§ 14. Мадэляванне ў эканамічных задачах
Сайт: | Профильное обучение |
Курс: | Інфармацыйныя тэхналогіі. 11 клас (Базавы ўзровень) |
Книга: | § 14. Мадэляванне ў эканамічных задачах |
Напечатано:: | Гость |
Дата: | Пятница, 29 Март 2024, 14:00 |
14.1. Асноўныя паняцці
Эканамiчная мадэль — гэта фармалізаванае апісанне эканамічнага аб'екта, працэсу або з'явы. Мэтамі мадэлявання ў эканоміцы з'яўляюцца: аналіз эканамічных аб'ектаў, працэсаў і з'яў, прадказанне параметраў развіцця эканамічных працэсаў (прагназаванне), падрыхтоўка кіраўніцкіх рашэнняў на ўсіх узроўнях эканомікі. У эканоміцы шырока выкарыстоўваюцца мадэлі рознай складанасці, пачынаючы ад простых структурных схем (прыклад 14.1). Калі эканамічная мадэль выкарыстоўвае матэматычныя паняцці і матэматычны апарат, то такую мадэль часта называюць эканоміка-матэматычнай мадэллю (прыклад 14.2). Пры вырашэнні складаных практычных задач эканоміка-матэматычныя мадэлі звычайна ўключаюць наборы ўраўнаванняў і няроўнасцей. Разгледзім падрабязней мадэляванне пры вырашэнні задач аптымальнага планавання. Задача аптымальнага планавання заключаецца ў вызначэнні такіх значэнняў планавых паказчыкаў гаспадарчага аб'екта, якія забяспечаць дасягненне пастаўленай мэты з улікам абмежаванасці рэсурсаў. |
Прыклад 14.1. Прадметам мікраэканомікі з'яўляецца фірма, яе ўнутранае і знешняе асяроддзе, што добра апісвае мадэль-схема. Прыклад 14.2. Найпростай формай эканоміка-матэматычнай мадэлі з'яўляецца графік. Прыкладам з'яўляецца шырока вядомая мадэль попыту S і прапановы D у сістэме каардынат Q (колькасць тавару) і P (кошт за гэты тавар). Мадэль дазваляе знаходзіць пункт раўнавагі попыту і прапановы E і раўнаважкую цану P0. |
14.2. Задача аптымальнага планавання вытворчасці
Задача. Кандытарскі цэх выпускае два віды тортаў: «Ласунак» и «Мядовы». На выраб торта «Лакомка» затрачваецца ў сярэднім 0,3 ч, а на выраб торта «Мядовы» — 0,4 ч. Працоўны дзень доўжыцца 8 ч. для захоўвання гатовай прадукцыі ў цэху маецца халадзільнік на 25 тортаў. Торт «Ласунак» прадаецца па цане 12 р., а торт «Мядовы» — па цане 15 р. Якім павінен быць дзённы план вытворчасці тортаў, каб аб'ём вытворчасці ў грашовым выражэнні быў максімальным? Па пераліку этапаў мадэлявання этап пастаноўкі задачы (этап 1) пройдзены. На этапе 2 варта выбраць план стварэння мадэлі (прыклад 14.3). Для стварэння матэматычнай мадэлі (этап 3а) увядзем велічыню x для абазначэння колькасці тортаў «Ласунак», якія плануюцца для вырабу за дзень, і аналагічна велічыню y для абазначэння колькасці тортаў «Мядовы». Тады пара (x, y) з'яўляецца планам кандытарскага цэха на дзень, а велічыні x і y — планавымі паказчыкамі. Пазначым праз U(x, y) аб'ём дзённай вытворчасці тортаў у грашовым выразе (прыклад 14.4). Абмежаванні на рэсурсы звязаны з абмежаваным лікам месцаў для захоўвання гатовай прадукцыі (прыклад 14.5) і абмежаваннямі на час вырабу прадукцыі (прыклад 14.6). Абмежаванні закранаюць і значэннi планавых паказчыкаў (прыклад 14.7). Рашэннем дадзенай задачы аптымальнага планавання вытворчасці з'яўляецца такая пара планавых паказчыкаў (x, y), якая задавальняе абмежаванням: x + y ≤ 25, а функцыя U(x, y) = 12x + 15y прымае максімальнае значэнне. Атрымліваем наступную матэматычную задачу знаходжання максімуму функцыі пры абмежаваннях: U(x, y) → max; |
Прыклад 14.3. На этапе 2 выбярэм наступны план рашэння задачы аптымальнага планавання вытворчасці: этап 3а — стварэнне дакументальнай матэматычнай мадэлі; этап 3б — стварэнне камп'ютарнай разліковай мадэлі. Прыклад 14.4. Па зыходным даным задачы выраз для аб'ему вытворчасці ў грашовым выражэнні лёгка знаходзіцца: U(x, y) = 12x + 15y. Прыклад 14.5. Абмежаванне на колькасць месцаў у халадзільніку выяўляецца няроўнасцю x + y ≤ 25. Прыклад 14.6. На выраб аднаго торта «Ласунак» у сярэднім пойдзе 0,3 ч, а на выраб аднаго торта «Мядовы» — 0,4 ч. Тады на выраб тортаў па плане (x, y) будзе затрачана 0,3x + 0,4y (ч). Улічваючы працягласць працоўнага дня, атрымліваем абмежаванне 0,3x + 0,4y ≤ 8. Прыклад 14.7. Паколькі ў задачы маўленне ідзе аб тортах, то рашэннем задачы могуць быць толькі цэлыя значэнні планавых паказчыкаў. Атрымліваем абмежаванне x, y — цэлыя. Таму што ў выніку вылічэнняў могуць атрымацца і адмоўныя лікі, то варта абмежаваць значэннi планавых паказчыкаў няроўнасцямі x ≥ 0, y ≥ 0. Прыклад 14.8. Пры ўстаноўцы праграмы Excel яе надбудовы аўтаматычна не ўстанаўліваюцца. Для ўстаноўкі надбудовы Поиск решения варта на ўкладцы Файл у левым вертыкальным меню выбраць пункт Параметры. Адкрываецца дыялогавае акно Параметры. У левым вертыкальным меню гэтага дыялогавага акна выбіраюць пункт Надстройки. Адкрываецца ўкладка Надстройки. На ўкладцы Надстройки ў яе апошнім раздзеле Управление: размешчана поле, у якім павінна знаходзіцца надпіс Надстройки Excel. Правей надпісы ў тэкставым полі пстрыкніце па кнопцы Перейти … . З'яўляецца яшчэ адно дыялогавае акно Настройки. У акне Настройки адзначаюць пункт Поиск решения і пстрыкаюць па кнопцы ОK. Надбудова Поиск решения ўстанаўлiваецца. |
14.3. Пабудова камп'ютарнай разліковай мадэлі
На этапе 3б мадэлявання пабудуем у электронных табліцах камп'ютарную разліковую мадэль з зыходнымі данымі задачы п. 13.2. Даныя камп'ютарнай мадэлі размесцім па схеме, прыведзенай у прыкладзе 14.9. Уводзім формулы A12: =B11+C11 A13: =B4*B11+C4*C11 A14: =B5*B11+C5*C11 |
14.4. Праца з надбудовай «Поиск решения»
Надбудова Поиск решения выклікаецца на ўкладцы Данные ў групе Анализ iнструментам Поиск решения. З'явіцца дыялогавае акно Параметры поиска решения (прыклад 14.10). У полі першага радка варта ўвесці спасылку на ячэйку са значэннем мэтавай функцыі. Калі там ёсць даныя, то іх выдаляем і пстрыкаем па ячэйцы A14. У радку До: павінен быць абраны крытэрый Максимум. У поле ўводу Изменяя ячейки переменные: уводзім дыяпазон B11:C11, вылучаючы яго ў табліцы працяжкай мышы. Далей трэба ўвесці абмежаванні задачы ў вялікае поле В соответствии с ограничениями: (прыклад 14.11). Пад полем для абмежаванняў ставім галачку выбару ўмовы Сделать переменные без ограничений неотрицательными. У полi Выберите метод решения: неабходна выбраць Поиск решения задач лин. симплекс методом. Калі параметры пошуку ўведзеныя, трэба пстрыкнуць па кнопцы Найти решение ў ніжняй частцы дыялогавага акна. Разлік праводзіцца практычна імгненна. У раздзеле Результаты модели з'яўляюцца шуканыя значэннi планавых паказчыкаў. Таксама з'яўляецца акно Результаты поиска решения, у якім прапануюцца спосабы захавання даных на аркушы кнігі Excel. Засталося праверыць адэкватнасць мадэлі на кантрольных даных (прыклад 14.12). |
Прыклад 14.10. Верхняя частка дыялогавага акна Параметры поиска решения: Прыклад 14.11. Справа ад поля В соответствии с ограничениями: націскаем кнопку Добавить. З'яўляецца акно для ўводу абмежаванняў. Пстрыкаем у левым полі, потым па ячэйцы A12 табліцы, у сярэднім акне пакідаем знак няроўнасці, пстрыкаем па правым полі, затым па ячэйцы A6. У завяршэннi пстрыкаем па кнопцы OK. Аналагічна ўводзім другое абмежаванне са спасылкай на ячэйку A13 і абмежаваннем у ячэйцы A7. Каб значэннi ячэек дыяпазону B11:C11 сталі цэлымі лікамі, варта ў дыялогавым акне Добавление ограничений злева ўвесці дыяпазон, а цэнтральным поле выбраць пазначэнне «цел». Прыклад 14.12. Кантрольныя даныя для праверкі адэкватнасці мадэлі па зыходных даных задачы п. 14.2 уключаюць: * планавыя паказчыкі (20 тортаў «Ласунак» и 5 тортаў «Мядовы»); * час вытворчасці 8 ч; * аб'ём вытворчасці 315 р. |
14.5. Задача аптымальнага планавання часу вытворчасці
Задача. Кандытарскі цэх выпускае два віды тортаў: «Ласунак» и «Мядовы».На выраб торта «Лакомка» затрачваецца ў сярэднім 0,3 ч, а на выраб торта «Мядовы» — 0,4 ч. Для захоўвання гатовай прадукцыі ў цэху ёсць халадзільнік на 25 тортаў. Торт «Ласунак» прадаецца па цане 12 р., а торт «Мядовы» — па цане 15 р. Якім павінен быць план вытворчасці, каб заказ коштам не менш 150 р. быў выкананы за мінімальны час? Пастаўленая тут задача захавала зыходныя даныя задачы, разгледжанай у пп. 13.2—13.4. Аднак пытанне да задачы змяшчае новае абмежаванне і новую мэту вытворчасці: варта выканаць заказ за мінімальны час. Для пабудовы дакументальнай матэматычнай мадэлі захаваем абазначэннi папярэдняй задачы. Новай будзе мэтавая функцыя — час вытворчасці (час выканання заказу): T(x, y) =0,3x + 0,4y → min. Застануцца абмежаванні x + y ≤ 25, Дабавiцца абмежаванне на аб'ём вытворчасці (заказу) у грашовым выразе U(x, y) = 12x + 15y ≥ 150. Для стварэння камп'ютарнай разліковай мадэлі можна змяніць мадэль, пабудаваную ў п. 13.3 (прыклад 14.13). Для правядзення разлікаў выклікаем дыялогавае акно Параметры поиска решения (прыклад 14.14). |
Прыклад 14.13. На новы ліст рабочай кнігі электронных табліц уставім копію камп'ютарнай разліковай мадэлі, пабудаванай у п. 14.3. Для гэтага адкрываем ліст з камп'ютарнай мадэллю задачы аптымальнага планавання вытворчасці. Пстрыкнуўшы па кнопцы над загалоўкам першага радка табліцы, вылучаем увесь ліст і капіруем яго ў буфер абмену любым спосабам. Затым адкрываем новы ліст рабочай кнігі, таксама вылучаем яго ўвесь і ўстаўляем скапіраваны ліст любым спосабам. Мяняем частку загалоўка мадэлі. У ячэйку B8 уводзім тэкст «: аб'ём заказа (у рублях)», а ў ячэйку A8 — лiк 150. Прыклад 14.14. У дыялогавым акне Параметры поиска решения ў полi Оптимизировать целевую функцию: неабходна ўнесці спасылку на ячэйку A13, выбраць крытэрый — Минимум, увесці дыяпазон змяняемых ячэек — B11:C11. Далей варта ўвесці абмежаванні: A12 ≤ A6, A14 ≥ A8, B11:C11 = целое. Пад полем для абмежаванняў павінна стаяць галачка выбару ўмовы Сделать переменные без ограничений неотрицательными. Выбіраем метад рашэння Поиск решения лин. задач симплекс-методом. Пстрычка па кнопцы Найти решение запускае працэс рашэння задачы. Адэкватнасць мадэлі правяраецца параўнаннем з кантрольнымі данымі: «Ласунак» — 10, «Мядовы» — 2. |
Практыкаваннi
1. Паўтарыце на камп'ютары пабудову камп'ютарнай разліковай мадэлі для задачы1 аптымальнага планавання вытворчасці і пошук рашэння задачы.
2. На лісце электроннай табліцы з камп'ютарнай мадэллю, пабудаванай у практыкаванні 1, пабудуйце табліцу з наступнымі слупкамі:
Задаўшы колькасць месцаў захоўвання 20, знайдзіце рашэнне задачы і запішыце ў першы радок табліцы значэннi знойдзеных планавых паказчыкаў і аб'ёму вытворчасці ў грашовым выражэнні. Аналагічна запоўніце астатнія радкі табліцы для ліку месцаў захоўвання ад 21 да 30. Як звязана колькасць месцаў захоўвання ў халадзільніку з аб'ёмам вытворчасці ў грашовым выразе? Ці мае сэнс мець у халадзільніку больш 26 месцаў захоўвання?
3. Вырашыце наступную задачу. Цэх мэблевай фабрыкі выпускае дзіцячыя мэблевыя наборы «Буслiк» i «Гном». Для кожнага набору «Буслік» патрабуецца 0,2 ч машыннага часу і 3,5 м2 мэблевага шчыта, а для кожнага набору «Гном» патрабуецца 0,5 ч машыннага часу і 4 м2 мэблевага шчыта. У тыдзень можна выкарыстоўваць не больш за 150 ч машыннага часу і не больш за 1600 м2 мэблевых шчытоў. Набор «Буслік» прадаецца па цане 130 р., а набор «Гном» — па цане 200 р. Колькі набораў кожнага віду варта выпускаць у тыдзень для дасягнення максімальнага аб'ёму вытворчасці ў грашовым выражэнні? Адказ: 210; 216.
4. Паўтарыце на камп'ютары разгледжаныя ў п. 13.5 пабудову камп'ютарнай разліковай мадэлі ў задачы аптымальнага планавання часу вытворчасці і пошук рашэння задачы.
5. Вырашыце наступную задачу. Цэх мэблевай фабрыкі выпускае дзіцячыя мэблевыя наборы «Буслiк» i «Гном». Для кожнага набору «Буслік» патрабуецца 0,2 ч машыннага часу і 3,5 м2 мэблевага шчыта, а для кожнага набору «Гном» патрабуецца 0,5 ч машыннага часу і 4 м2 мэблевага шчыта. У тыдзень можна выкарыстоўваць не больш за 1600 м2 мэблевых шчытоў. Набор «Буслік» прадаецца па цане 130 р. , а набор «Гном» — па цане 200 р. Колькі набораў кожнага віду варта выпускаць у тыдзень, каб аб'ём вытворчасці ў грашовым выражэнні быў не ніжэй 60 000 р., а выкарыстанне машыннага часу было мінімальным? Адказ: 442; 13.