§ 16. Мадэляванне руху цела ў паветры

16.3. Стварэнне дакументальнай матэматычнай мадэлі (этап 3а)

У вертыкальнай плоскасці руху каменя пабудуем прамавугольную сістэму каардынатаў, пачатак каардынатаў якой размешчаны ў пункце вылету каменя. Хай становішча каменя ў палёце вызначаецца парай каардынат ,  у гэтай сістэме каардынат.

Будзем будаваць універсальную мадэль руху матэрыяльнага шара ў некаторым газападобным або вадкім асяроддзі.

Для апісання руху скарыстаемся другім законам Ньютана ў вектарнай форме:

дзе     — маса шара;

 — вектар паскарэння шара;

 — вектар раўнадзейнай усіх сіл, якія дзейнічаюць на шар.

Пералічым сілы, якія дзейнічаюць на шар:

— сіла цяжкасці , накіраваная ўніз (прыклад 16.2);

— архімедава сіла, якая выштурхвае , накіраваная ўверх (прыклад 16.3);

— сіла супраціўлення асяроддзя целу, якое рухаецца, накіраваная супраць вектара скорасці і якая мае дзве састаўляючыя: сілу глейкага трэння асяроддзя аб паверхню цела  і сілу лабавога супраціўлення асяроддзя  (прыклад 16.4).

У выніку для шара, які рухаецца ў некаторым асяроддзі, ураўненне другога закона Ньютана атрымлівае выгляд


Разлічыць становішча цела, якое рухаецца, дазваляе выраз для яго паскарэння.

Калі выкарыстоўваць вядомыя формулы і значэнні велічынь (прыклад 16.5), то з ураўнавання другога закона Ньютана атрымліваем

.

Распішам вектарнае ўраўненне як два ўраўненні для праекцый вектараў на каардынатныя восі.

,

.

Выкарыстоўваючы абазначэнні прыкладу 16.6, атрымліваем

,

.

Прыклад 16.2. Для сілы цяжкасці формула добра вядомая:

,

дзе  — маса шара;

 — вектар паскарэння вольнага падзення, накіраваны ўніз, са стандартнай абсалютнай велічынёй 9,81 м/с2.

Прыклад 16.3. Архімедава сіла разлічваецца па формуле:

,

дзе  — шчыльнасць асяроддзя;

 — аб'ём шара;

 — вектар паскарэння вольнага падзення.

Прыклад 16.4. Формула для сілы глейкага трэння ўстаноўлена дасведчаным шляхам і носіць назву формулы Стокса.

Сіла глейкага трэння асяроддзя, аб які рухаецца шар радыусу , вылічваецца па формуле:

,

дзе   — дынамічная глейкасць асяроддзя;

 — вектар скорасці шара.

Сіла лабавога супраціўлення разлічваецца па формуле

,

дзе  — беспамерны каэфіцыент, які залежыць ад формы цела;

 — шчыльнасць асяроддзя;

 — плошча сячэння цела, папярочнага кірунку руху;

 — абсалютная велічыня вектара скорасці цела.

Прыклад 16.5. Для шара радыусу  cа шчыльнасцю  вядомыя наступныя формулы для велічынь, якія ўваходзяць у выразы для сіл.

.

Значэнне беспамернага каэфіцыента , які залежыць ад формы цела, для шара ўстаноўлена вопытным шляхам і роўна 0,4.

Прыклад 16.6. Абсалютная велічыня вектара скорасці  знаходзіцца па вядомай формуле:

.

Выразы для праекцый паскарэння цела пры руху можна спрасціць, калі ўвесці пераменны каэфіцыент супраціўлення асяроддзя