§ 23-1. Соединение конденсаторов
| Сайт: | Профильное обучение |
| Курс: | Физика. 10 класс |
| Книга: | § 23-1. Соединение конденсаторов |
| Напечатано:: | Гость |
| Дата: | Thursday, 4 September 2025, 04:14 |
Для получения нужной величины электроёмкости конденсаторы объединяют в батареи, используя их параллельное и последовательное соединения. Как рассчитать электроёмкость батареи конденсаторов?
Параллельное соединение конденсаторов. При параллельном соединении (рис. 124.1) положительно заряженные обкладки конденсаторов объединяют в одну группу, а отрицательно заряженные — в другую. При таком соединении напряжение на всех конденсаторах одинаковое, но их заряды могут быть разными.
При параллельном соединении конденсаторов:
1) напряжение на полюсах батареи конденсаторов равно напряжению на каждом конденсаторе:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»U«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»U«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»U«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»=«/mo»«msub»«mi»U«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«mo»;«/mo»«/math»
2) полный заряд одного знака батареи конденсаторов равен сумме зарядов отдельных конденсаторов:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»q«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»q«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»q«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«msub»«mi»q«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«mo»;«/mo»«/math»
3) электроёмкость батареи конденсаторов равна сумме электроёмкостей отдельных конденсаторов:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»C«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«mo»;«/mo»«/math»
так как «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»q«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«msub»«mi»U«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«/math» и «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»C«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«msub»«mi»U«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«msub»«mi»U«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«msub»«mi»U«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»+«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«msub»«mi»U«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«/math».
Если параллельно соединяют n одинаковых конденсаторов с электроёмкостью С1, то электроёмкость такой батареи Сб = nС1.
Параллельное соединение конденсаторов применяют для получения большой электроёмкости.
Последовательное соединение конденсаторов. При последовательном соединении (рис. 124.2) положительно заряженная обкладка предыдущего конденсатора соединена с отрицательно заряженной обкладкой последующего. При таком соединении модули зарядов на всех обкладках равны, а суммарный заряд соединённых друг с другом обкладок равен нулю.
При последовательном соединении конденсаторов:
1) напряжение на полюсах батареи конденсаторов равно сумме напряжений на всех отдельных конденсаторах:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»U«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»U«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»U«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»+«/mo»«msub»«mi»U«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«mo»;«/mo»«/math»
2) заряд батареи конденсаторов равен заряду каждого одного конденсатора:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»q«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»q«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»q«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»=«/mo»«msub»«mi»q«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«mo»;«/mo»«/math»
3) величина, обратная электроёмкости батареи, равна сумме величин, обратных электроёмкостям отдельных конденсаторов:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«msub»«mi»C«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msub»«mi»C«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msub»«mi»C«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msub»«mi»C«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«/mfrac»«mo»,«/mo»«/math»
так как «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»U«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«msub»«mi»q«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«msub»«mi»C«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«/mfrac»«/math» и «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«msub»«mi»q«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«msub»«mi»C«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«msub»«mi»q«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«msub»«mi»C«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msub»«mi»q«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«msub»«mi»C«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mo»§#8943;«/mo»«mo»+«/mo»«mfrac»«msub»«mi»q«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«msub»«mi»C«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«/mfrac»«/math».
Если последовательно соединены n одинаковых конденсаторов с электроёмкостью С1, то «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»C«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«msub»«mi»C«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/math».
| Батареи конденсаторов | ||
| Вид соединения | Параллельное | Последовательное |
| Схема соединения |  |
 |
| Заряды на обкладках | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»q«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»q«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»q«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»+«/mo»«msub»«mi»q«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»q«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»q«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»q«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»=«/mo»«msub»«mi»q«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«/math» |
| Напряжение между обкладками | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»U«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»U«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»U«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»=«/mo»«msub»«mi»U«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»U«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»U«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»U«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»+«/mo»«msub»«mi»U«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«/math» |
| Электроёмкость батареи конденсаторов | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»C«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»+«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«msub»«mi»C«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msub»«mi»C«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msub»«mi»C«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mo»§#8230;«/mo»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msub»«mi»C«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«/mfrac»«/math» |
1. Каковы закономерности параллельного соединения конденсаторов?
2. Каковы закономерности последовательного соединения конденсаторов?
Конденсатор электроёмкостью С1 = 4,0 мкФ, заряженный до напряжения U1 = 140 В, соединили одноимённо заряженными обкладками с конденсатором электроёмкостью С2 = 2,0 мкФ, заряженным до напряжения U2 = 200 В. Определите напряжение на полюсах батареи конденсаторов.
С1 = 4,0 мкФ = 4,0 · 10–6 Ф
U1 = 140 В
С2 = 2,0 мкФ = 2,0 · 10–6 Ф
U2 = 200 В
Решение: Когда одноимённо заряженные обкладки конденсатора соединили и их потенциалы стали одинаковыми, можно обратиться к закономерностям параллельного соединения. При параллельном соединении электроёмкость батареи конденсаторов Сб = С1 + С2 (1).
Напряжение на полюсах батареи «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»U«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«msub»«mi»q«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«msub»«mi»C«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«/mfrac»«/math» (2). Заряд батареи qб = q1 + q2 (3), где q1 = C1U1 (4) и q2 = C2U2 (5) — заряды на первом и втором конденсаторах до их соединения. Решая совместно уравнения (1) — (5), получим:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»U«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msub»«mi»C«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«msub»«mi»U«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«msub»«mi»U«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mrow»«mrow»«msub»«mi»C«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfrac»«mo».«/mo»«/math»
Таким образом,
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»U«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1073;«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1060;«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#183;«/mo»«mn»140«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1042;«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1060;«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#183;«/mo»«mn»200«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1042;«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1060;«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1060;«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»§#1042;«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»16«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»§#1082;§#1042;«/mi»«mo».«/mo»«/math»
Ответ: Uб = 0,16 кВ.
Упражнение 17.1
1. Определите электроёмкость батареи конденсаторов, представленной на рисунке 124.3, если С1 = 5,0 мкФ, С2 = 3,0 мкФ, С3 = 9,0 мкФ, С4 = 2,0 мкФ.
2. Конденсатор электроёмкостью С1 = 4,00 мкФ соединили последовательно с конденсатором электроёмкостью С2 = 5,00 мкФ. Определите напряжения на конденсаторах, если напряжение на полюсах батареи Uб = 270 В.
3. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединили последовательно и подключили к источнику постоянного электрического тока. Определите, как и во сколько раз изменится модуль напряжённости электростатического поля одного из конденсаторов, если пространство между его обкладками полностью заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε = 4,0.
4. Два уединённых проводника, электроёмкости которых С1 = 3,0 пФ и С2 = 5,0 пФ, расположены в воздухе. Потенциал первого проводника φ1 = 24 В, а второго — φ2 = 30 В. Определите потенциал этих проводников после их кратковременного соединения тонким длинным проводником.