Печатать книгуПечатать книгу

§ 7. Мадэляванне выпадковых падзей. Метад Монтэ-Карла

Сайт: Профильное обучение
Курс: Інфармацыйныя тэхналогіі. 11 клас (Базавы ўзровень)
Книга: § 7. Мадэляванне выпадковых падзей. Метад Монтэ-Карла
Напечатано:: Гость
Дата: Пятница, 4 Апрель 2025, 21:58

Оглавление

7.1. Выпадковыя падзеі

З выпадковымі падзеямі мы сустракаемся ўвесь час: выпадковая сустрэча, выпадковая памылка, выпадковая паломка.

Выпадковая падзея — гэта падзея, якая можа адбыцца, а можа і не адбыцца.

Прадбачыць выпадковую падзею немагчыма (прыклад 7.1). Выпадковыя падзеі з'яўляюцца ў выпадковых досведах.

Мадэль — гэта аб'ект або працэс, які для нейкіх мэтаў разглядаецца замест іншага аб'екта або працэсу.

Прадказаць вынік выпадковага вопыту немагчыма. З выпадковым вопытам можа быць звязана некалькі выпадковых падзей (прыклад 7.2).

Існуе цэлы клас выпадковых досведаў, у якіх магчымыя выпадковыя падзеі можна апісаць лікамі. Такія лікі таксама называюць выпадковымі.

Выпадковы лік — гэта непрадказальны лік, якi атрыманы ў выніку выпадковага вопыту.

У выпадковых досведах прыклада 7.2. выпадковыя лікі былі цэлымі. Гэта зусім неабавязкова (прыклад 7.3).

Прыклад 7.1. Выпадковая сустрэча можа адбыцца падчас прагулкі, выпадковая памылка — падчас выканання кантрольнай работы ў школе. Класічныя прыклады выпадковых падзей — выпадзенне герба або ліку пры кіданні манеты.

Прыклад 7.2. Пры кіданні ігральнага кубіка магчыма выпадзенне цэлага ліку ад 1 да 6. Гэта 6 розных выпадковых падзей.

У тэлевізійнай гульні «Што? Дзе? Калі?» вярчэннем і прыпынкам ваўчка выбіраецца сектар стала з нумарам ад 1 да 13. Гэта 13 розных выпадковых падзей.

Прыклад 7.3. У гульні Дартс гульцы кідаюць дроцікі ў круглую мішэнь.

Калі пасля кідка максімальна дакладна вымераць адлегласць ад дроціка ў мішэні да яе цэнтра, то атрымаем выпадковы сапраўдны лік.

7.2. Камп'ютарнае мадэляванне выпадковых падзей

Выпадковыя падзеі з'яўляюцца ў выніку выпадковых досведаў. Са з'яўленнем камп'ютараў стала магчыма мадэляванне выпадковых падзей. Мадэлямі выпадковых падзей сталі значэнні спецыяльных функцый.

Генератар (датчык) выпадковых лікаў — гэта спецыяльная функцыя, якая пры кожным выкананні выдае новы выпадковы лік як сваё значэнне.

У навуковай літаратуры значэння генератараў выпадковых лікаў называюць псеўдавыпадковымі лікамі, так як будуюцца яны строгімі матэматычнымі метадамі і, такім чынам, прадказальныя. Псеўдавыпадковыя лікі з'яўляюцца мадэлямі выпадковых лікаў, але ў нашых пабудовах мы іх адрозніваць не будзем.

На мове PascalABC.NET генератар выпадковых лікаў рэалізаваны ў стандартнай функцыі random() (прыклад 7.4).

У электронных табліцах MS Excel генератар выпадковых лікаў рэалізаваны ў двух матэматычных функцыях (прыклад 7.5).

Прыклад 7.4. Калі функцыя random () не мае аргументу, то пры выкананні яна генерыруе выпадковы лік тыпу real паміж 0 і 1.

Калі аргументам функцыі random () з'яўляецца цэлы лік K, то пры выкананні яна генерыруе выпадковы лік тыпу integer ад 0 да K—1.

Пры кожным запуску праграмы на мове PascalABC.NET генератар выпадковых лікаў выдае новы выпадковы лік.

Прыклад 7.5. Функцыя СЛЧИС () аргументу не мае і пры выкананні генерыруе выпадковы сапраўдны лік паміж 0 і 1.

Функцыя СЛУЧМЕЖДУ () павінна мець два цэлых аргумента, якія падзелены кропкай з коскай (хай K і M, прычым K<M). Пры выкананні функцыя генерыруе выпадковы цэлы лік са значэннем ад K да M.

Абодва генератара выпадковых лікаў у электронных табліцах пералічваюць свае значэнні пасля кожнай змены працоўнай табліцы або пасля націску клавішы F9.

7.3. Метад Монтэ-Карла

Метад Монтэ-Карла — гэта лікавы метад рашэння матэматычных задач, які заснаваны на выкарыстанні генератара выпадковых лікаў.

Генератар выпадковых лікаў у метадзе Монтэ-Карла выкарыстоўваецца для мадэлявання выпадковых досведаў (кіданне манеты, ігральнага кубіка, пункту на плоскую фігуру) і выпадковых патокаў (патокі лістоў, пасылак, наведвальнікаў).

Разгледзім сутнасць метаду Монтэ-Карла на прыкладзе задачы вызначэння плошчы некаторай плоскай фігуры. Гэты дадатак метаду называюць геаметрычным метадам Монтэ-Карла (прыклад 7.6).

Прамавугольнік з вядомай плошчай у геаметрычным метадзе Монтэ-Карла будзем называць базавым.

Відавочна, што з павелічэннем агульнай колькасці пясчынак дакладнасць выніку павінна ўзрастаць. Дакладнасць выніку таксама можна павысіць, калі зрабіць мінімальнымі памеры базавага прамавугольніка.

Геаметрычны метад Монтэ-Карла вызваляе ад неабходнасці на самой справе раскідваць і падлічваць пясчынкі.
Назва метаду Монтэ-Карла, вядома, звязана з назвай курорта, які з'яўляецца адным з цэнтраў ігральнага бізнесу, шмат у чым пабудаванага на гульні ў рулетку. Рулетка дазваляе праводзіць выпадковы досвед з выпадзеннем выпадковага цэлага ліку ад 0 да 36.

Прыклад 7.6. Хай ёсць плоская фігура, якая знаходзіцца ўнутры прамавугольніка з вядомай плошчай  S0.

Засыплем у думках прамавугольнік вельмі тонкім пластом пяску. Калі палічыць агульную колькасць n пясчынак і лік k тых пясчынак, якія трапілі на фігуру, то набліжана плошчу фігуры можна лічыць па формуле

Метад Монтэ-Карла складаецца ў прайграванні на камп'ютары вопыту выпадковага раскідвання n пясчынак з выкарыстаннем генератара выпадковых лікаў і з падлікам колькасці k пясчынак, якія трапілі на фігуру.

Пытанні да параграфа

1. Што такое выпадковая падзея?

2. Што такое выпадковы вопыт?

3. Што такое выпадковы лік?

4. Што такое генератар выпадковых лікаў?

5. Чаму значэння генератара выпадковых лікаў называюць псеўдавыпадковымі?

6. У якой стандартнай функцыі мовы PascalABC.NET рэалізаваны датчык выпадковых лікаў?

7. У чым розніца паміж функцыямі СЛЧИС () і СЛУЧМЕЖДУ () у электронных табліцах MS Excel?

8. Што такое метад Монтэ-Карла?

9. У чым заключаецца геаметрычны метад Монтэ-Карла?