§ 30. Мадэляванне ў задачах вылічэння каардынат выдатных пунктаў трохвугольніка

Выдатныя пункты трохвугольніка — пункты, становішча якіх адназначна вызначаецца трохвугольнікам і не залежыць ад таго, у якім парадку бяруцца бакі і вяршыні трохвугольніка.

Выдатных пунктаў трохвугольніка вядома вельмі шмат (прыклад 30.1).

Мы разгледзім толькі тры такія пункты:

• цэнтр апісанай акружнасці;
• цэнтр упісанай акружнасці;
• пункт перасячэння медыян.

Паколькі праграмны сродак для вырашэння задачы зададзены, то пабудаваць, перш за ўсё, варта матэматычную мадэль (прыклад 30.3). Таму мадэль рашэння задачы створым па наступным простым плане:

3а — стварэнне дакументальнай матэматычнай мадэлі;

Аналітычны метад дазваляе атрымаць рашэнне, але формулы прыйдзецца выводзіць без дапамогі пакета SMath Studio (прыклад 30.4).

Метад увядзення невядомых дазваляе лічыць двума невядомымі каардынаты цэнтра апісанай акружнасці. Тады тры роўныя адлегласці ад цэнтра да вяршынь трохвугольніка дазволяць пабудаваць сістэму ўраўненняў і знайсці значэнні невядомых як рашэнні сістэмы.

Выбіраем метад увядзення невядомых.

Увядзем каардынаты вяршынь трохвугольніка як пераменныя: A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3).

Цэнтр апісанай акружнасці пазначым O (лацінскае) з невядомымі каардынатамі x і y (прыклад 30.5).

Абазначым dAO адлегласць паміж вяршыняй A і цэнтрам O. Тады

Аналагічна вылічаюцца адлегласці dBO і dCO.

Прыраўноўваем пары адлегласцей і атрымліваем сістэму двух ураўненняў адносна двух невядомых x і y

Зыходныя даныя і пачатак разліковай табліцы размесцім па схеме, прыведзенай у прыкладзе 30.6.

На працоўным лісце заўсёды ёсць магчымасць падраўнаваць верхнія межы некалькіх абласцей або іх левыя межы (прыклад 30.7).

Тут жа ў зыходных даных ледзь ніжэй выведзем у графічнай вобласці малюнак трохвугольніка. Для гэтага падрыхтуем матрыцу каардынат вяршынь трохвугольніка і матрыцу параметраў тэксту.

Выводзім графічную вобласць, а ў ёй выводзім вектары V і P (гл. п. 29.4). Мяняем маштаб малюнка і становішча восей так, каб у вобласці быў бачны ўвесь трохвугольнік. Каб падняць літару B у графічнай вобласці, у другім радку матрыцы P замест y2 запішам y2 +2.

Ніжэй уводзім загаловак «Разлікі» і формулы вылічэння адлегласцей ад вяршынь да цэнтра O апісанай акружнасці. Пры ўводзе падобных формул трэба максімальна выкарыстоўваць магчымасці капіравання і рэдагавання (прыклад 30.8).

Складаем вектар сістэмы S, вектар невядомых Z і вектар Zo пачатковага набліжэння (гл. п. 28.2), які выбіраецца як ацэнка каардынат цэнтра апісанай акружнасці.

Уводзім на працоўны ліст вектар пераменных і прысвойваем яму значэнне функцыі roots(), г. зн. лікавыя значэнні каардынат цэнтра акружнасці.

Вектар пераменных захоўвае рашэнне сістэмы як значэнні пераменных x і y.

Цяпер у графічнай вобласці трэба пабудаваць акружнасць і яе цэнтр (прыклад 30.9).

Калі памер акружнасці, якая называецца апісанай, можна падабраць так, што яна сапраўды пройдзе праз вяршыні трохвугольніка, то гэта графічна пацвярджае адэкватнасць пабудаванай мадэлі (прыклад 30.10).

Задача 1 складалася ў пабудове камп'ютарнай мадэлі і гэтая задача вырашана.

Аснову рашэння задачы 2 таксама складае матэматычная мадэль (прыклад 30.14). Таму мадэль рашэння задачы створым па наступным плане:

3а — стварэнне дакументальнай матэматычнай мадэлі;

Захаваем абазначэнні задачы 1 для каардынат вяршынь: A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3 ;y3), а абазначэнне О (лацінскае) з невядомымі каардынатамі x і y выкарыстоўваем для пункта перасячэння медыян трохвугольніка.

Калі злучыць пункт O з вяршынямі трохвугольніка, то атрымаем тры трохвугольнікі (прыклад 30.15), плошчы якіх роўныя. Гэта ўласцівасць паслужыць асновай для стварэння сістэмы ўраўненняў.

Для знаходжання плошчы трохвугольніка на каардынатнай плоскасці ёсць формула (прыклад 30.16).

Скарыстаемся мадэллю задачы 1. Захоўваем яе ў файле пад іншым імем і будзем змяняць. Змяняем загаловак (гл. у прыкладзе 30.13), аднаўляем зыходныя даныя і выдаляем тры формулы разліку адлегласцей з раздзелу «Разлікі».

На месца аддаленых формул уводзім формулы для разліку плошчаў трохвугольнікаў (прыклад 30.18).

Зараз трэба змяніць вектар сістэмы S і прывесці яго да выгляду

Вектар Zo пачатковага набліжэння, як вектар меркаваных каардынат пункту перасячэння медыян, можна пакінуць са значэннямі 12; 10. Атрымліваем рашэнне

Праверку адэкватнасці мадэлі можна правесці аналітычнымі разлікамі (прыклад 30.20).

Аснову рашэння задачы 3 складае матэматычная мадэль (прыклад 30.22). Таму мадэль рашэння задачы створым па наступным плане:

3а — стварэнне дакументальнай матэматычнай мадэлі;

Захаваем абазначэнні задачы 1 для каардынат вяршынь: A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3), а абазначэнне O (лацінскае) з невядомымі каардынатамі x і y будзем выкарыстоўваць для цэнтра ўпісанай акружнасці.

Адлегласць ад цэнтра ўпісанай акружнасці да аднаго боку трохвугольніка роўна адлегласці ад цэнтра да іншага боку і роўна радыуса ўпісанай акружнасці. Гэта ўласцівасць паслужыць асновай для стварэння сістэмы ўраўненняў.

Для знаходжання адлегласці ад пункту да адрэзка на каардынатнай плоскасці ёсць формула (прыклад 30.23).

Паколькі ўсе тры вышыні роўныя паміж сабой для цэнтра ўпісанай акружнасці, прыраўноўваем пары вышынь і атрымліваем сістэму двух ураўненняў адносна двух невядомых, рашэнне якой з'яўляецца рашэннем задачы 3.

.

Скарыстаемся мадэллю задачы 1. Захоўваем яе ў файле пад іншым імем і будзем змяняць. Змяняем адну літару ў загалоўку (гл. у прыкладзе 30.21), аднаўляем зыходныя даныя.

Змяняем першыя тры формулы (прыклад 30.24). Загружаем файл з мадэллю задачы 2. Адкрываем яго, вылучаем першыя тры формулы раздзела «Разлікі», капіруем у буфер абмену, адкрываем ліст задачы 3 і ўстаўляем формулы на ліст правей першых трох.

Затым пад першымі трыма формуламі ўстанаўліваем паказальнік месца ўводу і, націскаючы клавішу Enter, апускаем астатнія формулы на 9—10 клетак уніз, вызваляючы месца для формул вылічэння даўжынь вышынь (прыклад 30.25).

Радыус r упісанай акружнасці ў мадэлі даюць роўныя значэнні hAOB, hAOC і hBOC. Для параўнання гэты радыус можна вылічыць па іншых формулах (прыклад 30.27).