§ 32-1. Вихревое электрическое поле. ЭДС индукции в движущихся проводниках

ЭДС индукции в движущихся проводниках. Рассмотрим металлический прямолинейный проводник длиной l, движущийся в неизменяющемся во времени магнитном поле так, что скорость v with rightwards arrow on top его движения перпендикулярна индукции магнитного поля B with rightwards arrow on top а также проводнику. Проводник тоже перпендикулярен B with rightwards arrow on top (рис. 184.3, а). Несмотря на отсутствие вихревого электрического поля, в проводнике возникает ЭДС индукции. Выясним причину её возникновения.

Очевидно, что свободные электроны в проводнике движутся вместе с ним. В магнитном поле на движущиеся заряженные частицы действует сила Лоренца. Под действием этой силы свободные электроны перемещаются к торцу C apostrophe проводника (рис. 184.3, б). Это приводит к тому, что на одном конце проводника преимущественно накапливаются отрицательные заряды, а на другом — положительные, совместно создающие электрическое поле. Поэтому между концами проводника возникает разность потенциалов U.

Рис.
Рис. 184.3

Пусть мгновенная скорость в начале упорядоченного движения электронов в системе отсчёта, связанной с проводником, равна u with rightwards arrow on top как только проводник пересекает границу магнитного поля. Тогда мгновенная скорость v with rightwards arrow on top subscript straight р движения электронов в инерциальной системе отсчёта, в которой задано стационарное магнитное поле, v with rightwards arrow on top subscript straight р equals u with rightwards arrow on top plus v with rightwards arrow on top, причём направление скорости v with rightwards arrow on top subscript straight р составляет угол φ с направлением скорости v with rightwards arrow on top движения проводника (рис. 184.3, б). Если е — модуль заряда электрона, то модуль силы Лоренца, действующей на электрон со стороны магнитного поля, FЛ = еBυр, а её направление составляет угол 90° с направлением скорости v with rightwards arrow on top subscript straight р движения электрона.

На этом этапе движения свободных электронов сила Лоренца имеет две составляющие: F with rightwards arrow on top subscript straight л perpendicular end subscript, направленную перпендикулярно проводнику, и F with rightwards arrow on top subscript straight л parallel to end subscript, направленную вдоль проводника. Именно продольная составляющая силы Лоренца F with rightwards arrow on top subscript straight л parallel to end subscript выполняет работу по разделению зарядов. Её модуль F with rightwards arrow on top subscript straight л parallel to end subscript equals F subscript straight л cosφ equals e B v subscript straight р cosφ equals e B v. Перераспределение зарядов внутри проводника, связанное с увеличением абсолютного значения избыточных зарядов на его торцах, происходит до тех пор, пока сила, действующая на свободный электрон со стороны нарастающего электрического поля, не скомпенсирует продольную составляющую силы Лоренца: F subscript straight л parallel to end subscript equals F subscript эл, или e B v equals e E (1). Поскольку напряжённость однородного электрического поля внутри прямолинейного проводника связана с разностью потенциалов между его концами соотношением E equals U over l (2), то из уравнений (1) и (2) следует, что U equals B v l. Таким образом, сторонней силой, способствующей разделению зарядов в проводнике, является продольная составляющая силы Лоренца F with rightwards arrow on top subscript straight л parallel to end subscript.

Магнитное поле способствует разделению электрических зарядов в движущемся проводнике, однако не может служить источником энергии, так как магнитная сила, действующая на движущиеся электрические заряды, перпендикулярна скорости заряда, поэтому работа магнитных сил всегда равна нулю. В изолированном проводнике, движущемся с постоянной скоростью в стационарном магнитном поле, возникшая при разделении зарядов электрическая сила F with rightwards arrow on top subscript эл компенсирует действие продольной составляющей силы Лоренца F with rightwards arrow on top subscript straight л parallel to end subscript и обращает в нуль скорость упорядоченного движения электронов u with rightwards arrow on top equals 0 with rightwards arrow on top, следовательно, перпендикулярная составляющая силы Лоренца F with rightwards arrow on top subscript straight л perpendicular end subscript тоже оказывается равной нулю.

Превращение механической энергии в электрическую принято рассматривать при наличии индукционного тока. Рассмотрим прямоугольный контур, образованный металлическим проводником длиной l, находящимся на гладких проводящих горизонтальных шинах в вертикальном однородном магнитном поле, модуль индукции которого В (рис. 177.2, г). Правые концы шин подсоединены к резистору, электрическое сопротивление которого R. Сопротивление остальной части контура пренебрежимо мало. Если проводник скользит с постоянной скоростью v with rightwards arrow on top, направленной горизонтально и перпендикулярно проводнику, то за промежуток времени Δt площадь поверхности, ограниченной контуром, изменится на величину increment S equals negative l v increment t, а магнитный поток через эту поверхность — на increment straight Ф equals negative B l v increment t. Следовательно, в контуре наводится ЭДС индукции calligraphic E subscript инд equals negative fraction numerator increment straight Ф over denominator increment t end fraction equals B l v, обеспечивающая индукционный ток. Воспользовавшись законом Ома для полной цепи, выразим силу индукционного тока I subscript инд equals calligraphic E subscript инд over R equals fraction numerator B l v over denominator R end fraction.

Однородное магнитное поле на прямолинейный участок проводника с током действует силой Ампера, модуль которой F subscript straight А equals I subscript инд l B equals fraction numerator B squared l squared v over denominator R end fraction. Обеспечить движение проводника с постоянной скоростью можно, если скомпенсировать силу Ампера F with rightwards arrow on top subscript straight А внешней силой F with rightwards arrow on top subscript внеш equals negative F with rightwards arrow on top subscript straight А. Воспользовавшись правилом левой руки, можно убедиться, что направление силы Ампера F with rightwards arrow on top subscript straight А противоположно направлению скорости v with rightwards arrow on top движения проводника (см. рис. 184.3, г), что согласуется с правилом Ленца. Мощность, развиваемая внешней силой, P subscript внеш equals F subscript внеш v equals fraction numerator B squared l squared v squared over denominator R end fraction equals I subscript инд superscript 2 R совпадает с мощностью индукционного тока.

Направление индукционного тока можно определить по правилу правой руки: если правую руку расположить вдоль проводника так, чтобы перпендикулярная составляющая магнитной индукции входила в ладонь, а отогнутый большой палец показывал направление движения проводника, то четыре вытянутых пальца укажут направление индукционного тока в проводнике (рис. 184.4).

Рис.
Рис. 184.4

Если угол α между направлениями скорости v with rightwards arrow on top движения проводника и индукции B with rightwards arrow on top магнитного поля не равен 90°, то ЭДС индукции, возникающая в прямолинейном проводнике, поступательно движущемся в однородном магнитном поле, прямо пропорциональна модулю индукции магнитного поля, длине активной части проводника (части, которая находится в магнитном поле), модулю скорости движения проводника и синусу угла между направлениями магнитной индукции поля и скорости проводника:

calligraphic E subscript инд equals B l v sinα.

img

img

1. В чём отличие электростатического поля от вихревого электрического поля?

2. Что определяет ЭДС индукции, возникающую в прямолинейном проводнике, поступательно движущемся в стационарном магнитном поле?

3. От чего зависит ЭДС индукции, возникающая в прямолинейном проводнике, который поступательно движется в неизменяющемся со временем магнитном поле?