§ 30. Моделирование в задачах вычисления координат замечательных точек треугольника

Замечательные точки треугольника — точки, положение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Замечательных точек треугольника известно очень много (пример 30.1).

Мы рассмотрим только три такие точки:

- центр описанной окружности;

- центр вписанной окружности;

- точку пересечения медиан.

Поскольку программное средство для решения задачи задано, то построить, прежде всего, следует математическую модель (пример 30.3). Поэтому модель решения задачи создадим по следующему простому плану:

3а — создание документальной математи­ческой модели;

Аналитический метод позволяет получить решение, но формулы придется выводить без помощи пакета SMath Studio (пример 30.4).

Метод введения неизвестных позволяет считать двумя неизвестными координаты центра описанной окружности. Тогда три равных расстояния от центра до вершин треугольника позволят построить систему уравнений и найти значения неизвестных как решения системы.

Выбираем метод введения неизвестных.

Введем координаты вершин треугольника как переменные: A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3).

Центр описанной окружности обозначим O (латинское) с неизвестными координатами x и y (пример 30.5).

Обозначим dAO расстояние между вершиной A и центром O. Тогда

Аналогично вычисляются расстояния dBO и dCO.

Приравниваем пары расстояний и получаем систему двух уравнений относительно двух неизвестных x и y

Исходные данные и начало расчетной таблицы разместим по схеме, приведенной в примере 30.6.

На рабочем листе всегда есть возможность подровнять верхние границы нескольких областей или их левые границы (пример 30.7).

Здесь же в исходных данных чуть ниже выведем в графической области изображение треугольника. Для этого подготовим матрицу координат вершин треугольника и матрицу параметров текста.

Выводим графическую область, а в ней выводим векторы V и P (см. п. 29.4). Меняем масштаб изображения и положение осей так, чтобы в области был виден весь треугольник. Чтобы поднять букву B в графической области, во второй строке матрицы P вместо y2 запишем y2 +2.

Ниже вводим заголовок «Расчеты» и формулы вычисления расстояний от вершин до центра O описанной окружности. При вводе похожих формул надо максимально использовать возможности копирования и редактирования (пример 30.8).

Составляем вектор системы S, вектор неизвестных Z и вектор Zo начального приближения (см. п. 28.2), который выбирается как оценка координат центра описанной окружности.

Вводим на рабочий лист вектор переменных и присваиваем ему значение функции roots(), т. е. численные значения координат центра окружности.

Вектор переменных сохраняет решение системы как значения переменных x и y.

Теперь в графической области нужно построить окружность и ее центр (пример 30.9).

Если размер окружности, которая называется описанной, можно подобрать так, что она действительно пройдет через вершины треугольника, то это графически подтверждает адекватность построенной модели (пример 30.10).

Задача 1 состояла в построении компьютерной модели, и эта задача решена.

Основу решения задачи 2 также составляет математическая модель (пример 30.14). Поэтому модель решения задачи создадим по следующему плану:

3а — создание документальной математи­ческой модели;

Сохраним обозначения задачи 1 для координат вершин: A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3 ;y3), а обозначение  O (латинское) с неизвестными координатами x и y используем для точки пересечения медиан треугольника.

Если соединить точку O с вершинами треугольника, то получим три треугольника (пример 30.15), площади которых равны. Это свойство послужит основанием для создания системы уравнений.

Для нахождения площади треугольника на координатной плоскости есть формула (пример 30.16).

Воспользуемся моделью задачи 1. Сохраняем ее в файле под другим именем и будем изменять. Изменяем заголовок (см. в примере 30.13), восстанавливаем исходные данные и удаляем три формулы расчета расстояний из раздела «Расчеты».

На место удаленных формул вводим формулы для расчета площадей треугольников (пример 30.18).

Теперь нужно изменить вектор системы S и привести его к виду

Вектор Zo начального приближения, как вектор предполагаемых координат точки пересечения медиан, можно оставить со значениями 12; 10. Получаем решение

Проверку адекватности модели можно провести аналитическими расчетами (пример 30.20).

Основу решения задачи 3 составляет математическая модель (пример 30.22). Поэтому модель решения задачи создадим по следующему плану:

3а — создание документальной математи­ческой модели;

Сохраним обозначения задачи 1 для координат вершин: A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3), а обозначение O (латинское) с неизвестными координатами x и y будем использовать для центра вписанной окружности.

Расстояние от центра вписанной окружности до одной стороны треугольника равно расстоянию от этого центра до другой стороны и равно радиусу вписанной окружности. Это свойство послужит основанием для создания системы уравнений.

Для нахождения расстояния от точки до отрезка на координатной плоскости есть формула (пример 30.23).

Поскольку все три высоты равны между собой для центра вписанной окружности, приравниваем пары высот и получаем систему двух уравнений относительно двух неизвестных, решение которой является решением задачи 3.

.

Воспользуемся моделью задачи 1. Сохраняем ее в файле под другим именем и будем изменять. Изменяем одну букву в заголовке (см. в примере 30.21), восстанавливаем исходные данные.

Изменяем первые три формулы (пример 30.24). Загружаем файл с моделью задачи 2. Открываем его, выделяем первые три формулы раздела «Расчеты», копируем в буфер обмена, открываем лист задачи 3 и вставляем формулы на лист правее первых трех.  

Затем под первыми тремя формулами устанавливаем указатель места ввода и, нажимая клавишу Enter, опускаем остальные формулы на 9-10 клеток вниз, освобождая место для формул вычисления длин высот (пример 30.25).

Радиус r вписанной окружности в модели дают равные значения hAOB, hAOC и hBOC. Для сравнения этот радиус можно вычислить по другим формулам (пример 30.27).