§ 14. Мадэляванне ў эканамічных задачах

14.2. Задача аптымальнага планавання вытворчасці

Задача. Кандытарскі цэх выпускае два віды тортаў: «Ласунак» и «Мядовы». На выраб торта «Лакомка» затрачваецца ў сярэднім 0,3 ч, а на выраб торта «Мядовы» — 0,4 ч. Працоўны дзень доўжыцца 8 ч. для захоўвання гатовай прадукцыі ў цэху маецца халадзільнік на 25 тортаў. Торт «Ласунак» прадаецца па цане 12 р., а торт «Мядовы» — па цане 15 р. Якім павінен быць дзённы план вытворчасці тортаў, каб аб'ём вытворчасці ў грашовым выражэнні быў максімальным?

Па пераліку этапаў мадэлявання этап пастаноўкі задачы (этап 1) пройдзены. На этапе 2 варта выбраць план стварэння мадэлі (прыклад 14.3). Для стварэння матэматычнай мадэлі (этап 3а) увядзем велічыню x для абазначэння колькасці тортаў «Ласунак», якія плануюцца для вырабу за дзень, і аналагічна велічыню y для абазначэння колькасці тортаў «Мядовы». Тады пара (x, y) з'яўляецца планам кандытарскага цэха на дзень, а велічыні x і y — планавымі паказчыкамі.

Пазначым праз U(x, y) аб'ём дзённай вытворчасці тортаў у грашовым выразе (прыклад 14.4).

Абмежаванні на рэсурсы звязаны з абмежаваным лікам месцаў для захоўвання гатовай прадукцыі (прыклад 14.5) і абмежаваннямі на час вырабу прадукцыі (прыклад 14.6).  Абмежаванні закранаюць і значэннi планавых паказчыкаў (прыклад 14.7).

Рашэннем дадзенай задачы аптымальнага планавання вытворчасці з'яўляецца такая пара планавых паказчыкаў (x, y), якая задавальняе абмежаванням:

x + y ≤ 25,
0,3x + 0,4 ≤  8
x, y  — цэлыя,
x ≥ 0, y ≥ 0,

а функцыя U(x, y) = 12x + 15y прымае максімальнае значэнне.

Атрымліваем наступную матэматычную задачу знаходжання максімуму функцыі пры абмежаваннях:

U(x, y) → max;
x + y ≤ 25,
0,3x + 0,4y ≤ 8
x, y  — цэлыя,
x ≥ 0, y ≥ 0.

Такія задачы называюцца экстрэмальнымі. У экстрэмальных задачах функцыя, для якой шукаецца максімум або мінімум называецца мэтавай функцыяй, абазначэнне max (максімум) называецца крытэрыем. Метады рашэння экстрэмальных задач рэалізаваны ў электронных табліцах Excel З дапамогай надбудовы Поиск решения (прыклад 14.8).

Прыклад 14.3. На этапе 2 выбярэм наступны план рашэння задачы аптымальнага планавання вытворчасці: этап 3а — стварэнне дакументальнай матэматычнай мадэлі; этап 3б — стварэнне камп'ютарнай разліковай мадэлі.

Прыклад 14.4. Па зыходным даным задачы выраз для аб'ему вытворчасці ў грашовым выражэнні лёгка знаходзіцца:

U(x, y) = 12x + 15y.

Прыклад 14.5. Абмежаванне на колькасць месцаў у халадзільніку выяўляецца няроўнасцю

x + y ≤ 25.

Прыклад 14.6. На выраб аднаго торта «Ласунак» у сярэднім пойдзе 0,3 ч, а на выраб аднаго торта  «Мядовы» — 0,4 ч. Тады на выраб тортаў па плане (x, y) будзе затрачана 0,3x + 0,4y (ч).

Улічваючы працягласць працоўнага дня, атрымліваем абмежаванне

0,3x + 0,4y ≤ 8.

Прыклад 14.7. Паколькі ў задачы маўленне ідзе аб тортах, то рашэннем задачы могуць быць толькі цэлыя значэнні планавых паказчыкаў. Атрымліваем абмежаванне

x, y  — цэлыя.

Таму што ў выніку вылічэнняў могуць атрымацца і адмоўныя лікі, то варта абмежаваць значэннi планавых паказчыкаў няроўнасцямі

x ≥ 0, y ≥ 0.

Прыклад 14.8. Пры ўстаноўцы праграмы Excel яе надбудовы аўтаматычна не ўстанаўліваюцца.

Для ўстаноўкі надбудовы Поиск решения  варта на ўкладцы Файл у левым вертыкальным меню выбраць пункт Параметры.  Адкрываецца дыялогавае акно Параметры.

У левым вертыкальным меню гэтага дыялогавага акна выбіраюць пункт Надстройки. Адкрываецца ўкладка Надстройки.

На ўкладцы Надст­ройки ў яе апошнім раздзеле Управление: размешчана поле, у якім павінна знаходзіцца надпіс Надстройки Excel.

Правей надпісы ў тэкставым полі пстрыкніце па кнопцы Перейти … . З'яўляецца яшчэ адно дыялогавае акно Настройки.

У акне Настройки адзначаюць пункт Поиск решения і пстрыкаюць па кнопцы ОK. Надбудова Поиск решения ўстанаўлiваецца.