§ 11. Мадэль «драпежнік-ахвяра»
11.2. Матэматычная мадэль «драпежнік-ахвяра»
Абазначым x(t) колькасць асобін папуляцыі ахвяр, а y(t) — колькасць асобін папуляцыі драпежнікаў у момант часу t. Хай таксама v(t) — скорасць росту колькасці папуляцыі ахвяр, а w(t) — скорасць росту колькасці папуляцыі драпежнікаў. Разгледзім матэматычную мадэль «драпежнік-ахвяра», у якой для папуляцыі ахвяр выкарыстоўваецца мадэль абмежаванага росту. v(t) = (a – b · x(t)) · (t) – с · x(t)y(t); w(t) = – d · y(t) + f · x(t)y(t). Складальнікі і параметры мадэлі разгледжаны ў прыкладзе 11.3. Для атрымання разліковых формул ужываем метад дыскрэтызацыі часу з крокам t (прыклад 11.4). Тады атрымліваем формулы x(ti +1) = x(ti ) + v(ti) · t, y(ti +1) = y(ti ) + w(ti) · t. Лiчым, што крок часу t = 1 і супадае з перыядычнасцю назіранняў. Для i = 0 атрымліваем асноўныя формулы разліковай мадэлі x(1) = x(0) – (a – bx(0)) • (0) – сx(0)y(0); y(1) = y(0) – dy(0) + f x(0)y(0). |
Прыклад 11.3. У першым ураўненні мадэлі справа першае складаемае (a — b · x(t))x(t) задае рост колькасці ахвяр, а другое — с · x(t)y(t) — яе скарачэнне ад паглынання драпежнікамі. У другім ураўненнi мадэлі справа першае складаемае — d · y(t) задае скарачэнне колькасці драпежнікаў за кошт смяротнасці, а трэцяе + f · x(t)y(t) — яе рост за кошт харчавання ахвярамі. Параметры мадэлі: a — каэфіцыент натуральнага прыросту папуляцыі ахвяр (a > 0); b — каэфіцыент смяротнасці ахвяр ад унутрывідавой канкурэнцыі (b > 0); c — каэфіцыент смяротнасці ахвяр ад драпежнікаў (c > 0); d — каэфіцыент смяротнасці драпежнікаў (d > 0); f — каэфіцыент, які вызначае прырост колькасці драпежнікаў (f > 0). Прыклад 11.4. Хай пачатковы момант t0 = 0, наступныя моманты t1, t2, t3, …, і хуткасці v(t) i w(t) мяняюцца толькі ў гэтыя моманты часу. |