§ 6. Ізатэрмічны, ізабарны і ізахорны працэсы: Прыклады рашэння задач

§ 6. Ізатэрмічны, ізабарны і ізахорны працэсы

Прыклады рашэння задач

Прыклад 1. На малюнку 28 прыведзены графік трох працэсаў змянення стану пэўнай масы ідэальнага газу. Як змяняліся параметры газу на ўчастках 1 $rightwards arrow$ 2, 2 $rightwards arrow$ 3, 3 $rightwards arrow$ 1? Адлюструйце гэтыя працэсы ў каардынатах (p, V) и (p, T).

Рашэнне. На ўчастку 1 $rightwards arrow$ 2 аб’ём газу прама прапарцыянальны абсалютнай тэмпературы. Значыць, працэс пераходу газу са стану 1 у стан 2 з’яўляецца ізабарным. З графіка вынікае, што ў стане 2 тэмпература і аб’ём газу ў 4 разы большыя, чым у стане 1. Значыць, у працэсе ізабарнага расшырэння пэўнай масы газу са стану 1 у стан 2 тэмпература і аб’ём газу павялічыліся. Гэта можна запісаць такім чынам:

пераход $1 rightwards arrow 2 colon space p space equals space const$ , $V upwards arrow$ , $T upwards arrow$ , $V subscript 2 space equals space 4 V subscript 1$ , $T subscript 2 space equals space 4 T subscript 1 space rightwards double arrow$
адбываецца ізабарнае награванне газу.

У працэсе пераходу газу са стану 2 у стан 3 застаецца пастаянным аб’ём (працэс ізахорны), а тэмпература газу памяншаецца ў 4 разы. З суадносін (6.3) вынікае, што пры ізахорным ахаладжэнні ціск газу памяншаецца прапарцыянальна яго абсалютнай тэмпературы. Таму можна запісаць:

пераход $2 rightwards arrow 3 colon space V space equals space const$ , $T downwards arrow$ , $p downwards arrow$ , $p subscript 3 space equals space T subscript 3 over T subscript 2 p subscript 2 space equals space 1 fourth p subscript 2 rightwards double arrow$
адбываецца ізахорнае ахаладжэнне газу.

Працэс пераходу газу са стану 3 у стан 1 — ізатэрмічны. Пры гэтым аб’ём газу памяншаецца ў 4 разы, што цягне за сабой, згодна з законам Бойля — Марыёта, павелічэнне ціску газу ў 4 разы:

пераход $3 rightwards arrow 1 colon space T space equals space const$ , $V downwards arrow$ , $p upwards arrow rightwards double arrow$
адбываецца ізатэрмічнае сцісканне газу.

На падставе зробленых высноў адлюструем усе тры працэсы ў каардынатах (p, V) і (p, T) (мал. 29, а, б).

Прыклад 2. Пры ізатэрмічным расшырэнні ідэальнага газу пэўнай масы яго аб’ём павялічыўся ад V₁ = 2,0 л да V₂ = 5,0 л, а ціск зменшыўся на Δp = –15 кПа. Вызначце першапачатковы ціск газу.

Дадзена:
V₁ = 2,0 л = 2,0 · 10^–3 м³
V₂ = 5,0 л = 5,0 · 10^–3 м³
Δp = –15 кПа = –1,5 · 10⁴ Па

р₁ — ?

Рашэнне. Паколькі тэмпература і маса газу не змяняюцца, то яго пачатковы і канчат ковы станы звязаны з законам Бойля — Марыёта, гэта значыць $p subscript 1 V subscript 1 space end subscript equals space p subscript 2 V subscript 2$ . З улі кам таго, што $p subscript 2 space equals space p subscript 1 space end subscript plus space increment p$ , атрымаем:

$p subscript 1 V subscript 1 space equals space left parenthesis p subscript 1 plus increment p right parenthesis V subscript 2$ .

Адсюль $fraction numerator increment p V subscript 2 over denominator V subscript 1 minus V subscript 2 end fraction$ .

$p subscript 1 space equals space fraction numerator negative 1 comma 5 times 10 to the power of 4 space Па times 5 comma 0 times 10 to the power of negative 3 end exponent space straight м cubed over denominator 2 comma 0 times 10 to the power of negative 3 end exponent space straight м cubed minus 5 comma 0 times 10 to the power of negative 3 end exponent space straight м cubed end fraction space equals space 2 comma 5 times 10 to the power of 4 space Па space equals space 25 space кПа$ .

Адказ: $p subscript 1 space equals space 25 space кПа$ .

Адсылка да электроннага дадатку для павышанага ўзроўню

Прыклад 3. У дзвюх пасудзінах умяшчальнасцю V₁ = 20 л i V₂ = 30 л знаходзяцца ідэальныя газы, якія хімічна не рэагуюць. Іх ціскі p₁ = 1,0 МПа і p₂ = 0,40 МПа адпаведна. Вызначце ціск газаў у пасудзінах пасля таго, як іх злучылі тонкай кароткай трубкай. Тэмпература газаў перад злучэннем і пасля злучэння пасудзін аднолькавая.

Дадзена:
V₁ = 20 л = 2,0 · 10^-2 м³
V₂ = 30 л = 3,0 · 10^-2 м³
p₁ = 1,0 МПа = 1,0 · 10⁶ Па
p₂ = 0,40 МПа = 4,0 · 10⁵ Па
T = const

р — ?

Рашэнне. Ціск сумесі газаў роўны суме парцыяльных ціскаў (закон Дальтана): $p equals p subscript 1 superscript apostrophe plus p subscript 2 superscript apostrophe$ . Знойдзем парцыяльны ціск кожнага газу пасля злучэння пасудзін. Паколькі тэмпература і масы газаў не змяняюцца, то пачатковы і канчатковы станы кожнага газу звязаны законам Бойля — Марыёта, гэта значыць

$p subscript 1 V subscript 1 equals p subscript 1 superscript apostrophe left parenthesis V subscript 1 plus V subscript 2 right parenthesis$ , $p subscript 2 V subscript 2 equals p subscript 2 superscript apostrophe left parenthesis V subscript 1 plus V subscript 2 right parenthesis$ .

Такім чынам, парцыяльныя ціскі газаў пасля злучэння пасудзін: $p subscript 1 superscript apostrophe equals fraction numerator p subscript 1 V subscript 1 over denominator V subscript 1 plus V subscript 2 end fraction$ , $p subscript 2 superscript apostrophe equals fraction numerator p subscript 2 V subscript 2 over denominator V subscript 1 plus V subscript 2 end fraction$ . Тады $p equals fraction numerator p subscript 1 V subscript 1 plus p subscript 2 V subscript 2 over denominator V subscript 1 plus V subscript 2 end fraction$ .

$p equals fraction numerator 1 comma 0 times 10 to the power of 6 space Па times 2 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space straight м cubed plus 4 comma 0 times 10 to the power of 5 space Па times 3 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space straight м cubed over denominator 2 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space straight м cubed plus 3 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space straight м cubed end fraction equals 6 comma 4 times 10 to the power of 5 space Па equals 0 comma 64 space МПа.$

Адказ: p = 0,64 МПа.