§ 2. Пружинный и математический маятники
Примеры решения задач
1. Определите циклическую частоту 
и период T колебаний тела, массой m = 500 г, прикрепленного к вертикальной пружине (рис. 17). Известно, что в состоянии покоя тело растягивает пружину на расстояние х0 = 10 мм и для возбуждения колебаний его смещают вниз на расстояние х = 30 мм и отпускают.
m = 500 г = 0,500 кг
х = 30 мм = 3,0 · 10−2 м
х0 = 10 мм = 1,0 · 10−2 м
- ?, T - ?
Найдем жесткость k пружины. Из условия равновесия тела следует:
 . |
По закону Гука в проекции на ось Ох имеем:
 . |
Тогда в проекции на ось Ox условие равновесия запишется:
 . |
Отсюда для циклической частоты получаем:
 . |
Период колебаний находим из соотношения:
 . |
Ответ: 
.
2. Выведите формулу для периода T колебаний вертикального пружинного маятника, если масса груза m и жесткость пружины k.
Решение
Рассмотрим вертикальное движение груза, происходящее под действием силы упругости пружины и силы тяжести груза после толчка (рис. 17-1). Начало координат поместим в точку, соответствующую равновесному положению тела (рис. 17-2). В этом положении пружина растянута на величину 
, определяемую соотношением:
 . |
(1) |
 |
 |
При смещении груза на величину x из положения равновесия сила, действующая со стороны пружины на груз, равна 
.
Тогда по второму закону Ньютона 
С учетом соотношения (1) это уравнение перепишем в виде:
 . |
Если ввести обозначение 
, то уравнение движения груза запишется в виде:
 . |
Оно описывает гармонические колебания вертикального пружинного маятника с частотой такой же, как у горизонтального пружинного маятника. Следовательно, период колебаний вертикального пружинного маятника определяется по такой же формуле, как и горизонтального. Это подтверждается и записью осциллограммы колебаний вертикального пружинного маятника (рис. 17-1):
 . |
Ответ: . Таким образом, действующая в колебательной системе постоянная сила только смещает положения равновесия, но не изменяет частоту колебаний.