§ 25. Моделирование движения тела в среде с сопротивлением

25.3. Создание документальной математической модели (этап 3а)

В вертикальной плоскости движения камня построим прямоугольную систему координат, начало координат которой размещено в точке вылета камня. Пусть положение камня в полете определяется парой координат ,  в этой системе координат.

Будем строить универсальную модель движения материального шара в некоторой газообразной или жидкой среде.

Для описания движения воспользуемся вторым законом Ньютона в векторной форме:

где    — масса шара;

 — вектор ускорения шара;

 — вектор равнодействующей всех сил, действующих на шар.

Перечислим силы, действующие на шар:

— сила тяжести , направленная вниз (пример 25.2);

— архимедова выталкивающая сила , направленная вверх (пример 25.3);

— сила сопротивления среды движущемуся телу, которая направлена против вектора скорости и имеет две составляющие: силу вязкого трения среды о поверхность тела  и силу лобового сопротивления среды  (пример 25.4).

В результате для шара, движущегося в некоторой среде, уравнение второго закона Ньютона получает вид

Рассчитать положение движущегося тела позволяет выражение для его ускорения.

Если использовать известные формулы и значения величин (пример 25.5), то из уравнения второго закона Ньютона получаем

.

Распишем векторное уравнение как два уравнения для проекций векторов на координатные оси.

,

.

Используя обозначения примера 25.6, получаем

,

.

Пример 25.2. Для силы тяжести формула хорошо известна:

,

где  — масса шара;

 — вектор ускорения свободного падения, направленный вниз, со стандартной абсолютной величиной 9,81 м/с2.

Пример 25.3. Архимедова сила рассчитывается по формуле:

,

где  — плотность среды;

 — объем шара;

 — вектор ускорения свободного падения.

Пример 25.4. Формула для силы вязкого трения установлена опытным путем и носит название формулы Стокса.

Сила вязкого трения среды о движущийся шар радиуса  вычисляется по формуле:

,

где   — динамическая вязкость среды;

 — вектор скорости шара.

Сила лобового сопротивления рассчитывается по формуле

,

где  — безразмерный коэффи­циент, зависящий от формы тела;

 — плотность среды;

 — площадь сечения тела, поперечного направлению движения;

 — абсолютная величина вектора скорости тела.

Пример 25.5. Для шара радиуса  c плотностью  известны следующие формулы для величин, входящих в выражения для сил.

.

Значение безразмерного коэффициента , зависящего от формы тела, для шара установлено опытным путем и равно 0,4.

Пример 25.6. Абсолютная величина вектора скорости  находится по известной формуле:

.

Выражения для проекций ускорения тела при движении можно упростить, если ввести переменный коэффициент сопротивления среды