точку А необходимо провести прямую, параллельную оси Ох .
Тогда угол будет находиться на пересечении этой прямой и касательной.
Чтобы не загромождать чертеж, скройте параллельную прямую (команда ).

Сохраните свой чертеж с названием «График производной функции»:  – .
Скопируйте ссылку на чертеж для публикации на сайте ( – ).

Разместите ссылку на интерактивный чертеж на сайте «Математика с компьютером».

Для этого:
   – перейдите по ссылке https://sites.google.com и выберите ваш сайт;
   – откроется редактор сайта.
   Перейдите на страницу «Производная».
   На вкладке «Вставка» выберите блок «Текст» и добавьте название вашей интерактивной модели.
   Далее выберите блок «Встроить» и добавьте ссылку из буфера памяти на вашу модель;
   – для доступа пользователей к новым материалам на сайте нажмите кнопку «Опубликовать».

Учитель математики может использовать интерактивную модель «График производной функции» при изучении раздела «Производная».

Посмотреть 

Измените значения ползунков.
Посмотрите, как будет изменяться внешний вид графика функции производной.
Проанализируйте результаты и правильно закончите следующие высказывания:
   1) Если ползунок d установлен на 2, то графиком производной является…
   2) Если ползунок d установлен на 3, то графиком производной является…
   3) Если коэффициент k > 0, то функция … (возрастает/убывает).
   4) Если коэффициент k < 0, то функция … (возрастает/убывает).
   5) Если коэффициент k = 0, то данная точка для графика производной является..., а для графика первоначальной функции является…
   6)* Если угол наклона касательной равен 45°, то коэффициент k равен…
   7) Измените изначальную функция на:
       - у = ax³ + bx² + cx + d
       - y = asin(bx + c) + d.

Выполните исследование полученных функций.

1. Видео «GeoGebra за 19 минут» 

2. Видео «Геометрическое значение производной в GeoGebra» (качество 480 р)