Печатать книгуПечатать книгу

§ 14. Мадэляванне ў эканамічных задачах

Сайт: Профильное обучение
Курс: Інфармацыйныя тэхналогіі. 11 клас (Базавы ўзровень)
Книга: § 14. Мадэляванне ў эканамічных задачах
Напечатано:: Гость
Дата: Пятница, 29 Март 2024, 14:00

14.1. Асноўныя паняцці

Эканамiчная мадэль — гэта фармалізаванае апісанне эканамічнага аб'екта, працэсу або з'явы.

Мэтамі мадэлявання ў эканоміцы з'яўляюцца: аналіз эканамічных аб'ектаў, працэсаў і з'яў, прадказанне параметраў развіцця эканамічных працэсаў (прагназаванне), падрыхтоўка кіраўніцкіх рашэнняў на ўсіх узроўнях эканомікі. У эканоміцы шырока выкарыстоўваюцца мадэлі рознай складанасці, пачынаючы ад простых структурных схем (прыклад 14.1). Калі эканамічная мадэль выкарыстоўвае матэматычныя паняцці і матэматычны апарат, то такую мадэль часта называюць эканоміка-матэматычнай мадэллю  (прыклад 14.2).

Пры вырашэнні складаных практычных задач эканоміка-матэматычныя мадэлі звычайна ўключаюць наборы ўраўнаванняў і няроўнасцей. Разгледзім падрабязней мадэляванне пры вырашэнні задач аптымальнага планавання. Задача аптымальнага планавання заключаецца ў вызначэнні такіх значэнняў планавых паказчыкаў гаспадарчага аб'екта, якія забяспечаць дасягненне пастаўленай мэты з улікам абмежаванасці рэсурсаў.

Прыклад 14.1. Прадметам мікраэканомікі з'яўляецца фірма, яе ўнутранае і знешняе асяроддзе, што добра апісвае мадэль-схема.

Прыклад 14.2. Найпростай формай эканоміка-матэматычнай мадэлі з'яўляецца графік. Прыкладам з'яўляецца шырока вядомая мадэль попыту S і прапановы D у сістэме каардынат Q (колькасць тавару) і P (кошт за гэты тавар).

Мадэль дазваляе знаходзіць пункт раўнавагі попыту і прапановы E і раўнаважкую цану P0

14.2. Задача аптымальнага планавання вытворчасці

Задача. Кандытарскі цэх выпускае два віды тортаў: «Ласунак» и «Мядовы». На выраб торта «Лакомка» затрачваецца ў сярэднім 0,3 ч, а на выраб торта «Мядовы» — 0,4 ч. Працоўны дзень доўжыцца 8 ч. для захоўвання гатовай прадукцыі ў цэху маецца халадзільнік на 25 тортаў. Торт «Ласунак» прадаецца па цане 12 р., а торт «Мядовы» — па цане 15 р. Якім павінен быць дзённы план вытворчасці тортаў, каб аб'ём вытворчасці ў грашовым выражэнні быў максімальным?

Па пераліку этапаў мадэлявання этап пастаноўкі задачы (этап 1) пройдзены. На этапе 2 варта выбраць план стварэння мадэлі (прыклад 14.3). Для стварэння матэматычнай мадэлі (этап 3а) увядзем велічыню x для абазначэння колькасці тортаў «Ласунак», якія плануюцца для вырабу за дзень, і аналагічна велічыню y для абазначэння колькасці тортаў «Мядовы». Тады пара (x, y) з'яўляецца планам кандытарскага цэха на дзень, а велічыні x і y — планавымі паказчыкамі.

Пазначым праз U(x, y) аб'ём дзённай вытворчасці тортаў у грашовым выразе (прыклад 14.4).

Абмежаванні на рэсурсы звязаны з абмежаваным лікам месцаў для захоўвання гатовай прадукцыі (прыклад 14.5) і абмежаваннямі на час вырабу прадукцыі (прыклад 14.6).  Абмежаванні закранаюць і значэннi планавых паказчыкаў (прыклад 14.7).

Рашэннем дадзенай задачы аптымальнага планавання вытворчасці з'яўляецца такая пара планавых паказчыкаў (x, y), якая задавальняе абмежаванням:

x + ≤ 25,
0,3x + 0,4 ≤  8
x, y  — цэлыя,
x ≥ 0, y ≥ 0,

а функцыя U(xy) = 12x + 15y прымае максімальнае значэнне.

Атрымліваем наступную матэматычную задачу знаходжання максімуму функцыі пры абмежаваннях:

U(x, y) → max;
x + y ≤ 25,
0,3x + 0,4y ≤ 8
x, y  — цэлыя,
x ≥ 0, y ≥ 0.

Такія задачы называюцца экстрэмальнымі. У экстрэмальных задачах функцыя, для якой шукаецца максімум або мінімум называецца мэтавай функцыяй, абазначэнне max (максімум) называецца крытэрыем. Метады рашэння экстрэмальных задач рэалізаваны ў электронных табліцах Excel З дапамогай надбудовы Поиск решения (прыклад 14.8).

Прыклад 14.3. На этапе 2 выбярэм наступны план рашэння задачы аптымальнага планавання вытворчасці: этап 3а — стварэнне дакументальнай матэматычнай мадэлі; этап 3б — стварэнне камп'ютарнай разліковай мадэлі.

Прыклад 14.4. Па зыходным даным задачы выраз для аб'ему вытворчасці ў грашовым выражэнні лёгка знаходзіцца:

U(xy) = 12x + 15y.

Прыклад 14.5. Абмежаванне на колькасць месцаў у халадзільніку выяўляецца няроўнасцю

x + y ≤ 25.

Прыклад 14.6. На выраб аднаго торта «Ласунак» у сярэднім пойдзе 0,3 ч, а на выраб аднаго торта  «Мядовы» — 0,4 ч. Тады на выраб тортаў па плане (x, y) будзе затрачана 0,3x + 0,4y (ч).

Улічваючы працягласць працоўнага дня, атрымліваем абмежаванне

0,3x + 0,4y ≤ 8.

Прыклад 14.7. Паколькі ў задачы маўленне ідзе аб тортах, то рашэннем задачы могуць быць толькі цэлыя значэнні планавых паказчыкаў. Атрымліваем абмежаванне

x, y  — цэлыя.

Таму што ў выніку вылічэнняў могуць атрымацца і адмоўныя лікі, то варта абмежаваць значэннi планавых паказчыкаў няроўнасцямі

x ≥ 0, y ≥ 0.

Прыклад 14.8. Пры ўстаноўцы праграмы Excel яе надбудовы аўтаматычна не ўстанаўліваюцца.

Для ўстаноўкі надбудовы Поиск решения  варта на ўкладцы Файл у левым вертыкальным меню выбраць пункт Параметры.  Адкрываецца дыялогавае акно Параметры.

У левым вертыкальным меню гэтага дыялогавага акна выбіраюць пункт Надстройки. Адкрываецца ўкладка Надстройки.

На ўкладцы Надст­ройки ў яе апошнім раздзеле Управление: размешчана поле, у якім павінна знаходзіцца надпіс Надстройки Excel.

Правей надпісы ў тэкставым полі пстрыкніце па кнопцы Перейти … . З'яўляецца яшчэ адно дыялогавае акно Настройки.

У акне Настройки адзначаюць пункт Поиск решения і пстрыкаюць па кнопцы ОK. Надбудова Поиск решения ўстанаўлiваецца.

14.3. Пабудова камп'ютарнай разліковай мадэлі

На этапе 3б мадэлявання пабудуем у электронных табліцах камп'ютарную разліковую мадэль з зыходнымі данымі задачы п. 13.2.

Даныя камп'ютарнай мадэлі размесцім па схеме, прыведзенай у прыкладзе 14.9.

Уводзім формулы

A12: =B11+C11

A13: =B4*B11+C4*C11

A14: =B5*B11+C5*C11

Прыклад 14.9. Схема размяшчэння даных у задачы аптымальнага планавання вытворчасці:

14.4. Праца з надбудовай «Поиск решения»

Надбудова Поиск решения выклікаецца на ўкладцы Данные  ў групе Анализ iнструментам Поиск решения. З'явіцца дыялогавае акно Параметры поиска решения (прыклад 14.10).

У полі першага радка варта ўвесці спасылку на ячэйку са значэннем мэтавай функцыі. Калі там ёсць даныя, то іх выдаляем і пстрыкаем па ячэйцы A14. У радку До: павінен быць абраны крытэрый Максимум.

У поле ўводу Изменяя ячейки переменные: уводзім дыяпазон B11:C11, вылучаючы яго ў табліцы працяжкай мышы.

Далей трэба ўвесці абмежаванні задачы ў вялікае поле В соответствии с ограниче­ниями: (прыклад 14.11).

Пад полем для абмежаванняў ставім галачку выбару ўмовы Сделать переменные без ограничений неотрицательными.

У полi Выберите метод решения: неабходна выбраць Поиск решения задач лин. симплекс методом.

Калі параметры пошуку ўведзеныя, трэба пстрыкнуць па кнопцы Найти решение  ў ніжняй частцы дыялогавага акна. Разлік праводзіцца практычна імгненна. У раздзеле Результаты модели з'яўляюцца шуканыя значэннi планавых паказчыкаў. Таксама з'яўляецца акно Результаты поиска решения, у якім прапануюцца спосабы захавання даных на аркушы кнігі Excel.

Засталося праверыць адэкватнасць мадэлі на кантрольных даных (прыклад 14.12).

Прыклад 14.10. Верхняя частка дыялогавага акна Параметры поиска решения:

Прыклад 14.11. Справа ад поля В соответствии с ограничениями: націскаем кнопку Добавить. З'яўляецца акно для ўводу абмежаванняў.

Пстрыкаем у левым полі, потым па ячэйцы A12 табліцы, у сярэднім акне пакідаем знак няроўнасці, пстрыкаем па правым полі, затым па ячэйцы A6. У завяршэннi пстрыкаем па кнопцы OK.

Аналагічна ўводзім другое абмежаванне са спасылкай на ячэйку A13 і абмежаваннем у ячэйцы A7.

Каб значэннi ячэек дыяпазону B11:C11 сталі цэлымі лікамі, варта ў дыялогавым акне Добавление ограничений злева ўвесці дыяпазон, а цэнтральным поле выбраць пазначэнне «цел». 

Прыклад 14.12. Кантрольныя даныя для праверкі адэкватнасці мадэлі па зыходных даных задачы п. 14.2 уключаюць:

 * планавыя паказчыкі (20 тортаў «Ласунак» и 5 тортаў «Мядовы»);

 * час вытворчасці 8 ч;

 * аб'ём вытворчасці 315 р.

14.5. Задача аптымальнага планавання часу вытворчасці

Задача. Кандытарскі цэх выпускае два віды тортаў: «Ласунак» и «Мядовы».На выраб торта «Лакомка» затрачваецца ў сярэднім 0,3 ч, а на выраб торта «Мядовы» — 0,4 ч. Для захоўвання гатовай прадукцыі ў цэху ёсць халадзільнік на 25 тортаў. Торт «Ласунак» прадаецца па цане 12 р., а торт «Мядовы» —  па цане 15 р. Якім павінен быць план вытворчасці, каб заказ коштам не менш 150 р. быў выкананы за мінімальны час?

Пастаўленая тут задача захавала зыходныя даныя задачы, разгледжанай у пп. 13.2—13.4. Аднак пытанне да задачы змяшчае новае абмежаванне і новую мэту вытворчасці: варта выканаць заказ за мінімальны час.

Для пабудовы дакументальнай матэматычнай мадэлі захаваем абазначэннi папярэдняй задачы.

Новай будзе мэтавая функцыя — час вытворчасці (час выканання заказу):

T(x, y) =0,3x + 0,4y  → min.

Застануцца абмежаванні

x + y ≤ 25,
x, y  — цэлыя,
x ≥ 0, y ≥ 0.

Дабавiцца абмежаванне на аб'ём вытворчасці (заказу) у грашовым выразе

U(x, y) = 12x + 15≥ 150.

Для стварэння камп'ютарнай разліковай мадэлі можна змяніць мадэль, пабудаваную ў п. 13.3 (прыклад 14.13).

Для правядзення разлікаў выклікаем дыялогавае акно Параметры поиска решения (прыклад 14.14)

Прыклад 14.13. На новы ліст рабочай кнігі электронных табліц уставім копію камп'ютарнай разліковай мадэлі, пабудаванай у п. 14.3.

Для гэтага адкрываем ліст з камп'ютарнай мадэллю задачы аптымальнага планавання вытворчасці. Пстрыкнуўшы па кнопцы над загалоўкам першага радка табліцы, вылучаем увесь ліст і капіруем яго ў буфер абмену любым спосабам. Затым адкрываем новы ліст рабочай кнігі, таксама вылучаем яго ўвесь і ўстаўляем скапіраваны ліст любым спосабам.

Мяняем частку загалоўка мадэлі.

У ячэйку B8 уводзім тэкст «: аб'ём заказа (у рублях)», а ў ячэйку A8 — лiк 150.

Прыклад 14.14. У дыялогавым акне Параметры поиска решения ў полi Оптимизиро­вать целевую функцию: неабходна ўнесці спасылку на ячэйку A13, выбраць крытэрый — Минимум, увесці дыяпазон змяняемых ячэек — B11:C11.

Далей варта ўвесці абмежаванні:

A12 ≤ A6,

A14 ≥ A8,

B11:C11 = целое.

Пад полем для абмежаванняў павінна стаяць галачка выбару ўмовы Сделать переменные без ограничений неотрицательными.

Выбіраем метад рашэння Поиск решения лин. задач симплекс-методом.

Пстрычка па кнопцы Найти решение запускае працэс рашэння задачы.

Адэкватнасць мадэлі правяраецца параўнаннем з кантрольнымі данымі:

 «Ласунак» — 10, «Мядовы» — 2.

Практыкаваннi

 

1. Паўтарыце на камп'ютары пабудову камп'ютарнай разліковай мадэлі для задачы1 аптымальнага планавання вытворчасці і пошук рашэння задачы.

2. На лісце электроннай табліцы з камп'ютарнай мадэллю, пабудаванай у практыкаванні 1, пабудуйце табліцу з наступнымі слупкамі:

Задаўшы колькасць месцаў захоўвання 20, знайдзіце рашэнне задачы і запішыце ў першы радок табліцы значэннi знойдзеных планавых паказчыкаў і аб'ёму вытворчасці ў грашовым выражэнні. Аналагічна запоўніце астатнія радкі табліцы для ліку месцаў захоўвання ад 21 да 30. Як звязана колькасць месцаў захоўвання ў халадзільніку з аб'ёмам вытворчасці ў грашовым выразе? Ці мае сэнс мець у халадзільніку больш 26 месцаў захоўвання?

3. Вырашыце наступную задачу. Цэх мэблевай фабрыкі выпускае дзіцячыя мэблевыя наборы «Буслiк» i «Гном». Для кожнага набору «Буслік» патрабуецца 0,2 ч машыннага часу і 3,5 м2 мэблевага шчыта, а для кожнага набору «Гном» патрабуецца 0,5 ч машыннага часу і 4 м2 мэблевага шчыта. У тыдзень можна выкарыстоўваць не больш за 150 ч машыннага часу і не больш за 1600 м2 мэблевых шчытоў. Набор «Буслік» прадаецца па цане 130 р., а набор «Гном»  па цане 200 р. Колькі набораў кожнага віду варта выпускаць у тыдзень для дасягнення максімальнага аб'ёму вытворчасці ў грашовым выражэнні? Адказ: 210; 216.

4. Паўтарыце на камп'ютары разгледжаныя ў п. 13.5 пабудову камп'ютарнай разліковай мадэлі ў задачы аптымальнага планавання часу вытворчасці і пошук рашэння задачы.

5. Вырашыце наступную задачу. Цэх мэблевай фабрыкі выпускае дзіцячыя мэблевыя наборы «Буслiк» i «Гном». Для кожнага набору «Буслік» патрабуецца 0,2 ч машыннага часу і 3,5 м2 мэблевага шчыта, а для кожнага набору «Гном» патрабуецца 0,5 ч машыннага часу і 4 м2 мэблевага шчыта. У тыдзень можна выкарыстоўваць не больш за 1600 м2 мэблевых шчытоў. Набор «Буслік» прадаецца па цане 130 р. , а набор «Гном»  па цане 200 р. Колькі набораў кожнага віду варта выпускаць у тыдзень, каб аб'ём вытворчасці ў грашовым выражэнні быў не ніжэй 60 000 р., а выкарыстанне машыннага часу было мінімальным? Адказ: 442; 13.