§ 3. Макро- и микропараметры. Идеальный газ. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа: Примеры решения задач

§ 3. Макро- и микропараметры. Идеальный газ. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа

Примеры решения задач

Пример 1. Баллон электрической лампы наполнен газом, плотность которого $straight rho space equals space 0 comma 90 space кг over straight м cubed$ . После включения лампы давление газа в ней увеличилось от $p subscript 1 space equals space 90 space кПа$ до $p subscript 2 space equals space 150 space кПа$ . Определите, на сколько при этом увеличился средний квадрат скорости теплового движения молекул газа.

Дано:

straight rho space equals space 0 comma 90 space кг over straight м cubed

p subscript 1 space equals space 90 space кПа space equals space 9 comma 0 times 10 to the power of 4 space Па

p subscript 2 space equals space 150 space кПа space equals space 1 comma 50 times 10 to the power of 5 space Па

increment open angle brackets v squared close angle brackets space minus space ?

Решение: Покажем, что между плотностью ρ газа и концентрацией n его частиц существует связь. Плотность вещества газа равна отношению массы к предоставленному ему объёму. Поскольку произведение массы одной молекулы m₀ и числа N молекул равно массе вещества, то:

$straight rho space equals space m over V space equals space fraction numerator m subscript 0 N over denominator V end fraction space equals space m subscript 0 n$ .

Тогда основное уравнение молекулярно-кинетической теории можно записать в виде: $p space equals space 1 third straight rho open angle brackets v squared close angle brackets$ . Следовательно, средний квадрат скорости теплового движения молекул газа $open angle brackets v squared close angle brackets space equals space fraction numerator 3 p over denominator straight rho end fraction$ . Определим изменение среднего квадрата скорости теплового движения молекул газа после включения лампы:

$increment open angle brackets v squared close angle brackets space equals space fraction numerator 3 p subscript 2 over denominator straight rho end fraction minus fraction numerator 3 p subscript 1 over denominator straight rho end fraction space equals space 3 over straight rho left parenthesis p subscript 1 minus p subscript 2 right parenthesis$ .

$increment open angle brackets v squared close angle brackets space equals space fraction numerator 3 over denominator 0 comma 90 space begin display style кг over straight м cubed end style end fraction times left parenthesis 1 comma 50 times 10 to the power of 5 space Па minus 9 comma 0 times 10 to the power of 4 space Па right parenthesis space equals space 2 comma 0 times 10 to the power of 5 space straight м squared over straight с squared$ .

Ответ: $increment open angle brackets v squared close angle brackets space equals space 2 comma 0 times 10 to the power of 5 space straight м squared over straight с squared$ .

Пример 2. В сосуде вместимостью V = 10 л находится одноатомный газ, количество вещества которого ν = 2,0 моль и давление p = 6,0 · 10₅ Па. Определите среднюю кинетическую энергию теплового движения атомов этого газа.

Дано:

V space equals space 10 space straight л space equals space 1 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space straight м cubed

p space equals space 6 comma 0 times 10 to the power of 5 space Па

nu space equals space 2 comma 0 space моль

open angle brackets E subscript straight K close angle brackets space minus space ?

Решение: Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории, записанного в виде $p space equals space 2 over 3 n open angle brackets E subscript straight K close angle brackets$ , к следует, что $open angle brackets E subscript straight K close angle brackets space equals space fraction numerator 3 p over denominator 2 n end fraction$ . Так как концентрация атомов $n space equals space N over V$ , а число атомов газа

$N space equals space nu N subscript straight A$ , то $open angle brackets E subscript straight K close angle brackets space equals space fraction numerator 3 p over denominator 2 n end fraction space equals space fraction numerator 3 p V over denominator 2 N end fraction space equals space fraction numerator 3 p V over denominator 2 v N subscript straight A end fraction$ .

$open angle brackets E subscript straight K close angle brackets space equals space fraction numerator 3 times 6 comma 0 times 10 to the power of 5 space Па times 1 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space straight м cubed over denominator 2 times 2 comma 0 space моль space times 6 comma 02 times 10 to the power of 23 space моль to the power of negative 1 end exponent end fraction space equals space 7 comma 5 times 10 to the power of negative 21 end exponent space Дж$ .

Ответ: $open angle brackets E subscript straight K close angle brackets space equals space 7 comma 5 times 10 to the power of negative 21 end exponent space Дж$ .