§ 22. Разность потенциалов электростатического поля. Напряжение. Связь между напряжением и напряжённостью однородного электростатического поля

Примеры решения задач

Пример 1. Электростатическое поле создано точечным зарядом Q = 2,4 нКл. Определите работу силы поля по переносу пробного заряда q0 = 3,0 пКл из точки А в точку В, если точки находятся на расстояниях rА = 1,0 м и rВ = 4,0 м от заряда-источника поля, а среда — однородное вещество с диэлектрической проницаемостью ε = 2,0.

Дано:
Q = 2,4 нКл = 2,4 · 10–9 Кл
q0 = 3,0 пКл = 3,0 · 10–12 Кл
rА = 1,0 м
rВ = 4,0 м
ε = 2,0.
AAB — ?

Решение: Поле электростатическое, поэтому работа силы поля при переносе пробного заряда q0 из точки А в точку В не зависит от формы траектории и её можно определить по формуле AAB = q0(φA–φB). Потенциалы точек А и В в данной среде straight phi subscript A equals fraction numerator k Q over denominator straight epsilon r subscript A end fraction и straight phi subscript B equals fraction numerator k Q over denominator straight epsilon r subscript B end fraction соответственно.

Тогда

A subscript A B end subscript equals q subscript 0 open parentheses fraction numerator k Q over denominator straight epsilon r subscript A end fraction minus fraction numerator k Q over denominator straight epsilon r subscript A end fraction close parentheses equals fraction numerator k Q q subscript 0 over denominator straight epsilon end fraction times fraction numerator r subscript B minus r subscript A over denominator r subscript A r subscript B end fraction.

Подставив числовые значения, получим

A subscript A B end subscript equals fraction numerator 9 comma 0 times 10 to the power of 9 space begin display style fraction numerator straight Н times straight м squared over denominator Кл squared end fraction end style times 2 comma 4 times 10 to the power of negative 9 end exponent space Кл times 3 comma 0 times 10 to the power of negative 12 end exponent space Кл times left parenthesis 4 comma 0 space straight м space minus 1 comma 0 space straight м right parenthesis over denominator 2 comma 0 times 1 comma 0 space straight м times 4 comma 0 space straight м end fraction equals 2 comma 4 times 10 to the power of negative 11 end exponent space Дж.

Ответ: ААВ = 2,4 · 10–11 Дж.

Пример 2. Электрон начинает двигаться в электрическом поле от точки 1 до точки 2. Определите модуль скорости движения электрона в точке 2, если он ускоряется разностью потенциалов φ1 – φ2 = –40 В. Модуль заряда электрона |е| = 1,6 · 10–19 Кл, а его масса mе = 9,1 · 10–31 кг.

Дано:
v1 = 0
φ1 – φ2 = –40 В
|е| = 1,6 · 10–19 Кл
mе = 9,1 · 10–31 кг
v2 — ?

Решение: Сила электрического поля совершает работу по изменению кинетической энергии электрона: А12 = ΔWк. Работу силы поля также можно определить по формуле A12 = e(φ1 – φ2). Тогда

ΔWк = e(φ1 – φ2).

(1)

Изменение кинетической энергии электрона

increment W subscript straight К equals fraction numerator m subscript e v subscript 2 squared over denominator 2 end fraction minus fraction numerator m subscript e v subscript 1 squared over denominator 2 end fraction, где fraction numerator m subscript e v subscript 1 squared over denominator 2 end fraction equals 0.

Тогда с учётом формулы (1) модуль скорости движения электрона в точке 2:

v subscript 2 equals square root of fraction numerator 2 increment W subscript straight К over denominator m subscript e end fraction end root equals square root of fraction numerator 2 e left parenthesis straight phi subscript 1 minus straight ϕ subscript 2 right parenthesis over denominator m subscript e end fraction end root.

v subscript 2 equals square root of fraction numerator negative 1 comma 6 times 10 to the power of negative 19 end exponent space Кл times left parenthesis negative 40 space straight В right parenthesis times 2 over denominator 9 comma 1 times 10 to the power of negative 31 end exponent space кг end fraction end root equals 3 comma 8 times 10 to the power of 6 space straight м over straight с.

Ответ: v subscript 2 space equals 3 comma 8 times 10 to the power of 6 space straight м over straight с.

Материал повышенного уровня

Пример 3. Электрон, движущийся вдоль линии напряжённости электростатического поля, в точке поля с потенциалом φ1 = 0,90 В имеет скорость, модуль которой ν1 = 3,0 · 105 straight м over straight с. Определите потенциал точки поля, в которой электрон начинает двигаться в обратном направлении. Масса электрона mе = 9,1 · 10–31 кг.

Дано:
ν1 = 3,0 · 105 straight м over straight с
φ1 = 0,90 В
ν2 = 0 straight м over straight с
mе = 9,1 · 10–31 кг
е = ‒1,6 · 10–19 Кл
φ2 — ?

Решение: При движении электрона сила поля совершает работу A12 = e(φ1 − φ2). Эта работа равна приращению (изменению) кинетической энергии электрона: fraction numerator m v subscript 2 superscript 2 over denominator 2 end fraction minus fraction numerator m v subscript 1 superscript 2 over denominator 2 end fraction equals e open parentheses straight phi subscript 1 minus straight phi subscript 2 close parentheses. С учётом того, что скорость движения электрона уменьшилась до нуля, получим: negative fraction numerator m v subscript 1 superscript 2 over denominator 2 end fraction equals e open parentheses straight phi subscript 1 minus straight phi subscript 2 close parentheses, откуда straight phi subscript 2 equals straight phi subscript 1 plus fraction numerator m v subscript 1 superscript 2 over denominator 2 e end fraction equals straight phi subscript 1 minus fraction numerator m v subscript 1 superscript 2 over denominator 2 open vertical bar e close vertical bar end fraction.

straight phi subscript 2 equals 0 comma 90 straight В minus fraction numerator 9 comma 1 times 10 to the power of negative 31 end exponent кг times 9 comma 0 times 10 to the power of 10 begin display style straight м squared over straight с squared end style over denominator 2 times 1 comma 6 times 10 to the power of negative 19 end exponent Кл end fraction equals 0 comma 64 straight В.

Ответ: φ2 = 0,64 В.