§ 25. Мадэляванне руху цела ў асяроддзі з супраціўленнем

25.3. Стварэнне дакументальнай матэматычнай мадэлі (этап 3а)

У вертыкальнай плоскасці руху каменя пабудуем прамавугольную сістэму каардынат, пачатак каардынат якой размешчаны ў пункце вылету каменя. Няхай становішча каменя ў палёце вызначаецца парай каардынат ,  у гэтай сістэме каардынат.

Будзем будаваць універсальную мадэль руху матэрыяльнага шара ў некаторым газападобным або вадкім асяроддзі.

Для апісання руху скарыстаемся другім законам Ньютана ў вектарнай форме:

дзе     — маса шара;

 — вектар паскарэння шара;

 — вектар раўнадзейнай усіх сіл, якія дзейнічаюць на шар.

Пералічым сілы, якія дзейнічаюць на шар:

— сіла цяжару , накіраваная ўніз (прыклад 25.2);

— архімедава выштурхоўваючая сіла , накіраваная ўверх (прыклад 25.3);

— сіла супраціўлення асяроддзя целу, якое рухаецца, накіравана супраць вектара хуткасці і мае дзьве састаўляючыя: сілу глейкага трэння асяроддзя аб паверхню цела  і сілу лабавога супраціўлення асяроддзя  (прыклад 25.4).

У выніку для шара, які рухаецца ў некаторым асяроддзі, ураўненне другога закона Ньютана атрымлівае выгляд


Разлічыць становішча цела, якое рухаецца, дазваляе выраз для яго паскарэння.

Калі выкарыстоўваць вядомыя формулы і значэнні велічынь (прыклад 25.5), то з ураўнення другога закона Ньютана атрымліваем

.

Распішам вектарнае ўраўненне як два ўраўненні для праекцый вектараў на каардынатныя восі.

,

.

Выкарыстоўваючы абазначэнні прыклад 25.6, атрымліваем

,.

Прыклад 25.2. Для сілы цяжкасці формула добра вядомая:

,

дзе  — маса шара;

 — вектар паскарэння вольнага падзення, накіраваны ўніз, са стандартнай абсалютнай велічынёй 9,81 м/с2.

Прыклад 25.3. Архімедава сіла разлічваецца па формуле:

,

дзе  — шчыльнасць асяроддзя;

 — аб'ём шара;

 — вектар паскарэння вольнага падзення.

Прыклад 25.4. Формула для сілы глейкага трэння ўстаноўлена дасведчаным шляхам і носіць назву формулы Стокса.

Сіла глейкага трэння асяроддзя аб шар, які рухаецца, радыусу  вылічаецца па формуле:

,

дзе   — дынамічная глейкасць асяроддзя;

 — вектар хуткасці шара.

Сіла лабавога супраціўлення разлічваецца па формуле

,

дзе  — беспамерны каэфіцыент, які залежыць ад формы цела;

 — шчыльнасць асяроддзя;

 — плошча сячэння цела, папярочнага накірунку руху;

 — абсалютная велічыня вектара хуткасці цела.

Прыклад 25.5. Для шара радыуса  з шчыльнасцю  вядомыя наступныя формулы для велічынь, якія ўваходзяць у выразы для сіл.

.

Значэнне беспамернага каэфіцыента , які залежыць ад формы цела, для шара ўстаноўлена дасведчаным шляхам і роўна 0,4.

Прыклад 25.6. Абсалютная велічыня вектара хуткасці  знаходзіцца па вядомай формуле:

.

Выразы для праекцый паскарэння цела пры руху можна спрасціць, калі ўвесці пераменны каэфіцыент супраціўлення асяроддзя.