§ 16. Мадэляванне руху цела ў паветры

Задача. Кінуты камень з пачатковай хуткасцю да 30 м/с пад вуглом 60° да гарызонту. Камень мае форму шара з радыусам 5 см і шчыльнасцю 2600 кг/м³. Улічваючы ўсе сілы, якія ўздзейнічаюць на камень, адказаць на наступныя пытанні:

1. Як далёка ад месца кідання камень упадзе?
2. Які час камень будзе знаходзіцца ў палёце?
3. Якая найбольшая вышыня ўзлёту каменя?
4. Як хутка ад пачатку палёту будзе дасягнут найвышэйшы пункт палёту?

Для вырашэння задачы трэба будаваць дакументальную матэматычную мадэль і дакументальную разліковую мадэль (прыклад 16.1). У заключэнні створым камп'ютарную мадэль у электронных табліцах.

Такім чынам, атрыманы план стварэння мадэлі:

3а) стварэнне дакументальнай матэматычнай мадэлі;

3б) стварэнне дакументальнай разліковай мадэлі;

У вертыкальнай плоскасці руху каменя пабудуем прамавугольную сістэму каардынатаў, пачатак каардынатаў якой размешчаны ў пункце вылету каменя. Хай становішча каменя ў палёце вызначаецца парай каардынат ,  у гэтай сістэме каардынат.

Будзем будаваць універсальную мадэль руху матэрыяльнага шара ў некаторым газападобным або вадкім асяроддзі.

Для апісання руху скарыстаемся другім законам Ньютана ў вектарнай форме:

дзе     — маса шара;

 — вектар паскарэння шара;

 — вектар раўнадзейнай усіх сіл, якія дзейнічаюць на шар.

Пералічым сілы, якія дзейнічаюць на шар:

— сіла цяжкасці , накіраваная ўніз (прыклад 16.2);

— архімедава сіла, якая выштурхвае , накіраваная ўверх (прыклад 16.3);

— сіла супраціўлення асяроддзя целу, якое рухаецца, накіраваная супраць вектара скорасці і якая мае дзве састаўляючыя: сілу глейкага трэння асяроддзя аб паверхню цела  і сілу лабавога супраціўлення асяроддзя  (прыклад 16.4).

У выніку для шара, які рухаецца ў некаторым асяроддзі, ураўненне другога закона Ньютана атрымлівае выгляд

Разлічыць становішча цела, якое рухаецца, дазваляе выраз для яго паскарэння.

Калі выкарыстоўваць вядомыя формулы і значэнні велічынь (прыклад 16.5), то з ураўнавання другога закона Ньютана атрымліваем

.

Распішам вектарнае ўраўненне як два ўраўненні для праекцый вектараў на каардынатныя восі.

,

.

Выкарыстоўваючы абазначэнні прыкладу 16.6, атрымліваем

,

.

Для пабудовы дакументальнай разліковай мадэлі выкарыстоўваем метад дыскрэтызацыі часу (прыклад 16.7).

Калі ў момант часу t_i значэнні праекцый вектара хуткасці і паскарэння пазначаныя адпаведна v_x(t_i), v_y(t_i) і a_x(t_i), a_y(t_i), тады значэнні праекцый вектара хуткасці ў момант t_i+1 вылічаюцца па формулах:

v_x(t_{i +1}) = v_x(t_i ) + a_x(t_i) t,

v_y(t_{i +1}) = v_y(t_i ) + a_y(t_i) t.

Падстаўляем выразы для праекцый вектара паскарэння, атрыманыя ў п. 16.3,

v_x(t_{i +1}) = (1 – K(t_i) t) v_x(t_i),

v_y(t_{i +1}) = (ρ_c/ ρ_т – 1) · 9,81 t + (1 – K(t_i) ) v_y(t_i),

дзе    K(t) — уведзены ў прыкладзе 16.6 каэфіцыент супрацілення асяроддзя.

Каардынаты становішча цела ў выдзеленыя моманты часу вылічаюцца па формулах:

x(t_{i +1}) = x(t_i ) + v_x(t_i) t,

y(t_{i +1}) = y(t_i ) + v_y(t_i) t.

Пачатковыя даныя для вылічэнняў прыведзены ў прыкладзе 16.8.

Зыходныя даныя і пачатак разліковай табліцы камп'ютарнай мадэлі размесцім па схеме прыкладу 16.10.

Запаўняем першы радок разліковай табліцы. Спачатку пачатковыя значэнні часу і праекцый вектара скорасці.

A13:  0     

B13:  =A3*COS(A4*ПИ()/180)

C13:  =A3*SIN(A4*ПИ()/180)

Далей формула разліку пераменнага каэфіцыента супраціўлення асяроддзя K(t₀) і пачатковыя значэнні каардынатаў каменя.

D13:  =(4,5*$A$9/$A$6+0,15*$A$8* 

КОРЕНЬ(B13^2+C13^2))/($A$7*$A$6)

E13: 0          F13: 0

Наступны радок разліковай табліцы з'яўляецца асноўным.

A14:  =A13+$A$5

B14:  =ЕСЛИ(F13<0;0;(1–D13*$A$5)*B13)

C14:  =($A$8/$A$7–1)*9,81*$A$5+Ä

(1–D13*$A$5)*C13

У ячэйку D14 формула капіруецца з ячэйцы D13.

E14:  =E13+ЕСЛИ($B14=0;0;B13*$A$5)

У ячэйку F14 формула капіруецца з ячэйкi E14.  Функцыя ЕСЛИ() у формулах забяспечвае завяршэнне траекторыі, калі цела апускаецца ніжэй узроўня зямлі.

Далей формуламі дыяпазону A14:F14 запаўняюцца ўніз ячэйкі электроннай табліцы да радка 70 ўключна.

Для адказу на першыя два пытанні ў табліцы знаходзяць суседнія радкі, у якіх значэннi ў слупку y(t) мяняюць знак. Па іх знаходзяць значэнні далёкасці палёту (у слупку x(t) і часу палёту (у слупку Час).

Для адказу на трэцяе і чацвёртае пытанні знаходзяць радок з максімальным значэннем ў слупку y(t). А адказы даюць значэнні гэтага радка ў слупку x(t) і у слупку Час.

Для адказу на пятае пытанне трэба капіраваннем пабудаваць другую мадэль, якая супраціўленне паветра не ўлічвае (прыклад 16.13).

У мадэлі-копіі неабходна абнуліць параметры паветра ў ячэйках A8 і A9 і памяняць назву мадэлі на назву «Мадэль руху цела ў асяроддзі без супраціўлення". Можна параўноўваць табліцы.

Пры капіраванні мадэлі разам з табліцай скапіравалася і дыяграма. Але даныя для гэтай дыяграмы знаходзяцца на іншым (зыходным) лісце. Таму на дыяграме можна дабудаваць другую траекторыю. Пстрыкаем па дыяграме правай кнопкай мышы. У кантэкстным меню пстрыкаем па пункце Выбрать данные. З'яўляецца дыялогавае акно Выбор источника данных (прыклад 16.14).

У левым ніжнім полі акна ёсць імя Ряд1. Гэта даныя з іншага ліста. Пстрыкаем па кнопцы Изменить. З'яўляецца дыялогавае акно Изменение ряда (прыклад 16.15).

У гэтым акне ў верхняе поле Имя ряда: уводзім імя «У паветры» і пстрыкаем па кнопцы OK. Вярнуліся ў дыялогавае акно Выбор источника данных, у якім пстрыкаем па кнопцы Добавить (новы рад). З'яўляецца новае акно Изменение ряда.