§ 30. Моделирование в задачах вычисления координат замечательных точек треугольника
Упражнения
1. Повторите на компьютере решение задачи 1, рассмотренной в параграфе.
2. Найдите решение задачи 1 для треугольника с координатами вершин: A(2; 1), B(4; 14), C(17; 8).
3. Повторите на компьютере решение задачи 2, рассмотренной в параграфе.
4. Найдите решение задачи 2 для треугольника с координатами вершин: A(1; 3), B(15; –11), C(8; 15).
5. Повторите на компьютере решение задачи 3, рассмотренной в параграфе.
6. Найдите решение задачи 3 для треугольника с координатами вершин: A(1; –4), B(12; 14), C(16; –10).
7. Треугольник задан координатами своих вершин. Используя SMath Studio, найти координаты точки пересечения его высот (ортоцентр) и изобразить треугольник с ортоцентром в графической области.
Указание. Если вершины треугольника обозначить A, B и C, точку пересечения высот обозначить O, а высоты обозначить AD, BE и CF, то построить систему уравнений позволит известное равенство для длин частей высот dAO·dOD = dBO·dOE = dCO·dOF.
8. Дан прямоугольник ABCD со сторонами 5 и 15. Внутренняя точка прямоугольника P соединена с вершинами прямоугольника отрезками прямых, при этом угол между отрезками DP и CP равен 150°, а угол между отрезками CP и BP равен 45°. Используя SMath Studio, найти длину отрезка AP и построить чертеж в графической области.
Указание. Построить прямоугольник на координатной плоскости, чтобы его вершины получили координаты. Через неизвестные координаты точки P выразить угловые коэффициенты прямых, на которых лежат отрезки DP, CP и BP. Угловые коэффициенты прямых являются тангенсами неких углов. Разность одной пары углов равна 150°, а второй пары — 45°. Для вычисления тангенса разности углов есть формула. Две формулы дадут два уравнения для угловых коэффициентов. Эти уравнения и образуют систему. Для получения решения системы уравнений компоненты вектора Zo надо выбирать как координаты предполагаемого положения точки P. Вычислить длину отрезка AP по координатам его концов. Построить чертеж.
9*. Треугольник задан координатами своих вершин. Используя SMath Studio, найти координаты центров и радиусы трех окружностей, которые вписаны в треугольник и касаются друг друга, а также построить треугольник и окружности в графической области.
