§ 17. Взаимодействие точечных зарядов. Закон Кулона

Примеры решения задач

Пример 1. Два точечных заряда находятся в керосине на расстоянии r1 = 42 см. Определите, на каком расстоянии должны находиться эти заряды в глицерине, чтобы модуль сил их электростатического взаимодействия остался прежним. Диэлектрические проницаемости керосина ε1 = 2,0, глицерина ε2 = 56,2.

Дано:
r1 = 42 см
Fк1 = Fк2
ε1 = 2,0
ε2 = 56,2
r2 — ?

Решение: Поскольку Fк1 = Fк2, то, воспользовавшись законом Кулона, можно записать: k fraction numerator open vertical bar q subscript 1 close vertical bar times open vertical bar q subscript 2 close vertical bar over denominator straight epsilon subscript 1 r subscript 1 squared end fraction equals fraction numerator open vertical bar q subscript 1 close vertical bar times open vertical bar q subscript 2 close vertical bar over denominator straight epsilon subscript 2 r subscript 2 squared end fraction.

Следовательно, r subscript 2 equals r subscript 1 square root of straight epsilon subscript 1 over straight epsilon subscript 2 end root.

r subscript 2 equals 42 space см space square root of fraction numerator 2 comma 0 over denominator 56 comma 2 end fraction end root equals 7 comma 9 space см.

Ответ: r2 = 7,9 см.

Пример 2. Точечные заряды q1 = 3,4 нКл и q2 = –5,6 нКл находятся в вакууме на расстоянии r = 36 см. Определите модуль и направление результирующей силы, действующей на заряд q3 = 3,2 нКл, помещённый в точку пространства, находящуюся на середине отрезка, соединяющего эти заряды.

Дано:
q1 = 3,4 нКл = 3,4 · 10–9 Кл
q2 = –5,6 нКл = –5,6 · 10–9 Кл
r = 36 см = 0,36 м
q3 = 3,2 нКл = 3,2 · 10–9 Кл
F with rightwards arrow on top subscript straight р — ?

Решение: Изобразим на рисунке силы F with rightwards arrow on top subscript 13 и F with rightwards arrow on top subscript 23, действующие на точечный заряд q3 со стороны точечных зарядов q1 и q2 соответственно. Построив векторную сумму сил F with rightwards arrow on top subscript 13 и F with rightwards arrow on top subscript 23, определим, что результирующая F with rightwards arrow on top subscript straight р этих сил направлена к заряду q2 (рис. 102).

Поскольку силы F with rightwards arrow on top subscript 13 и F with rightwards arrow on top subscript 23 направлены одинаково, то модуль результирующей силы F subscript straight р equals F subscript 13 plus F subscript 23 equals fraction numerator 4 k q subscript 3 over denominator r squared end fraction left parenthesis q subscript 1 plus open vertical bar q subscript 2 close vertical bar right parenthesis.

Таким образом,

F subscript straight р equals fraction numerator 4 times 9 comma 0 times 10 to the power of 9 space begin display style fraction numerator straight Н times straight м squared over denominator Кл squared end fraction end style times 3 comma 2 times 10 to the power of negative 9 end exponent space Кл over denominator left parenthesis 0 comma 36 space straight м right parenthesis squared end fraction times left parenthesis 3 comma 4 times 10 to the power of negative 9 end exponent space Кл plus 5 comma 6 times 10 to the power of negative 9 end exponent space Кл right parenthesis equals 8 comma 0 times 10 to the power of negative 6 end exponent space straight Н equals 8 comma 0 space мкН.

Ответ: Fp = 8,0 мкН; сила направлена к заряду q2.

Материал повышенного уровня

Пример 3. Две бусинки, электрические заряды которых q1 = 40 нКл и q2 = 90 нКл, закреплены на непроводящем стержне на расстоянии r = 40 см друг от друга. Определите: а) где надо поместить третью бусинку, имеющую заряд q3, чтобы она оказалась в равновесии; б) каким должен быть заряд q3 третьей бусинки, чтобы результирующая сила электростатического взаимодействия каждой из трёх бусинок с остальными двумя равнялась нулю.

Дано:
q1 = 40 нКл = 4,0·10–8 Кл
q2 = 90 нКл = 9,0·10-8 Кл
r = 40 см = 0,40 м
х — ?
q3 — ?

Решение: а) Третья бусинка, имеющая заряд q3, будет находиться в равновесии, если её поместить в некоторую точку А между зарядами q1 и q2 на прямой, соединяющей эти заряды (рис. 102.1). Пусть заряд q3 < 0. Тогда со стороны зарядов q1 и q2 на заряд q3 будут действовать противоположно направленные кулоновские силы притяжения F with rightwards arrow on top subscript 13 и F with rightwards arrow on top subscript 23. Согласно второму закону Ньютона, эта бусинка будет покоиться, если модули сил F13 и F23 равны. Тогда, приняв расстояние от заряда q1 до точки А равным х, запишем: k fraction numerator q subscript 1 open vertical bar q subscript 3 close vertical bar over denominator x squared end fraction equals k fraction numerator q subscript 2 open vertical bar q subscript 3 close vertical bar over denominator open parentheses r minus x close parentheses squared end fraction. Так как k и q3 не равны нулю, то это выражение можно сократить: q subscript 1 over x squared equals q subscript 2 over open parentheses r minus x close parentheses squared. Извлечём из обеих частей равенства квадратный корень open parentheses x greater than 0 comma space r minus x greater than 0 close parentheses colon space fraction numerator square root of q subscript 1 end root over denominator x end fraction equals fraction numerator square root of q subscript 2 end root over denominator r minus x end fraction. Отсюда:

x equals fraction numerator square root of q subscript 1 end root times r over denominator square root of q subscript 1 end root plus square root of q subscript 2 end root end fraction.

x equals fraction numerator square root of 4 comma 0 times 10 to the power of negative 8 end exponent space Кл end root times 0 comma 40 space straight м over denominator square root of 4 comma 0 times 10 to the power of negative 8 end exponent space Кл end root plus square root of 9 comma 0 times 10 to the power of negative 8 end exponent space Кл end root end fraction equals 0 comma 16 space straight м.

Рис.
Рис. 102.1
Рис.
Рис. 102.2

Такое же значение х мы получим, если примем заряд q3 бусинки положительным (проверьте это самостоятельно).

б) Результирующая сила электростатического взаимодействия каждой из трёх бусинок с остальными двумя равна нулю, если, например, третья бусинка притягивает вторую силой, модуль open vertical bar F with rightwards arrow on top subscript 32 close vertical bar которой равен модулю силы open vertical bar F with rightwards arrow on top subscript 12 close vertical bar, какой её отталкивает первая бусинка (рис. 102.2). При этом заряд третьей бусинки должен быть отрицательным, т. е. q3 < 0. Тогда k fraction numerator q subscript 1 q subscript 2 over denominator r squared end fraction equals k fraction numerator q subscript 2 open vertical bar q subscript 3 close vertical bar over denominator open parentheses r minus x close parentheses squared end fraction. Отсюда open vertical bar q subscript 3 close vertical bar equals open parentheses r minus x close parentheses squared over r squared q subscript 1.

open vertical bar q subscript 3 close vertical bar equals open parentheses 0 comma 24 space straight м close parentheses squared over open parentheses 0 comma 44 space straight м close parentheses squared times 4 comma 0 times 10 to the power of negative 8 end exponent space Кл equals 1 comma 4 times 10 to the power of negative 8 end exponent space Кл space equals 14 space нКл.

Ответ: х = 16 см, расстояние до бусинки с зарядом q3 не зависит от значения и знака её заряда; если заряд бусинки q3 = ‒14 нКл, то результирующая сила электростатического взаимодействия каждой из трёх бусинок с остальными двумя равна нулю.

Рис.
Рис. 102.3

Пример 4. Два одинаковых маленьких проводящих шарика массой m = 20 мг каждый подвешены в воздухе на лёгких нерастяжимых нитях длиной l = 0,20 м, закреплённых в одной точке подвеса. Один из шариков отвели в сторону, сообщили ему заряд q < 0 и отпустили. После столкновения шарики разошлись так, что угол между нитями составил 2α = 60° (рис. 102.3). Определите заряд, который был сообщён первому шарику, а также количество избыточных электронов на каждом из шариков после их столкновения.

Дано:
m = 20 мг = 2,0·10–5 кг
l = 0,20 м
2α = 60°
q – ?
N – ?

Решение: Воспользуемся законом сохранения электрического заряда. При столкновении двух одинаковых проводящих шариков сообщённый одному из них заряд разделился поровну и на каждом шарике оказался избыточный отрицательный заряд q subscript 1 equals q subscript 2 equals q over 2. На каждый шарик действуют сила тяжести F with rightwards arrow on top subscript straight т equals m with rightwards arrow on top g сила электростатического взаимодействия F with rightwards arrow on top subscript Кл и сила упругости нити F with rightwards arrow on top subscript упр (рис. 102.4). После столкновения шарики разошлись, и установилось равновесие. Векторная сумма сил, действующих на каждый шарик, стала равной нулю: m g with rightwards arrow on top plus F with rightwards arrow on top subscript Кл plus F with rightwards arrow on top subscript упр equals 0 with rightwards arrow on top. Модуль силы электростатического взаимодействия F subscript Кл equals k fraction numerator open vertical bar q subscript 1 close vertical bar times open vertical bar q subscript 2 close vertical bar over denominator r squared end fraction equals fraction numerator k q squared over denominator 4 r squared end fraction. Поскольку шарики разошлись симметрично относительно вертикали, проходящей через точку подвеса нитей, то fraction numerator r over denominator 2 l end fraction equals sin space straight alpha (рис. 102.4). Следовательно, F subscript Кл equals fraction numerator k q squared over denominator 16 l squared sin squared straight alpha end fraction. Так как fraction numerator F subscript Кл over denominator m g end fraction equals tg space straight alpha, то fraction numerator k q squared over denominator 16 l squared sin squared straight alpha end fraction equals m g tg space straight alpha, откуда open vertical bar q close vertical bar equals 4 l sin space alpha square root of fraction numerator m g tg space straight alpha over denominator k end fraction end root. Примем k equals 9 comma 0 times 10 to the power of 9 space fraction numerator straight Н times straight м squared over denominator Кл squared end fraction.

Рис.
Рис. 102.4

open vertical bar q close vertical bar equals 4 times 0 comma 20 space straight м times 0 comma 50 square root of fraction numerator 2 comma 0 times 10 to the power of negative 5 end exponent space кг space times 9 comma 8 begin display style straight м over straight с squared end style times 0 comma 58 over denominator 9 comma 0 times 10 to the power of 9 space begin display style fraction numerator straight Н times straight м squared over denominator Кл squared end fraction end style end fraction end root equals 4 comma 5 times 10 to the power of negative 8 end exponent space Кл equals 45 space нКл.

Количество избыточных электронов на каждом шарике N equals fraction numerator open vertical bar q close vertical bar over denominator 2 e end fraction.

N equals fraction numerator 4 comma 5 times 10 to the power of negative 8 end exponent space Кл over denominator 2 times 1 comma 6 times 10 to the power of negative 19 end exponent space Кл end fraction equals 1 comma 4 times 10 to the power of 11.

Ответ: q = ‒45 нКл, N = 1,4 · 1011.