Вычисление погрешностей измерений
Выполнение лабораторных работ связано с измерением физических величин, т. е. определением значений величин опытным путём с помощью измерительных приборов (средств измерения), и обработкой результатов измерений.
Различают прямые и косвенные измерения. При этом результат любого измерения является приблизительным, т. е. содержит погрешность измерения. Точность измерения физической величины характеризуют абсолютная и относительная погрешности.
Прямое измерение — определение значения физической величины непосредственно с помощью измерительного прибора.
Абсолютную погрешность прямых измерений определяют суммой абсолютной инструментальной погрешности и абсолютной погрешности отсчёта Δx = Δиx + Δоx при условии, что случайная погрешность и погрешность вычисления или отсутствуют, или незначительны и ими можно пренебречь.
Абсолютная инструментальная погрешность Δиx связана с классом точности прибора. Абсолютные инструментальные погрешности некоторых средств измерений представлены в таблице 1.
| Средства измерений | Диапазон измерений | Абсолютная инструментальная погрешность |
| Линейки: металлические деревянные пластмассовые |
150, 300, 500 мм 400, 500, 750 мм 200, 250, 300 мм |
0,1 мм 0,5 мм 1 мм |
| Лента измерительная | 150 см | 0,5 см |
| Мензурки 2-го класса | 100, 200, 250 см3 | 5 см3 |
| Амперметр школьный | 2 А | 0,05 А |
| Миллиамперметр | от 0 до Imax | 4 % максимального предела измерений Imax |
| Вольтметр школьный | 6 В | 0,15 В |
| Термометр лабораторный | 100 °С | 1 °С |
| Барометр-анероид | 720–780 мм рт. ст. | 3 мм рт. ст. |
| Штангенциркули с ценой деления 0,1; 0,05 мм | 155, 250, 350 мм | 0,1; 0,05 мм в соответствии с ценой деления нониуса |
| Микрометры с ценой деления 0,01 мм | 0–25, 25–50, 50–75 мм | 0,004 мм |
Абсолютная погрешность отсчёта Δоx связана с дискретностью шкалы прибора. Если величину измеряют с точностью до целого деления шкалы прибора, то погрешность отсчёта принимают равной цене деления. Если при измерении значение величины округляют до половины деления шкалы, то погрешность отсчёта принимают равной половине цены деления.
Абсолютная погрешность определяет значение интервала, в котором лежит истинное значение измеренной величины:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mi»§#1080;§#1079;§#1084;«/mi»«/msub»«mo»§#177;«/mo»«mo»§#8710;«/mo»«mi»x«/mi»«mo».«/mo»«/math»
Относительную погрешность прямого измерения определяют отношением абсолютной погрешности к значению измеряемой величины:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi mathvariant=¨normal¨»§#949;«/mi»«mi»x«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8710;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mi»§#1080;§#1079;§#1084;«/mi»«/msub»«/mfrac»«mo»§#183;«/mo»«mn»100«/mn»«mo»%«/mo»«mo».«/mo»«/math»
Относительная погрешность характеризует точность измерения: чем она меньше, тем точность измерения выше.
Косвенное измерение — определение значения физической величины с использованием формулы, связывающей её с другими величинами, измеренными непосредственно с помощью приборов.
Одним из методов определения погрешности косвенных измерений является метод границ погрешностей. Формулы для вычисления абсолютных и относительных погрешностей косвенных измерений методом границ погрешностей представлены в таблице 2.
| Вид функции y | Абсолютная погрешность Δy | Относительная погрешность «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo mathvariant=¨bold¨»§#8710;«/mo»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«/mrow»«mi mathvariant=¨bold¨»y«/mi»«/mfrac»«/math» |
| x1 + x2 | Δx1 + Δx2 | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»§#8710;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mo»§#8710;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/math» |
| x1 − x2 | Δx1 + Δx2 | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»§#8710;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mo»§#8710;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/math» |
| Cx | CΔx | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»§#8710;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/math» |
| x1x2 | |x1| Δx2 + |x2| Δx1 | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»§#8710;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mfenced»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8710;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mfenced»«/mfrac»«/math» |
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mfrac»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mfenced»«mo»§#8710;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mfenced»«mo»§#8710;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mrow»«msubsup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«/mfrac»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»§#8710;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mfenced»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8710;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mfenced»«/mfrac»«/math» |
| xn | |n||x|n−1Δx | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»n«/mi»«/mfenced»«mfrac»«mrow»«mo»§#8710;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mfrac»«/math» |
| lnx | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»§#8710;«/mo»«mpadded lspace=¨-1px¨»«mi»x«/mi»«/mpadded»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»§#8710;«/mo»«mpadded lspace=¨-1px¨»«mi»x«/mi»«/mpadded»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/math» |
| sinx | |cosx| Δx | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»§#8710;«/mo»«mpadded lspace=¨-1px¨»«mi»x«/mi»«/mpadded»«/mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»tg«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/math» |
| cosx | |sinx| Δx | |tgx| Δx |
| tgx | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»§#8710;«/mo»«mpadded lspace=¨-1px¨»«mi»x«/mi»«/mpadded»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8710;«/mo»«mpadded lspace=¨-1px¨»«mi»x«/mi»«/mpadded»«/mrow»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/math» |
Абсолютную погрешность табличных величин и фундаментальных физических постоянных определяют как половину единицы последнего разряда значения величины.