Печатать книгуПечатать книгу

§ 24. Задачы раскрою

Сайт: Профильное обучение
Курс: Інфарматыка. 11 клас (Павышаны ўзровень)
Книга: § 24. Задачы раскрою
Напечатано:: Гость
Дата: Понедельник, 6 Май 2024, 01:17

Оглавление

24.1. Асноўныя паняцці

Задачы раскрою — гэта добра вядомы выгляд эканамічных задач.

Для вытворчасці зборных металічных вырабаў зыходныя матэрыялы паступаюць у форме мернага пракату (трубы, паласы, вугалок і г. д.) і ў форме лістоў металу рознай таўшчыні. Для швейнай вытворчасці выкарыстоўваюцца рулоны мернай тканіны, для вытворчасці мэблі — мэблевыя шчыты, драўняныя пліты, драўляныя брускі. Для вытворчасці знешняй рэкламы выкарыстоўваюцца пліты каляровага пластыка, алюмініевыя і пластыкавыя профілі.

Усе мерныя і ліставыя матэрыялы пастаўляюцца оптам, маюць стандартныя памеры (прыклад 24.1).

На вытворчасці зыходныя матэрыялы падвяргаюцца раскрою.

Раскрой — гэта аперацыя выразання дэталяў (нарыхтовак) вырабу з адзінкі мернага або ліставога матэрыялу пэўным спосабам.

Для апісання спосабаў раскрою мернага матэрыялу выкарыстоўваюць табліцы (прыклад 24.2).

Для апісання спосабаў раскрою ліставога матэрыялу патрэбны схемы размяшчэння нарыхтовак на лісце матэрыялу, па якіх будуюцца табліцы спосабаў раскрою (прыклад 24.3).

Калі гаворка ідзе пра раскроі адной трубы або аднаго ліста матэрыялу, зразумела, што лепш выкарыстоўваць спосаб без адходаў.

Але масавая вытворчасць вырабаў патрабуе масавай вытворчасці нарыхтовак. Так, калі ў прыкладзе 24.3 для вытворчасці вырабу патрэбна 1 нарыхтоўка А і 2 нарыхтоўкі Б, то для 200 вырабаў спатрэбіцца 600 нарыхтовак і трэба або выбраць адзін спосаб раскрою, або скласці план спосабаў раскрою лістоў, які мае выгляд табліцы (прыклад 24.4).

Аналіз паказаў, што, змяняючы план спосабаў раскрою, можна памяншаць расход зыходнага матэрыялу або аб'ём адходаў.

У задачах раскрою неабходна знайсці такі план спосабаў раскрою, які забяспечвае мінімальны расход матэрыялу або мінімальныя адходы ў выніку раскрою.

Прыклад 24.1. Сталёвыя вадагазаправодныя трубы оптам пастаўляюцца даўжынёй 6 м, 7,8 м ці 9 м.

Стандартныя памеры ліста фанеры 1525 × 1525 мм, 2500 × 1250 мм или 3000 × 2500 мм.

Пліты каляровага пластыка маюць памеры 3050 × 1530 мм.

Прыклад 24.2. Хай патрабуецца разрэзаць шасціметровую трубу на нарыхтоўкі даўжынёй 2,3 м, 2,1 м і 1,4 м.

У табліцы прыведзены вынікі трох спосабаў раскрою. Гэта колькасці нарыхтовак, якія атрымліваюцца, і велічыня адходаў для кожнага спосабу.

Прыклад 24.3. На малюнках прыведзены чатыры схемы размяшчэння нарыхтоўкі А (вялікай) і нарыхтоўкі Б (маленькай) на лісце матэрыялу памерамі 325´150 см.

Табліца спосабаў раскрою ў дадзеным прыкладзе будзе мець выгляд.

Прыклад 24.4. План спосабаў раскрою ва ўмовах прыкладу 24.3.

24.2. Пастаноўка задачы раскрою з мінімізацыяй расходу (этап 1)

Задача 1. На прадпрыемстве ёсць бярвёны даўжынёй 6,5 м. Паступіў заказ на выраб нарыхтовак даўжынёй 2,3 м, 2,1 м і 1,4 м у колькасці 720, 600 і 900 штук адпаведна.

Знайсці план спосабаў раскрою, які забяспечвае мінімальны расход зыходнага матэрыялу, пры ўмове выканання замовы.

На дрэваапрацоўчых прадпрыемствах папярочнае распілоўванне не з'яўляецца асноўным спосабам апрацоўкі бярвення.

Пад распілоўкай бярвення разумеюць падоўжнае распілоўванне, пры якім прымяняюцца лесапільныя рамы, стужачнапільныя або круглапільныя станкі.

24.3. Выбар плана стварэння мадэлі з мінімізацыяй расходу (этап 2)

Аснову зыходных даных у задачах раскрою складае табліца спосабаў раскрою (гл. прыклад 24.2), а вынікам рашэння з'яўляецца план спосабаў раскрою таксама ў выглядзе табліцы (гл. прыклад 24.4). У разгляданай задачы табліца спосабаў раскрою не зададзена і яе неабходна пабудаваць.

Улічваючы таблічны выгляд зыходных даных і вынікаў у задачы раскрою, атрымліваем план стварэння мадэлі для яе вырашэння:

этап 3а — стварэнне табліцы спосабаў раскрою;

этап 3б — стварэнне камп'ютарнай разліковай мадэлі ў электронных табліцах.

Задача раскрою ўпершыню была сфармулявана Л. В. Кантаровічам у 1939 годзе.

У 1951 годзе Л. В. Кантаровіч і В. А. Залгаллер першымі прапанавалі спосаб вырашэння гэтай задачы.

24.4. Стварэнне табліцы спосабаў раскрою (этап 3а)

Табліца спосабаў раскрою бярвёнаў даўжынёй 6,5 м на нарыхтоўкі даўжынёй 2,3 м, 2,1 м і 1,4 м будуецца пераборам магчымых варыянтаў раскрою ў электронных табліцах.

Такіх спосабаў усяго 8 (прыклад 24.5).

Прыклад 24.5. Табліца спосабаў раскрою бярвення. 

24.5. Стварэнне камп'ютарнай разліковай мадэлі з мінімізацыяй расходу (этап 3б)

Зыходныя даныя камп'ютарнай мадэлі размесцім па схеме, прыведзенай у прыкладзе 24.6. У слупку справа ад табліцы спосабаў раскрою ўвядзём заданні заказу па схеме  прыкладу 24.7.

Разліковую табліцу будзем будаваць па схеме, прыведзенай у прыкладзе 24.8.

У ячэйку А15 уводзіцца формула сумы значэнняў ячэек радка 14 табліцы плана спосабаў раскрою. У выніку ў ячэйцы вылічаецца лік зрасходаваных па плане бярвенняў.

У ячэйку A16 уводзіцца функцыя СУММПРОИЗВ(), якая вяртае суму твораў ячэйкі дыяпазонаў $B$14:$I$14 і дыяпазону B5:I5 (прыклад 24.9). У выніку ў ячэйцы A16 адлюстроўваецца колькасць нарыхтовак даўжынёй 2,3 м, вырабленых па плане.

Затым формулай ячэйкі A16 запаўняецца ўніз дыяпазон A17:A19. У выніку ў ячэйках дыяпазону будуць адлюстроўвацца колькасці, якія адпавядаюць подпісам справа.

Ацэнім цяпер створаную мадэль з матэматычнага пункту гледжання.

Патрабуецца знайсці план спосабаў раскрою — гэта значэнні ячэек дыяпазону B14:I14.

Шуканы план павінен мінімізаваць расход зыходных матэрыялаў — гэта значэнне ячэйкі A15.

У дыяпазоне J5:J7 размешчаны аб'ёмы нарыхтовак, патрабаваныя ў заказе, а ў дыяпазоне A16:A18 — планавыя аб'ёмы нарыхтовак, якія павінны быць не менш аб'ёмаў заказу. Гэта ўжо абмежаванні.

Да абмежаванняў варта дадаць патрабаванні, каб значэнні ячэек дыяпазону B14:I14 (планавыя аб'ёмы) былі цэлымі і неадмоўнымі.

Фактычна мы атрымалі экстрэмальную задачу пошуку плана раскрою, які мінімізуе мэтавую функцыю ў ячэйцы A15 пры абмежаваннях.

У электронных табліцах задача вырашаецца з дапамогай надбудовы Поиск решения, якую мы ўжо выкарыстоўвалі. На ўкладцы Данные кнопкай Поиск решения неабходна выклікаць акно Параметры поиска решения і ўвесці зыходныя даныя для пошуку.

Мэтавая функцыя размешчана ў ячэйцы A15, крытэрый — Минимум, змяняючы ячэйкі пераменных дыяпазону B14:I14 (планавыя аб'ёмы). Пераходзім да ўводу абмежаванняў (прыклад 24.10).

У раздзеле Выберите метод решения выбіраем Поиск решения лин. задач симплекс-методом і пстрыкаем па кнопцы Найти решение. 

Прыклад 24.6. Схема размяшчэння зыходных даных камп'ютарнай мадэлі. На схеме слупкі G, H, I не паказаны. Слупок А трэба пашырыць.

Прыклад 24.7. Дадатак табліцы зыходных даных заданнямі заказу.

Прыклад 24.8. Схема размяшчэння разліковай табліцы камп'ютарнай мадэлі задачы раскрою.

На схеме слупкі G, H, I не паказаны. Подпісы ніжэй табліцы ўводзяцца ў ячэйкі слупка B.

Прыклад 24.9. Таблічны курсор устанаўліваем на ячэйку A16, пстрычкай па кнопцы Вставить функцию у радку формул адкрываем акно Вставка функции. Праводзім пошук функцыі па яе імені, затым двойчы пстрыкаем па яе імені ў спісе. Адкрываецца акно для ўводу аргументаў. У табліцы плана спосабаў раскрою вылучаем дыяпазон B14:I14. Ён запісваецца ў полі аргумента Массив1. Змяняем адносныя спасылкі дыяпазону B14:I14 на абсалютныя $B$14:$I$14.

Затым у акне пстрыкаем па полі другога аргументу Массив2 і ў табліцы спосабаў раскрою вылучаем дыяпазон B5:I5. Пстрычкай па кнопцы OK завяршаем увод.

Прыклад 24.10. Пстрыкаем па кнопцы Добавить. У новым акне для ўводу абмежаванняў у левае поле вылучаем у мадэлі дыяпазон A16:A18. У другім полі выбіраем знак больш або роўна. У трэцяе поле ўводзім дыяпазон J5:J7 з мадэлі. Пстрыкаем па кнопцы OK.

Каб значэнні ячэек дыяпазону B14:I14 сталі цэлымі лікамі, варта ў дыялогавым акне Добавление ограничений злева ўвесці дыяпазон B14:I14, а ў цэнтральным поле выбраць пазначэнне «цел». Пстрыкаем па кнопцы OK.

Пад полем для абмежаванняў павінна стаяць галачка выбару пункта Сделать переменные без ограничений неотрицательными.

24.6. Даследаванне мадэлі і атрыманне рашэння задачы раскрою з мінімізацыяй расходу (этапы 4 і 5)

Даследаванне мадэлі прадугледжвае вывучэнне яе адэкватнасці. Адэкватнасць правяраецца параўнаннем атрыманых вынікаў з разліковымі (прыклад 24.11).

Рашэнне задачы 1 раскрою з мінімізацыяй расходу атрымана.

Прыклад 24.11. Разліковыя вынікі рашэння задачы 1.

24.7. Пастаноўка задачы раскрою з мінімізацыяй адходаў (этап 1)

Задача 2. На прадпрыемстве ёсць бярвёны даўжынёй 6,5 м. Паступіў заказ на выраб нарыхтовак даўжынёй 2,3 м, 2,1 м і 1,4 м у колькасці 720, 600 і 900 штук адпаведна.

Знайсці план спосабаў раскрою, які забяспечвае мінімальныя адходы, пры ўмове выканання заказу з расходам не больш за 700 бярвёнаў.

Разгляданая задача 2 адрозніваецца ад задачы 1 змяненнем мэтавай функцыі. Зараз патрабуецца знайсці план раскрою, які мінімізуе іншую мэтавую функцыю — адходы раскрою.

Пры гэтым дадаецца і новае абмежаванне: расход бярвення не павінен перавышаць зададзены аб'ём.

24.8. Стварэнне камп'ютарнай разліковай мадэлі з мінімізацыяй адходаў

Паколькі зыходныя даныя задачы 1 амаль цалкам супадаюць з зыходнымі данымі задачы 2, скапіруем камп'ютарную мадэль, пабудаваную ў п. 24.5, і дапоўнім яе (прыклад 24.12).

Для правядзення разлікаў на ўкладцы Данные кнопкай Поиск решениявыклікаем дыялогавае акно Параметры поиска решения.

У акне ўводзім ячэйку A19 як мэтавую, крытэрый — Минимум, змяняючы ячэйкі пераменных дыяпазону B14:I14.

Пстрыкнуўшы па кнопцы Добавить, у новым акне ўводзім абмежаванні, выкарыстоўваючы дыяпазоны ячэек. Дапаўняем абмежаванні няроўнасцю A15<= A9. Далей дзейнічаем па вядомаму алгарытму (прыклад 24.13).

Прыклад 24.12. Вылучаем і капіруем увесь ліст рабочай кнігі з камп'ютарнай мадэллю рашэння задачы 1. Устаўляем копію на новы ліст рабочай кнігі.

Мяняем частку загалоўка мадэлі: у круглых дужках запісваем тэкст «мінімізацыя адходаў».

У ячэйку B9 уводзім тэкст «: запас бярвення» , а ў ячэйку A8 — лік 700.

Прыклад 24.13. У акне Параметры поиска решения у раздзеле Выберите метод решения выбіраем Поиск решения лин. задач симплекс-методом.

Далей пстрыкаем па кнопцы Найти решение.

24.9. Даследаванне мадэлі і атрыманне рашэння задачы з мінімізацыяй адходаў

Даследаванне мадэлі прадугледжвае вывучэнне яе адэкватнасці. Адэкватнасць правяраецца параўнаннем атрыманых вынікаў з разліковымі (прыклад 24.14).

Рашэнне задачы 2 раскрою з мінімізацыяй адходаў атрымана. Адходы зменшыліся.

Прыклад 24.14. Разліковыя вынікі рашэння задачы 2.

Практыкаванні

 

1. Паўтарыце на камп'ютары разгледжаную ў п. 24.5 пабудову камп'ютарнай разліковай мадэлі задачы 1 раскрою і знайдзіце рашэнне гэтай задачы.

2. Вырашыце задачу 1, калі замоўлены выраб нарыхтовак даўжынёй 2,3 м, 2,1 м і 1,4 м у колькасці 700, 600 і 500 штук адпаведна.

3. Вырашыце задачу 1, калі замоўлены выраб нарыхтовак даўжынёй 2,3 м, 2,1 м і 1,4 м у колькасці 720, 700 і 800 штук адпаведна.

4. Паўтарыце на камп'ютары разгледжаную ў п. 24.8 пабудову камп'ютарнай разліковай мадэлі задачы 2 раскрою і знайдзіце рашэнне гэтай задачы.

5. Вырашыце задачу 2, калі павінна быць выкарыстана не больш за 680 бярвёнаў.

6. Вырашыце задачу 2, калі павінна быць выкарыстана не больш за 750 бярвёнаў.

7. Вырашыце задачу 2, калі замоўлены выраб нарыхтовак даўжынёй 2,3 м, 2,1 м і 1,4 м у колькасці 720, 700 і 800 штук адпаведна і павінна быць выкарыстана не больш за 710 бярвёнаў.

8. Вырашыце задачу 2, калі замоўлены выраб нарыхтовак даўжынёй 2,3 м, 2,1 м і 1,4 м у колькасці 700, 600 і 500 штук адпаведна і павінна быць выкарыстана не больш за 650 бярвёнаў.

9. Фірма атрымала заказ на стварэнне 400 вырабаў, для кожнага з якіх патрэбны дзве нарыхтоўкі А і адна нарыхтоўка Б з ліставога матэрыялу. Ліст матэрыялу мае памеры 325 x 150 см. Распрацаваны 4 схемы раскрою ліста, якія адлюстраваны ў табліцы спосабаў раскрою ў прыкладзе 24.3.

  1. Знайдзіце план спосабаў раскрою, які забяспечвае мінімальны расход зыходнага матэрыялу пры ўмове выканання заказу.
  2. Знайдзіце план спосабаў раскрою, які забяспечвае мінімальныя адходы зыходнага матэрыялу з выкарыстаннем не больш 280 лістоў.

 10. Вырашыце задачы, пастаўленыя ў практыкаванні 9, калі табліца спосабаў раскрою мае выгляд: