Print bookPrint book

§ 32-1. Вихревое электрическое поле. ЭДС индукции в движущихся проводниках

Site: Профильное обучение
Course: Физика. 10 класс
Book: § 32-1. Вихревое электрическое поле. ЭДС индукции в движущихся проводниках
Printed by: Guest user
Date: Friday, 19 August 2022, 1:44 AM

Вихревое электрическое поле. При изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную проводящим замкнутым неподвижным (относительно выбранной инерциальной системы отсчёта) контуром, в нём возникает электрический ток. Это свидетельствует о том, что на свободные заряженные частицы в контуре действуют силы. Но для беспорядочно движущихся заряженных частиц усреднённое значение силы Лоренца равно нулю, следовательно, на такие частицы действует электрическое поле. Дж. Максвелл первым предположил, что при любом изменении во времени магнитного поля в окружающем пространстве возникает электрическое поле. Его называют индукционным или индуцированным. Именно это индукционное электрическое поле действует на заряженные частицы, приводя их в упорядоченное движение и создавая индукционный электрический ток. Подчеркнём, что индукционное электрическое поле не связано с электрическими зарядами, его источником является изменяющееся со временем магнитное поле. Линии напряжённости индукционного электрического поля замкнуты.

Электрическое поле, возникающее при любом изменении во времени магнитного поля, является одним из вихревых полей.

Вихревой, т. е. непотенциальный, характер индукционного электрического поля — причина того, что при перемещении заряда по замкнутой цепи это поле совершает работу, не равную нулю.

Таким образом, ЭДС индукции, возникающая в неподвижном замкнутом контуре, находящемся в изменяющемся во времени магнитном поле, равна работе сил вихревого электрического поля по перемещению вдоль этого контура единичного положительного заряда. Если такой контур оказывается проводящим, то возникшая в нём ЭДС индукции приводит к появлению индукционного тока.

Максвелл в 1873 г. установил, что ЭДС индукции, возникающая в неподвижном контуре при изменении во времени магнитного поля, не зависит от характеристик этого контура (вещества, вида свободных носителей заряда, сопротивления, температуры и др.). На основании этого он сделал вывод, что роль контура сводится только к индикации вихревого электрического поля, создаваемого переменным магнитным полем.

Итак, сущность явления электромагнитной индукции заключается в том, что вихревое электрическое поле возникает в любой точке пространства, если в этой точке существует изменяющееся во времени магнитное поле, независимо от того, есть там проводящий контур или нет.

Линии напряжённости вихревого электрического поля охватывают линии индукции изменяющегося во времени магнитного поля. Направление линий напряжённости вихревого электрического поля определяют по правилу Ленца. Действительно, если поместить в изменяющееся во времени магнитное поле замкнутый проводящий контур, то по нему в направлении линий напряжённости электрического поля пойдёт индукционный электрический ток.

Рис.
Рис. 184.2

Этот ток создаёт индукционное магнитное поле, индукция которого B with rightwards arrow on top subscript инд изображена на рисунке 184.2 штриховыми линиями. Она направлена так, что индукционное магнитное поле противодействует изменению основного магнитного поля (правило Ленца): если модуль индукции основного поля возрастает, то вектор B with rightwards arrow on top subscript инд направлен противоположно вектору индукции основного поля B with rightwards arrow on top (см. рис. 184.2, а); если модуль индукции основного поля уменьшается, то векторы B with rightwards arrow on top subscript инд и B with rightwards arrow on top одинаково направлены (см. рис. 184.2, б).

ЭДС индукции в движущихся проводниках. Рассмотрим металлический прямолинейный проводник длиной l, движущийся в неизменяющемся во времени магнитном поле так, что скорость v with rightwards arrow on top его движения перпендикулярна индукции магнитного поля B with rightwards arrow on top а также проводнику. Проводник тоже перпендикулярен B with rightwards arrow on top (рис. 184.3, а). Несмотря на отсутствие вихревого электрического поля, в проводнике возникает ЭДС индукции. Выясним причину её возникновения.

Очевидно, что свободные электроны в проводнике движутся вместе с ним. В магнитном поле на движущиеся заряженные частицы действует сила Лоренца. Под действием этой силы свободные электроны перемещаются к торцу C apostrophe проводника (рис. 184.3, б). Это приводит к тому, что на одном конце проводника преимущественно накапливаются отрицательные заряды, а на другом — положительные, совместно создающие электрическое поле. Поэтому между концами проводника возникает разность потенциалов U.

Рис.
Рис. 184.3

Пусть мгновенная скорость в начале упорядоченного движения электронов в системе отсчёта, связанной с проводником, равна u with rightwards arrow on top как только проводник пересекает границу магнитного поля. Тогда мгновенная скорость v with rightwards arrow on top subscript straight р движения электронов в инерциальной системе отсчёта, в которой задано стационарное магнитное поле, v with rightwards arrow on top subscript straight р equals u with rightwards arrow on top plus v with rightwards arrow on top, причём направление скорости v with rightwards arrow on top subscript straight р составляет угол φ с направлением скорости v with rightwards arrow on top движения проводника (рис. 184.3, б). Если е — модуль заряда электрона, то модуль силы Лоренца, действующей на электрон со стороны магнитного поля, FЛ = еBυр, а её направление составляет угол 90° с направлением скорости v with rightwards arrow on top subscript straight р движения электрона.

На этом этапе движения свободных электронов сила Лоренца имеет две составляющие: F with rightwards arrow on top subscript straight л perpendicular end subscript, направленную перпендикулярно проводнику, и F with rightwards arrow on top subscript straight л parallel to end subscript, направленную вдоль проводника. Именно продольная составляющая силы Лоренца F with rightwards arrow on top subscript straight л parallel to end subscript выполняет работу по разделению зарядов. Её модуль F with rightwards arrow on top subscript straight л parallel to end subscript equals F subscript straight л cosφ equals e B v subscript straight р cosφ equals e B v. Перераспределение зарядов внутри проводника, связанное с увеличением абсолютного значения избыточных зарядов на его торцах, происходит до тех пор, пока сила, действующая на свободный электрон со стороны нарастающего электрического поля, не скомпенсирует продольную составляющую силы Лоренца: F subscript straight л parallel to end subscript equals F subscript эл, или e B v equals e E (1). Поскольку напряжённость однородного электрического поля внутри прямолинейного проводника связана с разностью потенциалов между его концами соотношением E equals U over l (2), то из уравнений (1) и (2) следует, что U equals B v l. Таким образом, сторонней силой, способствующей разделению зарядов в проводнике, является продольная составляющая силы Лоренца F with rightwards arrow on top subscript straight л parallel to end subscript.

Магнитное поле способствует разделению электрических зарядов в движущемся проводнике, однако не может служить источником энергии, так как магнитная сила, действующая на движущиеся электрические заряды, перпендикулярна скорости заряда, поэтому работа магнитных сил всегда равна нулю. В изолированном проводнике, движущемся с постоянной скоростью в стационарном магнитном поле, возникшая при разделении зарядов электрическая сила F with rightwards arrow on top subscript эл компенсирует действие продольной составляющей силы Лоренца F with rightwards arrow on top subscript straight л parallel to end subscript и обращает в нуль скорость упорядоченного движения электронов u with rightwards arrow on top equals 0 with rightwards arrow on top, следовательно, перпендикулярная составляющая силы Лоренца F with rightwards arrow on top subscript straight л perpendicular end subscript тоже оказывается равной нулю.

Превращение механической энергии в электрическую принято рассматривать при наличии индукционного тока. Рассмотрим прямоугольный контур, образованный металлическим проводником длиной l, находящимся на гладких проводящих горизонтальных шинах в вертикальном однородном магнитном поле, модуль индукции которого В (рис. 177.2, г). Правые концы шин подсоединены к резистору, электрическое сопротивление которого R. Сопротивление остальной части контура пренебрежимо мало. Если проводник скользит с постоянной скоростью v with rightwards arrow on top, направленной горизонтально и перпендикулярно проводнику, то за промежуток времени Δt площадь поверхности, ограниченной контуром, изменится на величину increment S equals negative l v increment t, а магнитный поток через эту поверхность — на increment straight Ф equals negative B l v increment t. Следовательно, в контуре наводится ЭДС индукции calligraphic E subscript инд equals negative fraction numerator increment straight Ф over denominator increment t end fraction equals B l v, обеспечивающая индукционный ток. Воспользовавшись законом Ома для полной цепи, выразим силу индукционного тока I subscript инд equals calligraphic E subscript инд over R equals fraction numerator B l v over denominator R end fraction.

Однородное магнитное поле на прямолинейный участок проводника с током действует силой Ампера, модуль которой F subscript straight А equals I subscript инд l B equals fraction numerator B squared l squared v over denominator R end fraction. Обеспечить движение проводника с постоянной скоростью можно, если скомпенсировать силу Ампера F with rightwards arrow on top subscript straight А внешней силой F with rightwards arrow on top subscript внеш equals negative F with rightwards arrow on top subscript straight А. Воспользовавшись правилом левой руки, можно убедиться, что направление силы Ампера F with rightwards arrow on top subscript straight А противоположно направлению скорости v with rightwards arrow on top движения проводника (см. рис. 184.3, г), что согласуется с правилом Ленца. Мощность, развиваемая внешней силой, P subscript внеш equals F subscript внеш v equals fraction numerator B squared l squared v squared over denominator R end fraction equals I subscript инд superscript 2 R совпадает с мощностью индукционного тока.

Направление индукционного тока можно определить по правилу правой руки: если правую руку расположить вдоль проводника так, чтобы перпендикулярная составляющая магнитной индукции входила в ладонь, а отогнутый большой палец показывал направление движения проводника, то четыре вытянутых пальца укажут направление индукционного тока в проводнике (рис. 184.4).

Рис.
Рис. 184.4

Если угол α между направлениями скорости v with rightwards arrow on top движения проводника и индукции B with rightwards arrow on top магнитного поля не равен 90°, то ЭДС индукции, возникающая в прямолинейном проводнике, поступательно движущемся в однородном магнитном поле, прямо пропорциональна модулю индукции магнитного поля, длине активной части проводника (части, которая находится в магнитном поле), модулю скорости движения проводника и синусу угла между направлениями магнитной индукции поля и скорости проводника:

calligraphic E subscript инд equals B l v sinα.

img

img

1. В чём отличие электростатического поля от вихревого электрического поля?

2. Что определяет ЭДС индукции, возникающую в прямолинейном проводнике, поступательно движущемся в стационарном магнитном поле?

3. От чего зависит ЭДС индукции, возникающая в прямолинейном проводнике, который поступательно движется в неизменяющемся со временем магнитном поле?

Пример решения задачи

Прямолинейный проводник длиной l = 40 см перемещают поступательно в однородном магнитном поле, модуль индукции которого В = 0,16 Тл. Ось проводника составляет угол α = 30° с направлением линий индукции магнитного поля, а скорость движения перпендикулярна его оси и линиям индукции. Определите модуль ускорения проводника, если ЭДС индукции в проводнике увеличивается со скоростью fraction numerator increment calligraphic E subscript инд over denominator increment t end fraction equals 80 space мВ over straight с.

Дано:
l = 40 см = 0,40 м
В = 0,16 Тл
α = 30°
fraction numerator increment calligraphic E subscript инд over denominator increment t end fraction equals 80 space мВ over straight с equals 8 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space straight В over straight с
a — ?

Решение: Модуль ускорения проводника a equals fraction numerator increment v over denominator increment t end fraction. С учётом формулы calligraphic E subscript инд equals B l v sinα для определения ЭДС индукции, возникающей в проводнике, движущемся в однородном магнитном поле, запишем:

fraction numerator increment calligraphic E subscript инд over denominator increment t end fraction equals fraction numerator calligraphic E subscript инд 2 end subscript minus calligraphic E subscript инд 1 end subscript over denominator increment t end fraction equals fraction numerator B l open parentheses v subscript 2 minus v subscript 1 close parentheses sinα over denominator increment t end fraction equals B l fraction numerator increment v over denominator increment t end fraction sinα equals B l a sinα

Отсюда модуль ускорения проводника a equals fraction numerator increment calligraphic E subscript инд over denominator increment t end fraction times fraction numerator 1 over denominator B l sinα end fraction.

a equals 8 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space straight В over straight с times fraction numerator 1 over denominator 0 comma 16 space Тл times 0 comma 40 space straight м times sin space 30 degree end fraction equals 2 comma 5 straight м over straight с squared.

Ответ: a equals 2 comma 5 straight м over straight с squared.

Упражнение 23.1

1. Самолёт с размахом крыльев l = 20 м летит горизонтально со скоростью, модуль которой υ = 900 км over straight ч. Определите разность потенциалов, возникающую между концами крыльев самолёта, если модуль вертикальной составляющей индукции магнитного поля Земли B subscript perpendicular= 5,0 · 10-5 Тл.

2. В проводнике, входящем в замкнутый проводящий контур и движущемся перпендикулярно линиям индукции магнитного поля (рис. 184.5), возник индукционный ток, направление которого показано на рисунке. Определите направление движения проводника.

Рис.
Рис. 184.5

3. Прямолинейный проводник длиной l = 20 см перемещают поступательно в однородном магнитном поле, модуль индукции которого В = 0,32 Тл. Ось проводника составляет угол α = 30° с направлением линий магнитной индукции, а скорость его движения перпендикулярна оси и линиям индукции. Определите скорость изменения ЭДС индукции в проводнике, если модуль ускорения проводника а = 2,5 straight м over straight с squared.