§ 24. Энергия электростатического поля конденсатора

Примеры решения задач

Пример 1. Определите, как и во сколько раз изменится энергия электростатического поля заряженного плоского воздушного конденсатора, если пространство между его обкладками заполнить керосином, диэлектрическая проницаемость которого ε2 = 2. Рассмотрите случаи: а) конденсатор отключён от источника тока; б) конденсатор подключён к источнику тока.

Дано:
ε1 = 1
ε2 = 2
W subscript 2 over W subscript 1 — ?

Решение: Электроёмкость воздушного конденсатора C subscript 1 equals fraction numerator straight epsilon subscript 1 straight epsilon subscript 0 S over denominator d end fraction equals fraction numerator straight epsilon subscript 0 S over denominator d end fraction. Электроёмкость этого конденсатора после заполнения пространства между обкладками керосином C subscript 2 equals fraction numerator straight epsilon subscript 2 straight epsilon subscript 0 S over denominator d end fraction. Следовательно, C subscript 2 equals straight epsilon subscript 2 C subscript 1.

В случае а) конденсатор отключён от источника тока, поэтому q2 = q1. Тогда, если энергия электростатического поля воздушного конденсатора W subscript 1 equals fraction numerator q squared over denominator 2 C subscript 1 end fraction, то энергия электростатического поля этого конденсатора, заполненного керосином:

W subscript 2 equals fraction numerator q squared over denominator 2 C subscript 2 end fraction equals fraction numerator q squared over denominator 2 straight epsilon subscript 2 C subscript 1 end fraction equals W subscript 1 over epsilon subscript 2.

Таким образом, энергия электростатического поля уменьшилась в 2 раза.

В случае б) конденсатор не отключён от источника тока, поэтому напряжение между его обкладками равно напряжению между полюсами источника тока U2 = U1 = U. Тогда, если энергия электростатического поля воздушного конденсатора W subscript 1 equals fraction numerator C subscript 1 U squared over denominator 2 end fraction, то энергия электростатического поля этого конденсатора, заполненного керосином:

W subscript 2 equals fraction numerator C subscript 2 U squared over denominator 2 end fraction equals fraction numerator straight epsilon subscript 2 C subscript 1 U squared over denominator 2 end fraction equals straight epsilon subscript 2 W subscript 1.

Таким образом, энергия электростатического поля увеличилась в 2 раза.

Ответ: а) энергия электростатического поля уменьшилась в 2 раза; б) энергия электростатического поля увеличилась в 2 раза.

Пример 2. Плоский воздушный конденсатор, площадь перекрытия обкладок которого S = 100 см2, поместили в керосин с диэлектрической проницаемостью ε = 2,0 и подключили к источнику тока с напряжением на полюсах U = 120 В. Определите минимальную работу, которую необходимо совершить внешней силе, чтобы после отключения конденсатора от источника тока медленно увеличить расстояние между его обкладками от d1 = 1,0 см до d2 = 2,0 см.

Дано:
S = 100 см2 = 1,00 · 10–2 м2
ε = 2,0
U = 120 В
d1 = 1,0 см = 1,0 · 10–2 м
d2 = 2,0 см = 2,0 · 10–2 м
A subscript внеш superscript min — ?

Решение: Модуль заряда каждой из обкладок конденсатора

q equals C subscript 1 U equals fraction numerator straight epsilon straight epsilon subscript 0 S U over denominator d subscript 1 end fraction.

Энергия электростатического поля конденсатора до изменения расстояния между его обкладками

W subscript 1 equals fraction numerator q U over denominator 2 end fraction equals fraction numerator straight epsilon straight epsilon subscript 0 S U squared over denominator 2 d subscript 1 end fraction.

После отключения конденсатора от источника тока заряды на его обкладках не изменяются.

Энергию электростатического поля конденсатора после увеличения расстояния между его пластинами определим следующим образом:

W subscript 2 equals fraction numerator q squared over denominator 2 C subscript 2 end fraction equals fraction numerator open parentheses straight epsilon straight epsilon subscript 0 S U close parentheses squared d subscript 2 over denominator 2 d subscript 1 squared straight epsilon straight epsilon subscript 0 S end fraction equals fraction numerator straight epsilon straight epsilon subscript 0 S U squared d subscript 2 over denominator 2 d subscript 1 squared end fraction.

Минимальная работа, которую необходимо совершить внешней силе, чтобы увеличить расстояние между обкладками конденсатора, равна приращению энергии электростатического поля конденсатора, так как при медленном увеличении расстояния между обкладками конденсатора их кинетическая энергия остаётся близкой нулю.

A subscript внеш superscript min equals W subscript 2 minus W subscript 1 equals fraction numerator straight epsilon straight epsilon subscript 0 S U squared d subscript 2 over denominator 2 d subscript 1 squared end fraction minus fraction numerator straight epsilon straight epsilon subscript 0 S U squared over denominator 2 d subscript 1 end fraction equals fraction numerator straight epsilon straight epsilon subscript 0 S U squared over denominator 2 d subscript 1 end fraction open parentheses d subscript 2 over d subscript 1 minus 1 close parentheses.

A subscript внеш superscript min equals fraction numerator 2 comma 0 times 8 comma 85 times 10 to the power of negative 12 end exponent space begin display style fraction numerator Кл squared over denominator straight Н times straight м squared end fraction end style times 1 comma 00 times 10 to the power of negative 2 end exponent space straight м squared times 120 squared space straight В squared over denominator 2 times 1 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space straight м end fraction times open parentheses fraction numerator 2 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space straight м over denominator 1 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space straight м end fraction minus 1 close parentheses equals 1 comma 3 times 10 to the power of negative 7 end exponent space Дж equals 0 comma 13 space мкДж.

Ответ: A subscript внеш superscript min equals 0 comma 13 space мкДж.