§ 11. Мадэль «драпежнік-ахвяра»

11.2. Матэматычная мадэль «драпежнік-ахвяра»

Абазначым x(t) колькасць асобін папуляцыі ахвяр, а y(t) — колькасць асобін папуляцыі драпежнікаў у момант часу t. Хай таксама v(t) — скорасць росту колькасці папуляцыі ахвяр, а w(t) — скорасць росту колькасці папуляцыі драпежнікаў. Разгледзім матэматычную мадэль «драпежнік-ахвяра», у якой для папуляцыі ахвяр выкарыстоўваецца мадэль абмежаванага росту.

v(t) = (ab · x(t)) · (t) – с · x(t)y(t);

w(t) = – d · y(t) + f · x(t)y(t).

Складальнікі і параметры мадэлі разгледжаны ў прыкладзе 11.3.

Для атрымання разліковых формул ужываем метад дыскрэтызацыі часу з крокам t (прыклад 11.4). Тады атрымліваем формулы

x(ti +1) = x(ti ) + v(ti) · t,

y(ti +1) = y(ti ) + w(ti) · t.

Лiчым, што крок часу t = 1 і супадае з перыядычнасцю назіранняў.

Для i = 0 атрымліваем асноўныя формулы разліковай мадэлі

x(1) = x(0) – (abx(0)) • (0) – сx(0)y(0);

y(1) = y(0) – dy(0) + f x(0)y(0).

Прыклад 11.3. У першым ураўненні мадэлі справа першае складаемае 

(ab · x(t))x(t)

задае рост колькасці ахвяр, а другое

с · x(t)y(t)

— яе скарачэнне ад паглынання драпежнікамі.

У другім ураўненнi мадэлі справа першае складаемае

d · y(t)

задае скарачэнне колькасці драпежнікаў за кошт смяротнасці, а трэцяе

+ f · x(t)y(t)

— яе рост за кошт харчавання ахвярамі.

Параметры мадэлі:

a — каэфіцыент натуральнага прыросту папуляцыі ахвяр (a > 0);

b — каэфіцыент смяротнасці ахвяр ад унутрывідавой канкурэнцыі (b > 0);

c — каэфіцыент смяротнасці ахвяр ад драпежнікаў (c > 0);

d — каэфіцыент смяротнасці драпежнікаў (d > 0);

f — каэфіцыент, які вызначае прырост колькасці драпежнікаў (f > 0).

Прыклад 11.4. Хай пачатковы момант t0 = 0, наступныя моманты t1, t2, t3, …, і хуткасці v(t) i w(t) мяняюцца толькі ў гэтыя моманты часу.