§ 33. Явление самоиндукции. Индуктивность. Энергия магнитного поля катушки с током

Примеры решения задач

Пример 1. На рисунке 186 представлен график зависимости силы тока, проходящего по соленоиду, от времени. Определите максимальное значение модуля ЭДС самоиндукции в соленоиде, если его индуктивность L = 40 мГн.

Рис.
Рис. 186
Дано:
L = 40 мГн = 4,0 · 10–2 Гн
open vertical bar calligraphic E subscript straight с close vertical bar subscript max — ?

Решение: ЭДС самоиндукции calligraphic E subscript straight с equals negative L fraction numerator increment I over denominator increment t end fraction. Анализируя график (рис. 186), можно сделать вывод, что сила тока, проходящего по соленоиду, изменяется на трёх участках:

1) от момента времени t1 = 0,0 с до момента времени t2 = 2,0 с сила тока изменяется на ΔI1 = 10 А за промежуток времени Δt1 = 2,0 с;

2) от момента времени t3 = 4,0 с до момента времени t4 = 6,0 с сила тока изменяется на ΔI2 = –20 А за промежуток времени Δt2 = 2,0 с;

3) от момента времени t5 = 8,0 с до момента времени t6 = 10,0 с сила тока изменяется на ΔI3 =10 А за промежуток времени Δt3 = 2,0 с.

Поскольку промежутки времени Δt1 = Δ t2 = Δ t3 = 2,0 с, то очевидно, что максимальное значение модуля скорости изменения силы тока, а следовательно, и максимальное значение модуля ЭДС самоиндукции, создаваемой в соленоиде, соответствует промежутку времени Δt2 = 2,0 с (от t3 = 4,0 с до t4 = 6,0 с):

open vertical bar calligraphic E subscript straight с close vertical bar subscript max equals L open vertical bar fraction numerator increment I subscript 2 over denominator increment t subscript 2 end fraction close vertical bar.

Таким образом,

open vertical bar calligraphic E subscript straight с close vertical bar subscript max equals 4 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space Гн times fraction numerator open vertical bar negative 20 space straight А close vertical bar over denominator 2 comma 0 space straight с end fraction equals 0 comma 40 space straight В.

Ответ: open vertical bar calligraphic E subscript straight с close vertical bar subscript max = 0,40 В.

Пример 2. На рисунке 187 представлен график зависимости ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке с индуктивностью L = 2,0 мГн, от времени. Определите изменения силы тока на участках I, II и III графика. Чему равна энергия магнитного поля в момент времени t = 4,0 с, если в начальный момент времени сила тока в катушке I = 0?

Рис.
Рис. 187
Дано:
L = 2,0 мГн = 2,0 · 10–3 Гн
t = 4,0 с
ΔII — ? ΔIII — ?
ΔIIII — ? Wм — ?

Решение: Анализируя график, можно сделать вывод, что на участке I ЭДС самоиндукции calligraphic E subscript сI = –3,0 мВ, на участке III — calligraphic E subscript сIII = 6,0 мВ. Изменение силы тока на этих участках графика можно определить, воспользовавшись законом электромагнитной индукции для явления самоиндукции:

calligraphic E subscript с equals negative L fraction numerator increment I over denominator increment t end fraction; increment I equals negative fraction numerator calligraphic E subscript с increment t over denominator L end fraction.

increment I subscript straight I equals negative fraction numerator negative 3 comma 0 times 10 to the power of negative 3 end exponent space straight В times 4 comma 0 space straight с over denominator 2 comma 0 times 10 to the power of negative 3 end exponent space Гн end fraction equals 6 comma 0 space straight А; increment I subscript III equals negative fraction numerator 6 comma 0 times 10 to the power of negative 3 end exponent space straight В times 2 comma 0 space straight с over denominator 2 comma 0 times 10 to the power of negative 3 end exponent space Гн end fraction equals negative 6 comma 0 space straight А.

На участке II графика calligraphic E subscript с II end subscript = 0, следовательно, сила тока не изменялась: ΔIII = 0.

В момент времени t = 4,0 с энергия магнитного поля катушки W subscript straight м equals fraction numerator L I squared over denominator 2 end fraction.

Следовательно,

W subscript straight м equals fraction numerator 2 comma 0 times 10 to the power of negative 3 end exponent space Гн times open parentheses 6 comma 0 space straight А close parentheses squared over denominator 2 end fraction equals 36 times 10 to the power of negative 3 end exponent space Дж equals 36 space мДж.

Ответ: ΔII = 6,0 А; ΔIII = 0; ΔIIII = –6,0 А; Wм = 36 мДж.

Материал повышенного уровня

Пример 3. За промежуток времени Δt = 9,50 мс сила тока в катушке индуктивности равномерно возросла от I1 = 1,60 А до I2 = 2,40 А. При этом в катушке возникала ЭДС самоиндукции calligraphic E subscript straight с = ‒14,0 В. Определите собственный магнитный поток в конце процесса нарастания тока и приращение энергии магнитного поля катушки.

Дано:
Δt = 9,50 мс = 9,50 · 10-3 с
I1 = 1,60 А
I2 = 2,40 А
calligraphic E subscript straight с = ‒14,0 В
Фс — ?
ΔWм — ?

Решение: При изменении в катушке силы тока от I1 до I2 возникает собственный магнитный поток Фс = LI2. Индуктивность L катушки можно определить из закона электромагнитной индукции для явления самоиндукции: calligraphic E subscript straight с equals negative L fraction numerator increment I over denominator increment t end fraction equals negative L fraction numerator I subscript 2 minus I subscript 1 over denominator increment t end fraction. Следовательно,

L equals negative fraction numerator calligraphic E subscript straight с increment t over denominator I subscript 2 minus I subscript 1 end fraction equals fraction numerator calligraphic E subscript straight с increment t over denominator I subscript 1 minus I subscript 2 end fraction. Тогда straight Ф subscript straight с equals fraction numerator calligraphic E subscript straight с increment t I subscript 2 over denominator I subscript 1 minus I subscript 2 end fraction.

straight Ф subscript straight с equals fraction numerator negative 14 comma 0 space straight В times 9 comma 50 times 10 to the power of negative 3 end exponent space straight с times 2 comma 40 space straight А over denominator 1 comma 60 space straight А minus 2 comma 40 space straight А end fraction equals 0 comma 399 space Вб equals 399 space мВб.

Приращение энергии магнитного поля катушки

increment W subscript straight м equals W subscript straight м 2 end subscript minus W subscript straight м 1 end subscript equals fraction numerator L I subscript 2 superscript 2 over denominator 2 end fraction minus fraction numerator L I subscript 1 superscript 2 over denominator 2 end fraction equals L over 2 open parentheses I subscript 2 superscript 2 minus I subscript 1 superscript 2 close parentheses equals fraction numerator negative calligraphic E subscript straight с increment t open parentheses I subscript 2 superscript 2 minus I subscript 1 superscript 2 close parentheses over denominator 2 open parentheses I subscript 2 minus I subscript 1 close parentheses end fraction equals fraction numerator negative calligraphic E subscript straight с increment t open parentheses I subscript 2 plus I subscript 1 close parentheses over denominator 2 end fraction.

increment W subscript straight м equals fraction numerator negative open parentheses negative 14 comma 0 space straight В close parentheses times 9 comma 50 times 10 to the power of negative 3 end exponent space straight с times left parenthesis 2 comma 40 space straight А plus 1 comma 60 straight А right parenthesis over denominator 2 end fraction equals 0 comma 266 space Дж space equals space 266 space мДж.

Ответ: Фс = 399 мВб, ΔWм = 266 мДж.