Печатать книгуПечатать книгу

§ 11. Мадэль «драпежнік-ахвяра»

Сайт: Профильное обучение
Курс: Інфармацыйныя тэхналогіі. 11 клас (Базавы ўзровень)
Книга: § 11. Мадэль «драпежнік-ахвяра»
Напечатано:: Гость
Дата: Пятница, 29 Март 2024, 01:51

11.1. Асноўныя паняцці

Разгледзім сістэму сумеснага існавання двух папуляцый, якая называецца сістэмай «драпежнік-ахвяра». Лічыцца, што папуляцыі пражываюць у ізаляваным асяроддзі, якое забяспечвае ўсім неабходным толькі адну папуляцыю (ахвяры). А вось асобіны другой папуляцыі (драпежнікі) харчуюцца толькі асобінамі першай папуляцыі (прыклад 11.1).

Для даследавання дынамікі колькасці папуляцый у сістэме «драпежнік-ахвяра» пабудуем матэматычную мадэль (прыклад 11.2), а затым камп'ютарную мадэль.

Прыклад 11.1. У прыродзе сістэма «драпежнік-ахвяра» ўзаемадзеяння папуляцый сустракаецца даволі часта. Напрыклад, у сажалцы жывуць карасі і шчупакі. У сажалцы дастаткова харчавання карасям, а шчупакi сілкуюцца толькі карасямі. Па такой жа сістэме ўзаемадзейнічаюць зайцы і ваўкі, мышы і лісы і г. д.

Прыклад 11.2. Упершыню матэматычная мадэль сістэмы «драпежнік-ахвяра» была створана ў 1925-1926 гадах і носіць iмёны яе стваральнікаў — мадэль латкі-Вольтерры.

11.2. Матэматычная мадэль «драпежнік-ахвяра»

Абазначым x(t) колькасць асобін папуляцыі ахвяр, а y(t) — колькасць асобін папуляцыі драпежнікаў у момант часу t. Хай таксама v(t) — скорасць росту колькасці папуляцыі ахвяр, а w(t) — скорасць росту колькасці папуляцыі драпежнікаў. Разгледзім матэматычную мадэль «драпежнік-ахвяра», у якой для папуляцыі ахвяр выкарыстоўваецца мадэль абмежаванага росту.

v(t) = (ab · x(t)) · (t) – с · x(t)y(t);

w(t) = – d · y(t) + f · x(t)y(t).

Складальнікі і параметры мадэлі разгледжаны ў прыкладзе 11.3.

Для атрымання разліковых формул ужываем метад дыскрэтызацыі часу з крокам t (прыклад 11.4). Тады атрымліваем формулы

x(ti +1) = x(ti ) + v(ti) · t,

y(ti +1) = y(ti ) + w(ti) · t.

Лiчым, што крок часу t = 1 і супадае з перыядычнасцю назіранняў.

Для i = 0 атрымліваем асноўныя формулы разліковай мадэлі

x(1) = x(0) – (abx(0)) • (0) – сx(0)y(0);

y(1) = y(0) – dy(0) + f x(0)y(0).

Прыклад 11.3. У першым ураўненні мадэлі справа першае складаемае 

(ab · x(t))x(t)

задае рост колькасці ахвяр, а другое

с · x(t)y(t)

— яе скарачэнне ад паглынання драпежнікамі.

У другім ураўненнi мадэлі справа першае складаемае

d · y(t)

задае скарачэнне колькасці драпежнікаў за кошт смяротнасці, а трэцяе

+ f · x(t)y(t)

— яе рост за кошт харчавання ахвярамі.

Параметры мадэлі:

a — каэфіцыент натуральнага прыросту папуляцыі ахвяр (a > 0);

b — каэфіцыент смяротнасці ахвяр ад унутрывідавой канкурэнцыі (b > 0);

c — каэфіцыент смяротнасці ахвяр ад драпежнікаў (c > 0);

d — каэфіцыент смяротнасці драпежнікаў (d > 0);

f — каэфіцыент, які вызначае прырост колькасці драпежнікаў (f > 0).

Прыклад 11.4. Хай пачатковы момант t0 = 0, наступныя моманты t1, t2, t3, …, і хуткасці v(t) i w(t) мяняюцца толькі ў гэтыя моманты часу.

11.3. Стварэнне камп'ютарнай мадэлi «драпежнік-ахвяра»

Ацэнку дынамікі колькасці папуляцый зручней праводзіць на графіках, таму камп'ютарную мадэль створым з дапамогай электронных табліц. Даныя камп'ютарнай мадэлі размесцім па схеме прыклад 11.5.

Запоўнім формуламі першыя два радкі рабочай табліцы.

A11:  =0           B11: =A4           C11:  = H4

A12:  =A11+1      

B12: =B11+($A$5–$A$6*B11)*B11–  $A$7*B11*C11

C12:  =C11–$H$5*C11+$H$6*B11*C11

Дыяпазонам A12:C12 запоўнім ўніз слупкі разліковай табліцы да радка 361 уключна. Для ячэеек разліковай табліцы варта задаць фармат Числовой з лікам дзесятковых знакаў 0 (цэлыя лікі).

Выведзем цяпер на ліст дзве дыяграмы з графікамі. Спачатку вылучым дыяпазон A11:C361 і ўставім на ліст дыяграму Точечная (Точечная с гладкими кривыми). Зменім назву дыяграмы на назву «Графікі колькасці папуляцый», знізу выведзем Легенду  і зменім у Легенде подпісы радоў на подпісы «Ахвяры» и «Драпежнiкi». Вынік прыведзены ў прыкладзе 11.6.

Для дыяпазона B11:C361 выведзем яшчэ адну дыяграму Точечная ( — Точечная с гладкими кривыми). Зменім назву новай дыяграмы і подпісы назвы восяў у адпаведнасці з дыяграмай прыклада 11.7.

Каардынаты (x, y) любога пункта графіку залежнасці — гэта пара лікаў. Каардынаты пункта на графіку залежнасці для некаторага моманту часу t паказваюць колькасць ахвяр x(t) і адпаведную ёй колькасць драпежнікаў y(t) у сістэме «драпежнік-ахвяра» (прыклад 11.8). Розным момантам часу адпавядаюць розныя пункты графіка. 

Прыклад 11.5. Левая частка схемы камп'ютарнай мадэлі:

Правая частка схемы камп'ютарнай мадэлі:

Ячэйкі дыяпазонаў B4:B7 і I4:I6 спачатку варта пакінуць пустымі. Па схеме на гэтых ячэйках устаноўлены элемент кіравання Полоса прокрутки.

Прыклад 11.6. Дыяграма «Графікі колькасці папуляцый»:

Графікі колькасці папуляцый дэманструюць ваганні, якія згасаюць з цягам часу (памяншэннем колькасці).

Прыклад 11.7. Дыяграма «Графік залежнасці паміж колькасцю папуляцый».

Прыклад 11.8. З павелічэннем часу t кропка зрушваецца па графіку ў напрамку супраць гадзіннай стрэлкі, пабудаванай з умоўнага цэнтра графіку. Адпаведна мяняюцца колькасці ахвяраў і драпежнікаў .

11.4. Даданне ў мадэль і налада палос пракруткі

Элемент кiравання Полоса прокрутки дазваляе пстрычкамі мышы па яго элементах мяняць значэнне звязанай з ім ячэйкі. Гэтым элементам зручна карыстацца, каб хутка задаваць у мадэлі новыя значэнні пачатковай колькасці або параметру.

Уставім элемент кіравання Полоса прокрутки ў кожную ячэйку дыяпазонаў B4:B7 і I4:I6 па схеме мадэлі ў прыкладзе 11.9.

Для ўстаўкі элемента на ўкладцы Разработчик у групе Элементы управления выбіраюць інструмент Вставить, а на яго панэлі выбіраюць элемент кіравання формы Полоса прокрутки (гл. прыклад 11.9).

Устаўка элемента кіравання Полоса прокрутки праводзіцца па аналогіі з устаўкай элемента кіравання Флажок у мадэль дынамікі колькасці папуляцый (гл. п. 10.7).

Кожную Полосу прокрутки варта наладзіць. Каб наладзіць Полосу прокрутки, па ёй пстрыкаюць правай клавішай мышы, выклікаюць кантэкстнае меню і ў ім выбіраюць пункт Формат объекта … З'яўляецца дыялогавае акно Формат элемента управления, у якім трэба адкрыць ўкладку Элемент управления з некалькімі палямі для запаўнення (прыклад 11.10).

Наладзім Полосу прокрутки на ячэйцы B4. У поле Текущее значение ўносім пачатковае значэнне з ячэйкі A4 на схеме прыклада 11.5. Астатнія поля запаўняем данымі першага радка табліцы прыклада 11.11.

Аналагічна наладжваем Полосу прокрутки ў ячэйцы I4.

Таксама наладжваем астатнія Полосы прокрутки, але Текущее значение не задаем і заўважаем, што палосы звязваюцца з ячэйкамі радку 8 электроннай табліцы, удалечыні ад пачатковых значэнняў на схеме мадэлі. Гэта зроблена наўмысна (прыклад 11.12).

Прыклад 11.9. Верхні элемент кіравання формы Полоса прокрутки на панэлі інструмента Вставить.

Прыклад 11.10. Дыялогавае акно Формат элемента управления:

Прыклад 11.11. Табліца даных для налады Полос прокрутки:

Поле Связь с ячейкой паказвае ячэйку, у якую Полоса прокрутки выдае сваё значэнне. Пстрычкамі мышы па элементах Полосы прокрутки гэта значэнне мяняецца. Адразу трэба праверыць, як працуюць элементы наладжанай Полосы прокрутки.

Прыклад 11.12. Справа ў тым, што на схеме пачатковыя значэння гэтых Полос прокрутки з'яўляюцца дробавымі лікамі, а ў наладах элемента задаць дробавыя значэннi немагчыма. Таму цэлыя значэннi такіх Полос прокрутки выведзеныя ў дапаможныя ячэйкі радку 8.

У ячэйцы раздзелу зыходных даных увядзем формулы, якія пераводзяць цэлыя значэнні Полос прокрутки ў дробавыя.

A5:  =A8/100             B5:  =D8/100

A6:  =B8/100000       B6:  =E8/10000  

A7:  = C8/1000 

Практыкаваннi

 

1. Паўтарыце на камп'ютары разгледжаную ў параграфе пабудову камп'ютарнай мадэлі «драпежнік-ахвяра».

2. Праверце адэкватнасць мадэлі. З зыходнымі данымі, прыведзенымі на схеме ў практыкаванні 1, ячэйкі радку 30 разліковай табліцы павінны атрымаць значэннi:

3. У мадэлі, пабудаванай у практыкаванні 1, змяняючы пачатковую колькасць ахвяр ад 100 да 1000 з крокам 100, прааналізуйце змены графікаў колькасці і графіку залежнасці для сістэмы «драпежнік-ахвяра».

4. У мадэлі, пабудаванай у практыкаванні 1, змяняючы пачатковую колькасць драпежнікаў ад 20 да 100 з крокам 20, прааналізуйце змены графікаў колькасці і графіку залежнасці для сістэмы «драпежнік-ахвяра».

5. У мадэлі, пабудаванай у практыкаванні 1, змяняючы значэнне каэфіцыента натуральнага прыросту ахвяр ад 0,01 да 0,1 з крокам 0,01, знайдзіце дыяпазон значэнняў каэфіцыента, пры якіх графік залежнасці для сістэмы «драпежнік-ахвяра» мае выгляд спіралі.