§ 25. Мадэляванне руху цела ў асяроддзі з супраціўленнем

Сайт:	Профильное обучение
Курс:	Інфарматыка. 11 клас (Павышаны ўзровень)
Книга:	§ 25. Мадэляванне руху цела ў асяроддзі з супраціўленнем
Напечатано::	Гость
Дата:	Воскресенье, 28 Апрель 2024, 06:34

25.1. Пастаноўка задачы (этап 1)
25.2.Выбар плана стварэння мадэлі (этап 2)
25.3. Стварэнне дакументальнай матэматычнай мадэлі (этап 3а)
25.4. Стварэнне дакументальнай разліковай мадэлі (этап 3б)
25.5. Стварэнне камп'ютарнай разліковай мадэлі (этап 3в)
25.6. Даследаванне мадэлі (этап 4)
25.7. Атрыманне рашэння задачы (этап 5)
Практыкаванні

25.1. Пастаноўка задачы (этап 1)

Задача. Кінуты камень з пачатковай хуткасцю да 30 м/с пад вуглом 60° да гарызонту. Камень мае форму шара з радыусам 5 см і шчыльнасцю 2600 кг/м³. Улічваючы ўсе сілы, якія ўздзейнічаюць на камень, неабходна адказаць на наступныя пытанні:

1. Як далёка ад месца кідання камень упадзе?

2. Які час камень будзе знаходзіцца ў палёце?

3. Якая найбольшая вышыня ўзлёту каменя?

4. Як хутка ад пачатку палёту будзе дасягнута найвышэйшы пункт палёту?

5. Параўнаць далёкасці палёту каменя ў паветры і ў асяроддзі без супраціўлення.

Умовы пастаўленай задачы практычна цалкам супадаюць з умовамі задачы, якая была разгледжана ў 9-м класе. Але цяпер пры мадэляванні трэба ўлічваць усе сілы, якія ўздзейнічаюць на камень.

Аднак, забягаючы наперад, трэба сказаць, што гэта ўмова сур'ёзна ўскладняе мадэль, якую выкарыстоўваюць пры вырашэнні задачы. Мадэляванне запатрабуе ўліку такіх параметраў асяроддзя, як шчыльнасць і дынамічная глейкасць.

Для адказу на апошняе пытанне задачы для параўнання спатрэбіцца пабудаваць яшчэ адну мадэль, аналагічную той, што мы будавалі ў 9-м класе.

25.2.Выбар плана стварэння мадэлі (этап 2)

Для вырашэння задачы трэба пабудаваць дакументальную матэматычную мадэль і дакументальную разліковую мадэль (прыклад 25.1). У заключэнне створым камп'ютарную мадэль у электронных табліцах.

Такім чынам, атрыманы план стварэння мадэлі:

3а — стварэнне дакументальнай матэматычнай мадэлі;

3б — стварэнне дакументальнай разліковай мадэлі;

3в — стварэнне камп'ютарнай разліковай мадэлі.

Прыклад 25.1. Стварэнне матэматычнай мадэлі палёту каменя ў асяроддзі з супраціўленнем запатрабуе дадатковых ведаў з курса фізікі.

Рашэнне матэматычнай задачы можна атрымаць у выглядзе формулы (аналітычнае рашэнне) або ў выглядзе табліцы значэнняў каардынат цела ў палёце (колькаснае рашэнне).

Выбіраючы колькаснае рашэнне з дапамогай электронных табліц, далей будзем будаваць дакументальную разліковую мадэль з формуламі для разліку ў электронных табліцах.

25.3. Стварэнне дакументальнай матэматычнай мадэлі (этап 3а)

У вертыкальнай плоскасці руху каменя пабудуем прамавугольную сістэму каардынат, пачатак каардынат якой размешчаны ў пункце вылету каменя. Няхай становішча каменя ў палёце вызначаецца парай каардынат , у гэтай сістэме каардынат.

Будзем будаваць універсальную мадэль руху матэрыяльнага шара ў некаторым газападобным або вадкім асяроддзі.

Для апісання руху скарыстаемся другім законам Ньютана ў вектарнай форме:

дзе — маса шара;

— вектар паскарэння шара;

— вектар раўнадзейнай усіх сіл, якія дзейнічаюць на шар.

Пералічым сілы, якія дзейнічаюць на шар:

— сіла цяжару , накіраваная ўніз (прыклад 25.2);

— архімедава выштурхоўваючая сіла , накіраваная ўверх (прыклад 25.3);

— сіла супраціўлення асяроддзя целу, якое рухаецца, накіравана супраць вектара хуткасці і мае дзьве састаўляючыя: сілу глейкага трэння асяроддзя аб паверхню цела і сілу лабавога супраціўлення асяроддзя (прыклад 25.4).

У выніку для шара, які рухаецца ў некаторым асяроддзі, ураўненне другога закона Ньютана атрымлівае выгляд

Разлічыць становішча цела, якое рухаецца, дазваляе выраз для яго паскарэння.

Калі выкарыстоўваць вядомыя формулы і значэнні велічынь (прыклад 25.5), то з ураўнення другога закона Ньютана атрымліваем

Распішам вектарнае ўраўненне як два ўраўненні для праекцый вектараў на каардынатныя восі.

Выкарыстоўваючы абазначэнні прыклад 25.6, атрымліваем

Прыклад 25.2. Для сілы цяжкасці формула добра вядомая:

дзе — маса шара;

— вектар паскарэння вольнага падзення, накіраваны ўніз, са стандартнай абсалютнай велічынёй 9,81 м/с².

Прыклад 25.3. Архімедава сіла разлічваецца па формуле:

дзе — шчыльнасць асяроддзя;

— аб'ём шара;

— вектар паскарэння вольнага падзення.

Прыклад 25.4. Формула для сілы глейкага трэння ўстаноўлена дасведчаным шляхам і носіць назву формулы Стокса.

Сіла глейкага трэння асяроддзя аб шар, які рухаецца, радыусу вылічаецца па формуле:

дзе — дынамічная глейкасць асяроддзя;

— вектар хуткасці шара.

Сіла лабавога супраціўлення разлічваецца па формуле

дзе — беспамерны каэфіцыент, які залежыць ад формы цела;

— шчыльнасць асяроддзя;

— плошча сячэння цела, папярочнага накірунку руху;

— абсалютная велічыня вектара хуткасці цела.

Прыклад 25.5. Для шара радыуса з шчыльнасцю вядомыя наступныя формулы для велічынь, якія ўваходзяць у выразы для сіл.

Значэнне беспамернага каэфіцыента , які залежыць ад формы цела, для шара ўстаноўлена дасведчаным шляхам і роўна 0,4.

Прыклад 25.6. Абсалютная велічыня вектара хуткасці знаходзіцца па вядомай формуле:

Выразы для праекцый паскарэння цела пры руху можна спрасціць, калі ўвесці пераменны каэфіцыент супраціўлення асяроддзя.

25.4. Стварэнне дакументальнай разліковай мадэлі (этап 3б)

Для пабудовы дакументальнай разліковай мадэлі выкарыстоўваем метад дыскрэтызацыі часу (прыклад 25.7).

Калі ў момант часу значэнні праекцый вектара хуткасці і паскарэння пазначаныя адпаведна , і , , тады значэнні праекцый вектара хуткасці ў момант вылічаюцца па формулах:

Падстаўляем выразы для праекцый вектара паскарэння, атрыманыя ў п. 25.3,

дзе — уведзены ў прыкладзе 25.6 каэфіцыент супраціўлення асяроддзя.

Каардынаты становішча цела ў выдзеленыя моманты часу вылічаюцца па формулах:

Пачатковыя даныя для вылічэнняў прыведзены ў прыкладзе 25.8.

Да зыходных даных трэба аднесці і значэнні параметраў паветра, якія ўваходзяць у формулы (прыклад 25.9).

Прыклад 25.7. Будзем разглядаць становішча цела ў руху толькі ў асобныя моманты часу.

Хай пачатковы момант t₀ = 0, а наступныя моманты t₁, t₂, t₃, … адстаюць адзін ад аднаго на адну і тую ж велічыню , званую крокам часу. Будзем лічыць = 0,1 с.

Будзем лічыць таксама, што хуткасць і паскарэнне цела змяняюцца толькі ў выдзеленыя моманты часу. Пры малых значэннях кроку часу гэта цалкам дапушчальная здагадка.

Прыклад 25.8. Пачатковае становішча цела задаецца роўнасцямі

x(0) = 0, y(0) = 0.

Для вылічэння праекцый пачатковай хуткасці выкарыстоўваем формулы, атрыманыя яшчэ ў 9-м класе. Пачатковая хуткасць , для якой ва ўмове задачы зададзена абсалютная велічыня , раскладаецца на састаўляючыя і па вуглу кідання ў градусах:

Прыклад 25.9. Для паветра пры тэмпературы 20° C вядома, што

ρ_с = 1,205 кг/м³; μ_с = 18,1⋅10^-6 Па⋅с.

25.5. Стварэнне камп'ютарнай разліковай мадэлі (этап 3в)

Зыходныя даныя і пачатак разліковай табліцы камп'ютарнай мадэлі размесцім па схеме прыкладу 25.10.

Запаўняем першы радок разліковай табліцы. Спачатку пачатковыя значэнні часу і праекцый вектара хуткасці.

A13: 0

B13: =A3*COS(A4*ПИ()/180)

C13: =A3*SIN(A4*ПИ()/180)

Далей формула разліку пераменнага каэфіцыента супраціўлення асяроддзя K(t₀) і пачатковыя значэнні каардынат каменя.

D13: =(4,5*$A$9/$A$6+0,15*$A$8*

КОРЕНЬ(B13^2+C13^2))/($A$7*$A$6)

E13: 0 F13: 0

Знак паказвае месца разрыву доўгай формулы тут, у электронным дадатку. Пры ўводзе ў ячэйку табліцы формула ў гэтым месцы разрывацца не павінна.

Наступны радок разліковай табліцы з'яўляецца асноўным.

A14: =A13+$A$5

B14: =ЕСЛИ(F13<0;0;(1–D13*$A$5)*B13)

C14: =($A$8/$A$7–1)*9,81*$A$5+

(1–D13*$A$5)*C13

У ячэйку D14 формула капіруецца з ячэйкі D13.

E14: =E13+ЕСЛИ($B14=0;0;B13*$A$5)

У ячэйку F14 формула капіруецца з ячэйкі E14. Функцыя ЕСЛИ() у формулах забяспечвае завяршэнне траекторыі, калі цела апускаецца ніжэй за ўзровень зямлі.

Далей формуламі дыяпазону A14:F14 запаўняюцца ўніз ячэйкі электроннай табліцы да радка 70 уключна.

Для візуальнай ацэнкі варта пабудаваць траекторыю палёту каменя (прыклад 25.11).

Прыклад 25.10. Схема размяшчэння зыходных даных і разліковай табліцы мадэлі руху цела ў паветры ў электронных табліцах.

У ячэйцы E7 паказаны матэрыял цела. Для карэктнасці адлюстравання колькасці ў ячэйцы A9 трэба змяніць яе фармат на лікавы і павялічыць лік паказу дзесятковых знакаў. Магчыма, спатрэбіцца павялічыць і шырыню слупка A.

Гэтая камп'ютарная мадэль з'яўляецца базавай для пабудовы мадэляў руху цела з іншага матэрыялу (пенапласт, жалеза, дрэва) і ў іншым асяроддзі (у паветры, без паветра, у вадзе).

Прыклад 25.11. Траекторыю руху цела (палёту каменя) у паветры пабудуем на дыяграме. Для пабудовы дыяграмы ў разліковай табліцы вылучаем дыяпазон E13:F70 і ўстаўляем дыяграму Точечная (— Точечная с гладкими кривыми).

На лісце электроннай табліцы з'яўляецца дыяграма, у якой назву па змоўчанні трэба памяняць на назву «Траекторыя палёту каменя ў паветры».

25.6. Даследаванне мадэлі (этап 4)

Для праверкі адэкватнасці мадэлі параўнаем дадзеныя радкі 65 электроннай табліцы ў мадэлі руху цела ў паветры і вывераныя даныя, прыведзеныя ў прыкладзе 25.12.

Прыклад 25.12. Вывераныя даныя радка 65 электроннай табліцы ў мадэлі руху цела ў паветры.

25.7. Атрыманне рашэння задачы (этап 5)

Для адказу на першыя два пытанні ў табліцы знаходзяць суседнія радкі, у якіх значэнні ў слупку y(t) мяняюць знак. Па іх знаходзяць значэнні далёкасці палёту (у слупку x(t)) і часу палёту (у слупку Время).

Для адказу на трэцяе і чацвёртае пытанні знаходзяць радок з максімальным значэннем у слупку y(t). А адказы даюць значэнні гэтага радка ў слупку x(t) і ў слупках Время.

Для адказу на пятае пытанне трэба капіраваннем пабудаваць другую мадэль, якая супраціўленне паветра не ўлічвае (прыклад 25.13).

У мадэлі-копіі неабходна абнуліць параметры паветра ў ячэйках A8 і A9 і памяняць назву мадэлі на назву «Мадэль руху цела ў асяроддзі без супраціўлення». Можна параўноўваць табліцы.

Пры капіраванні мадэлі разам з табліцай скапіравалася і дыяграма. Але даныя для гэтай дыяграмы знаходзяцца на іншым (зыходным) лісце. Таму на дыяграме можна дабудаваць другую траекторыю.

Пстрыкаем па дыяграме правай кнопкай мышы. У кантэкстным меню пстрыкаем па пункце Выбрать данные. З'яўляецца дыялогавае акно Выбор источника данных (прыклад 25.14).

У левым ніжнім полі акна ёсць імя Ряд1. Гэта даныя з іншага ліста. Пстрыкаем па кнопцы Изменить. З'яўляецца дыялогавае акно Изменение ряда (прыклад 25.15).

У гэтым акне ў верхняе поле Имя ряда: уводзім імя «В воздухе» і пстрыкаем па кнопцы OK. Вярнуліся ў дыялогавае акно Выбор источника данных, у якім пстрыкаем па кнопцы Добавить (новы шэраг). Новае акно Изменение ряда.

У новым акне ў верхняе поле Имя ряда: уводзім імя «В среде без сопротивления». У другое поле ўводзім дыяпазон E13:E70, у трэцяе поле — F13:F70 і пстрыкаем па кнопцы OK.

Вяртаемся ў акно Выбор источника данных (прыклад 25.16). Пстрычкай па кнопцы OK вяртаемся да дыяграмы (прыклад 25.17).

Прыклад 25.13. Капіраваннем цалкам вылучанага ліста рабочай кнігі з пабудаванай мадэллю паўтараем мадэль на новым аркушы рабочай кнігі.

Прыклад 25.14. Дыялогавае акно Выбор источника данных.

Прыклад 25.15. Дыялогавае акно Изменение ряда.

Прыклад 25.16. Дыялогавае акно Изменение ряда пасля дадання другога шэрага даных.

Прыклад 25.17. Дыяграма пасля дадання другога шэрага даных.

Засталося памяняць скапіраваную назву дыяграмы на новую назву «Траекторыі палёту каменя ў паветры і ў асяроддзі без супраціўлення» і вывесці Легенду ў ніжняй частцы дыяграмы.

Дыяграму можна перамясціць у любое месца электроннага ліста.

Практыкаванні

1. Паўтарыце на камп'ютары разгледжаную ў п. 25.5 пабудову камп'ютарнай мадэлі руху каменя ў паветры.

2. Выкарыстоўваючы капіраванне мадэлі, пабудаванай у практыкаванні 1, стварыць камп'ютарную мадэль руху каменя ў асяроддзі без супраціўлення, разгледжанай раней. Дабудуйце на скапіраванай дыяграме траекторыю палёту каменя ў асяроддзі без супраціўлення.

3. Выкарыстоўваючы капіраванне на новы ліст мадэлі, пабудаванай у практыкаванні 1, стварыце камп'ютарную мадэль руху шара з пенапласту ў паветры (сярэдняя шчыльнасць пенапласту 25 кг/м³). Копію дыяграмы выдаліце і пабудуйце дыяграму з траекторыяй палёту шара з пенапласту ў паветры.

4. Выкарыстоўваючы капіраванне на новы ліст мадэлі, пабудаванай у практыкаванні 3, стварыце камп'ютарную мадэль руху шара з пенапласту ў асяроддзі без супраціўлення. Дабудуйце на скапіраванай дыяграме траекторыю палёту ў асяроддзі без супраціўлення. Параўнайце далёкасці палёту шара з пенапласту ў паветры і ў асяроддзі без супраціўлення.

5. Выкарыстоўваючы мадэлі, пабудаваныя ў практыкаваннях 2 і 4, параўнайце далёкасці палёту каменя і шара з пенапласту ў паветры, затым у асяроддзі без супраціўлення.

6. Выкарыстоўваючы капіраванне на новы ліст мадэлі, пабудаванай у практыкаванні 1, стварыць камп'ютарную мадэль руху каменя ў вадзе (шчыльнасць вады 997 кг/м³; дынамічная глейкасць вады 0,01 Па·с). Памяняйце назву мадэлі на «Мадэль руху цела ў вадзе». Задайце пачатковую хуткасць 0,5, вугал кідання 0, у ячэйку F13 занясіце глыбіню вадаёма 10 (м). Копію дыяграмы выдаліце і пабудуйце дыяграму з траекторыяй руху каменя ў вадзе.

7. Выкарыстоўваючы капіраванне на новы ліст мадэлі, пабудаванай у практыкаванні 6, стварыце камп'ютарную мадэль руху жалезнага шара ў вадзе (шчыльнасць жалеза 7870 кг/м³). Дабудуйце на скапіраванай дыяграме траекторыю руху жалезнага шара ў вадзе. Параўнайце траекторыі і хуткасці руху ў вадзе каменнага і жалезнага шароў.

8. Выкарыстоўваючы капіраванне на новы ліст мадэлі, пабудаванай у практыкаванні 6, стварыце камп'ютарную мадэль руху шара з пенапласту ў вадзе. Шчыльнасць пенапласту менш шчыльнасці вады, і шар павінен усплываць. У мадэлі задайце крок часу 0,001, пачатковую хуткасць 0,5, вугал кідання 0, у ячэйку F13 занясіце 0. Разліковую табліцу запоўніце да радка 220 электроннай табліцы ўключна. Копію дыяграмы выдаліце і пабудуйце дыяграму з траекторыяй руху шара з пенапласту ў вадзе.

9. Выкарыстоўваючы капіраванне на новы ліст мадэлі, пабудаванай у практыкаванні 8, стварыце камп'ютарную мадэль руху драўлянага шара ў вадзе (шчыльнасць драўніны елі 450 кг/м³). Дабудуйце на скапіраванай дыяграме траекторыю руху драўлянага шара ў вадзе. Параўнайце траекторыі і хуткасці руху ў вадзе шара з пенапласту і драўлянага шара.