§ 5. Ураўненне стану ідэальнага газу

Сайт:	Профильное обучение
Курс:	Фізіка. 10 клас
Книга:	§ 5. Ураўненне стану ідэальнага газу

Напечатано::	Гость
Дата:	Tuesday, 28 April 2026, 16:26

Высветлім, як звязаны паміж сабой макраскапічныя параметры ідэальнага газу, якія характарызуюць яго раўнаважны стан: ціск, маса ўсяго газу, адведзены яму аб’ём і тэмпература.

Стан макраскапічнай сістэмы цалкам вызначаны, калі вядомыя яе макраскапічныя параметры — ціск p, маса m, тэмпература T і аб’ём V. Ураўненне, якое звязвае параметры дадзенага стану, называюць ураўненнем стану сістэмы. Змяненне параметраў стану сістэмы з цягам часу называюць працэсам.

Калі пры пераходзе ідэальнага газу з аднаго стану ў другі колькасць яго малекул $N space equals space m over M N subscript straight A$ застаецца пастаяннай, гэта значыць маса і малярная маса газу не змяняюцца, то з ураўненняў $p space equals space n k T$ і $n space equals space N over V$ вынікае:

$p subscript 1 V subscript 1 space equals space N k T subscript 1$ , $p subscript 2 V subscript 2 space equals space N k T subscript 2$ ,

(5.1)

дзе k — пастаянная Больцмана; p₁, V₁, T₁ — параметры пачатковага стану газу, а p₂, V₂, T₂ — канчатковага. З суадносін (5.1) вынікае, што

$fraction numerator p subscript 1 V subscript 1 over denominator T subscript 1 end fraction space equals space fraction numerator p subscript 2 V subscript 2 over denominator T subscript 2 end fraction$

або

$fraction numerator p V over denominator T end fraction space equals space const$

(5.2)

Пры нязменных масе і малярнай масе ідэальнага газу адносіны здабытку яго ціску і аб’ёму да абсалютнай тэмпературы з’яўляюцца велічынёй пастаяннай.

Ураўненне (5.2) звязвае два станы ідэальнага газу незалежна ад таго, якім чынам газ перайшоў з аднаго стану ў другі.

Ураўненне стану ў выглядзе (5.2) упершыню вывеў у 1834 г. французскі фізік Бенуа Клапейрон (1799–1864), таму яго называюць ураўненнем Клапейрона.

У праўдзівасці ўраўнення стану можна пераканацца, выкарыстаўшы прыладу, паказаную на малюнку 18. Манометрам 1, які злучаны з герметычнай гафрыраванай пасудзінай, рэгіструюць ціск газу ўнутры пасудзіны. Аб’ём газу ў пасудзіне можна разлічыць з дапамогай лінейкі 2. Тэмпература газу ў пасудзіне роўная тэмпературы навакольнага асяроддзя, і яе можа вымераць тэрмометрам.

Вызначыўшы параметры газу p₁, V₁, T₁ у пачатковым стане, вылічваюць адносіны $fraction numerator p subscript 1 V subscript 1 over denominator T subscript 1 end fraction$ . Пасля гэтага змяшчаюць пасудзіну ў гарачую ваду, тым самым змяняючы тэмпературу газу і яго ціск. Верцячы вінт 3, змяняюць умяшчальнасць пасудзіны. Вымераўшы зноў ціск газу p₂ і тэмпературу T₂, а таксама разлічыўшы адведзены яму аб’ём V₂, вылічваюць адносіны $fraction numerator p subscript 2 V subscript 2 over denominator T subscript 2 end fraction$ . Як паказваюць разлікі, ураўненне стану (5.2) выконваецца ў межах хібнасці эксперымента.

Ураўненне стану (5.2) можна прымяняць для газаў пры наступных умовах:

1) не вельмі значныя ціскі (пакуль уласны аб’ём усіх малекул газу надзвычай малы ў параўнанні з умяшчальнасцю ёмістасці, у якой знаходзіцца газ);

2) не вельмі нізкія або высокія тэмпературы (пакуль абсалютнае значэнне патэнцыяльнай энергіі міжмалекулярнага ўзаемадзеяння надзвычай малое ў параўнанні з кінетычнай энергіяй цеплавога руху малекул).

Ад тэорыі да практыкі

На малюнку 19 прыведзены графік працэсу пераходу ідэальнага газу дадзенай масы са стану 1 у стан 2. Як змяніўся аб’ём газу ў выніку гэтага працэсу?

Паколькі колькасць часціц $N space equals space m over M N subscript straight A$ , то з ураўнення (5.1) вынікае:

$p V space equals space k N subscript straight A m over M T$

(5.3)

Велічыню, роўную здабытку пастаяннай Больцмана k і пастаяннай Авагадра N_A, назвалі ўніверсальнай газавай пастаяннай R:

$R space equals space k N subscript straight A space equals space 1 comma 38 times 10 to the power of negative 23 end exponent space Дж over straight К times 6 comma 02 times 10 to the power of 23 space 1 over моль space equals space 8 comma 31 space fraction numerator Дж over denominator моль times straight К end fraction$

(5.4)

З улікам выразу (5.4) ураўненне (5.3) прыме выгляд:

$p V space equals space m over M R T.$

(5.5)

Паколькі колькасць рэчыва $v space equals space m over M$ , то формулу (5.5) можна запісаць у выглядзе:

pV = νRT.

Ураўненне стану ў выглядзе (5.5) упершыню было атрыманае рускім вучоным Д. І. Мендзялеевым (1834–1907) у 1874 г., таму яго называюць ураўненнем Клапейрона — Мендзялеева.

Адзначым, што ўраўненне Клапейрона — Мендзялеева звязвае паміж сабой макраскапічныя параметры канкрэтнага стану ідэальнага газу. Выкарыстоўваючы ўраўненне Клапейрона — Мендзялеева, можна апісаць розныя працэсы, якія адбываюцца ў ідэальным газе.

Адсылка да электроннага дадатку для павышанага ўзроўню

Ціск сумесі газаў. У паўсядзённым жыцці часта даводзіцца мець справу не з газам, якія складаюцца з аднолькавых малекул, а з сумессю некалькіх разнастайных газаў, не якія ўступалі ў хімічныя рэакцыі пры разгляданых умовах. Напрыклад, паветра ў пакоі з'яўляецца сумессю азоту (78,08 %), кіслароду (20,95 %), інертных газаў і вадароду (0,94 %), вуглякіслага газу (0,03 %) і ў невялікіх колькасцях азону, аксіду вугляроду(II), аміяку, метану, аксіду серы(IV), а таксама некаторых іншых газаў (хімічны састаў паветра прыведзены ў аб'ёмных долях^*).

З прычыны цеплавога руху часціц кожнага газу, што ўваходзіць у састаў газавай сумесі, яны раўнамерна размяркоўваюцца па ўсім аб’ёме, які займае сумесь. Сутыкненні часціц забяспечваюць у сумесі цеплавую раўнавагу.

Кожны газ уносіць свой уклад у сумарны ціск газавай сумесі, ствараючы ціск, які называюць парцыяльным.

Парцыяльны ціск — ціск газу, які ўваходзіць у састаў газавай сумесі, калі б ён адзін займаў увесь аб’ём, адведзены сумесі, пры той жа тэмпературы.

Сумесь ідэальных газаў лічаць ідэальным газам.

Адсылка да электроннага дадатку для павышанага ўзроўню

Закон Дальтана. Разгледзім сумесь хімічна не рэагуючых разрэджаных газаў, якія знаходзяцца ў пасудзіне ўмяшчальнасцю V. Дакажам, што ціск кожнага газу, які ўваходзіць у састаў сумесі, не залежыць ад наяўнасці астатніх разрэджаных газаў і рэзультуючы ціск вызначаецца сумарным ціскам усіх кампанентаў газавай сумесі.

Агульная колькасць часціц газаў у пасудзіне: $N equals N subscript 1 plus N subscript 2 plus horizontal ellipsis plus N subscript i$ , дзе $N subscript 1 comma N subscript 2 comma horizontal ellipsis comma space N subscript i$ — колькасць часціц кожнага газу.

Абазначым праз $p subscript 1 comma p subscript 2 comma horizontal ellipsis comma space p subscript i$ парцыяльныя ціскі кожнага газу. Тады, улічваючы суадносіны $p equals n k T$ , атрымаем:

$p equals n k T equals N over V k T equals fraction numerator k T over denominator V end fraction left parenthesis N subscript 1 plus N subscript 2 plus horizontal ellipsis space plus N subscript i right parenthesis equals n subscript 1 k T plus n subscript 2 k T plus horizontal ellipsis plus n subscript i k T comma$

адкуль

$p equals p subscript 1 plus p subscript 2 plus horizontal ellipsis plus p subscript i.$

(5.6)

Формула (5.6) з'яўляецца матэматычным выразам закона, эксперыментальна ўстаноўленага Дальтанам і названага законам Дальтана: ціск сумесі хімічна не рэагуючых паміж сабой газаў роўны суме парцыяльных ціскаў усіх газаў, якія ўтвараюць сумесь.

З гісторыі фізікі

Фундаментальныя даследаванні газавых сумесей правёў англійскі вучоны Джон Дальтан (1766–1844). Iм быў сфармуляваны закон незалежнасці парцыяльнага ціску кампанентаў сумесі (1801–1802). У 1802 г. на некалькі месяцаў раней французскага вучонага Жозэфа Гей-Люсака(1778–1850) Дальтан вынайшоў закон цеплавога расшырэння газаў, а таксама ўвёў паняцце атамнай вагі.

Адсылка да электроннага дадатку для павышанага ўзроўню

1. Што называюць ураўненнем стану ідэальнага газу?

2. Як звязаны параметры ідэальнага газу ва ўраўненні стану?

3. Які ціск называюць парцыяльным?

Адсылка да электроннага дадатку для павышанага ўзроўню

4. Сфармулюйце закон Дальтана.

5. Якое паветра цяжэйшае — сухое або вільготнае (пры аднолькавых тэмпературы і ціску)?

* Аб’ёмная доля — працэнтныя суадносіны змешчаных у адзінцы аб’ёму сумесі часціц (атамаў або малекул) газу, які ўваходзіць у састаў сумесі, да агульнай колькасці часціц ў адзінцы аб’ёму сумесі. ↑

Прыклады рашэння задач

Прыклад 1. Балон з газам, ціск якога p₁ = 2,84 МПа, знаходзіўся ў неацепленым памяшканні, дзе тэмпература паветра t₁ = 7 °С. Пасля таго як некаторая колькасць газу была зрасходавана, балон унеслі ў памяшканне, дзе тэмпература паветра t₂ = 27 °С. Вызначце, якая частка газу была зрасходавана, калі пасля працяглага знаходжання балона ў ацепленым памяшканні ціск газу ў ім стаў p₂ = 1,52 МПа.

Дадзена:

p₁ = 2,84 МПа = 2,84 · 10⁶ Па
T₁ = 280 К, T₂ = 300 К
p₂ = 1,52 МПа = 1,52 · 10⁶ Па

fraction numerator m subscript 1 space minus space m subscript 2 over denominator m subscript 1 end fraction

— ?

Рашэнне. Калі не прымаць пад увагу цеплавое расшырэнне балона, то яго ёмістасць не змяняецца. Запішам ураўненне Клапейрона — Мендзялеева для пачатковага і канчатковага станаў газу, палічыўшы яго ідэальным:

$p subscript 1 V space equals space m subscript 1 over M subscript 1 R T subscript 1$ , $p subscript 2 V space equals space m subscript 2 over M subscript 2 R T subscript 2$ ,

адкуль

$m subscript 1 space equals space fraction numerator p subscript 1 V M over denominator R T subscript 1 end fraction$ , $m subscript 2 space equals space fraction numerator p subscript 2 V M over denominator R T subscript 2 end fraction$ .

Тады

$fraction numerator m subscript 1 space minus space m subscript 2 over denominator m subscript 1 end fraction space equals space fraction numerator begin display style fraction numerator V M over denominator R end fraction end style open parentheses begin display style p subscript 1 over T subscript 1 end style minus begin display style p subscript 2 over T subscript 2 end style close parentheses over denominator begin display style fraction numerator V M p subscript 1 over denominator R T subscript 1 end fraction end style end fraction space equals space 1 minus fraction numerator p subscript 2 T subscript 1 over denominator p subscript 1 T subscript 2 end fraction$ .

$fraction numerator m subscript 1 space minus space m subscript 2 over denominator m subscript 1 end fraction space equals space 1 minus fraction numerator 1 comma 52 times 10 to the power of 6 space Па times 280 space straight К over denominator 2 comma 84 times 10 to the power of 6 space Па times 300 space straight К end fraction space equals space 0 comma 50$ .

Адказ: $fraction numerator m subscript 1 space minus space m subscript 2 over denominator m subscript 1 end fraction space equals space 0 comma 50$ .

Адсылка да электроннага дадатку для павышанага ўзроўню

Прыклад 2. Вызначце шчыльнасць газавай сумесі, якая складаецца з вадароду масай m₁ = 8,0 г і кіслароду масай m₂ = 40 г, калі ціск і тэмпература сумесі р = 1,27 · 10⁵ Па і t = 7 °С адпаведна.

Дадзена:
m₁ = 8,0 г = 8,0 · 10⁻³ кг
m₂ = 40 г = 4,0 · 10⁻² кг
p = 1,27 · 10⁵ Па
Т = 280 К

ρ — ?

Рашэнне. Шчыльнасць газавай сумесі

$straight rho equals m over V$

(1)

дзе m = m₁ + m₂ — маса сумесі, V — аб'ём сумесі. Паколькі вадарод і кісларод пры нізкіх тэмпературах хімічна не рэагуюць, то можна выкарыстаць закон Дальтана: р = р₁ + р₂, дзе р₁ i р₂ — парцыяльныя ціскі вадароду і кіслароду адпаведна.

Іх можна вызначыць, выкарыстаўшы ўраўненне Клапейрона — Мендзялеева:

$p subscript 1 equals fraction numerator m subscript 1 R T over denominator M subscript 1 V end fraction$ i $p subscript 2 equals fraction numerator m subscript 2 R T over denominator M subscript 2 V end fraction$ ,

дзе $M subscript 1 equals 2 comma 0 times 10 to the power of negative 3 end exponent space кг over моль$ i $M subscript 2 equals 3 comma 2 times 10 to the power of negative 2 end exponent space кг over моль$ — малярныя масы вадароду і кіслароду адпаведна. Тады ціск сумесі

$p equals fraction numerator R T over denominator V end fraction open parentheses m subscript 1 over M subscript 1 plus m subscript 2 over M subscript 2 close parentheses$ , а яе аб’ём $V equals fraction numerator R T over denominator p end fraction open parentheses m subscript 1 over M subscript 1 plus m subscript 2 over M subscript 2 close parentheses$ .

Падставіўшы значэнні масы m сумесі і яе аб’ёму V у формулу (1), атрымаем:

$straight rho equals fraction numerator open parentheses m subscript 1 plus m subscript 2 close parentheses p over denominator R T open parentheses begin display style m subscript 1 over M subscript 1 end style plus begin display style m subscript 2 over M subscript 2 end style close parentheses end fraction.$

$straight rho equals fraction numerator open parentheses 8 comma 0 times 10 to the power of negative 3 end exponent space кг plus 4 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space кг close parentheses times 1 comma 27 times 10 to the power of 5 space Па over denominator 8 comma 31 space begin display style fraction numerator Дж over denominator моль times straight К end fraction end style times 280 space straight К open parentheses begin display style fraction numerator 8 comma 0 times 10 to the power of negative 3 end exponent space кг over denominator 2 comma 0 times 10 to the power of negative 3 end exponent space begin display style кг over моль end style end fraction end style plus begin display style fraction numerator 4 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space кг over denominator 3 comma 2 times 10 to the power of negative 2 end exponent space begin display style кг over моль end style end fraction end style close parentheses end fraction equals 0 comma 50 space кг over straight м cubed.$

Адказ: $straight rho space equals space 0 comma 50 space кг over straight м cubed$ .

Практыкаванне 4

1. Вызначце колькасць рэчыва ідэальнага газу, які знаходзіцца ў пасудзіне ёмістасцю V = 480 см³ пры нармальных умовах (атмасферны ціск р₀ = 1,0 · 10⁵ Па, тэмпература t₀ = 0,0 °С).

2. На малюнку 20 прыведзены графік залеж насці ціску вадароду, маса якога m = 100 г, ад абсалютнай тэмпературы. Вызначце аб’ём, які займае газ.

3. Балон ёмістасцю V₁ = 15 л, дзе знаходзіцца газ, ціск якога p₁ = 2,0 · 10⁶ Па, злучылі з пустым балонам ёмістасцю V₂ = 5,0 л. Вызначце ціск газу, які ўстанавіўся ў балонах, калі тэмпература пасля расшырэння газу праз некаторы прамежак часу стала такой, як і да расшырэння.

4. Азот, аб’ём якога V₁ = 2,9 м³, тэмпература Т₁ = 293 К і ціск p₁ = 2,0 · 10⁵ Па, перавялі ў вадкі стан. Вызначце аб’ём, які зай мае вадкі азот, калі яго шчыльнасць ρ = 0,86 $straight г over см cubed$ .

5. На малюнку 21 пункты 1 і 2 адпавядаюць розным станам ідэальнага газу пэўнай масы. Вызначце, у колькі разоў адрозніваюцца ціскі газу ў станах 1 і 2.

Адсылка да электроннага дадатку для павышанага ўзроўню

6. У пасудзіне ўмяшчальнасцю V = 2,0 л знаходзяцца кісларод масай m₁ = 4,0 г і азот масай m₂ = 7,0 г. Вызначце ціск сумесі газаў, калі яе абсалютная тэмпература Т = 300 К.

7. У балоне ўмяшчальнасцю V = 12 л знаходзіўся ідэальны газ, першапачатковыя ціск і тэмпература якога p₁ = 1,2 · 10⁵ Па і t₁ = 27 °С. Пасля таго як з балона выпусцілі частку газу, у ім устанавілася тэмпература t₂ = 17 °С. Вызначце ціск газу, што застаўся ў балоне, калі колькасць рэчыва выпушчанага газу ν₁ – ν₂ = 0,10 моль.

8. Вакууміраваная цыліндрычная пасудзіна ўмяшчальнасцю V = 2 л падзелена на дзве роўныя часткі тонкай перагародкай, якая прапускае толькі малекулы вадароду. У адну з частак пасудзіны ўпусцілі вадарод Н₂ і азот N₂, масы якіх m₁ = 4 г і m₂ = 14 г адпаведна. Вызначце ціск сумесі газаў, калі пры дасягненні цеплавой раўнавагі абсалютная тэмпература сістэмы склала Т = 320 К.

§ 5. Ураўненне стану ідэальнага газу

Оглавление