§ 16. Моделирование движения тела в воздухе

Сайт:	Профильное обучение
Курс:	Информационные технологии. 11 класс (Базовый уровень)
Книга:	§ 16. Моделирование движения тела в воздухе
Напечатано::	Гость
Дата:	Воскресенье, 28 Апрель 2024, 22:49

16.1. Постановка задачи (этап 1)
16.2. Выбор плана создания модели (этап 2)
16.3. Создание документальной математической модели (этап 3а)
16.4. Создание документальной расчетной модели (этап 3б)
16.5. Создание компьютерной расчетной модели (этап 3в)
16.6. Исследование модели (этап 4)
16.7. Получение решения задачи (этап 5)
Упражнения

16.1. Постановка задачи (этап 1)

Задача. Брошен камень с начальной скоростью 30 м/с под углом 60° к горизонту. Камень имеет форму шара с радиусом 5 см и плотностью 2600 кг/м³. Учитывая все силы, воздействующие на камень, ответить на следующие вопросы:

Как далеко от места бросания камень упадет?
Какое время камень будет находиться в полете?
Какова наибольшая высота взлета камня?
Как скоро от начала полета будет достигнута наивысшая точка полета?
Сравнить дальности полета камня в воздухе и в среде без сопротивления.

Условия поставленной задачи практически полностью совпадают с условиями задачи, которая была рассмотрена в 9-м классе. Но теперь при моделировании нужно учитывать все силы, воздействующие на камень.

Однако, забегая вперед, надо сказать, что это условие серьезно усложняет модель, используемую при решении задачи. Моделирование потребует учета таких параметров воздуха, как плотность и динамическая вязкость.

Для ответа на последний вопрос задачи для сравнения потребуется построить еще одну модель, аналогичную той, что мы строили в 9-м классе.

16.2. Выбор плана создания модели (этап 2)

Для решения задачи нужно строить документальную математическую модель и документальную расчетную модель (пример 16.1). В заключение создадим компьютерную модель в электронных таблицах.

Таким образом, получен план создания модели:

3а) создание документальной математической модели;

3б) создание документальной расчетной модели;

3в) создание компьютерной расчетной модели.

Пример 16.1. Создание математической модели полета камня в среде с сопротивлением потребует дополнительных знаний из курса физики.

Решение математической задачи можно получить в виде формулы (аналитическое решение) или в виде таблицы значений координат тела в полете (численное решение).

Выбирая численное решение с помощью электронных таблиц, далее будем строить документальную расчетную модель с формулами для расчета в электронных таблицах.

16.3. Создание документальной математической модели (этап 3а)

В вертикальной плоскости движения камня построим прямоугольную систему координат, начало координат которой размещено в точке вылета камня. Пусть положение камня в полете определяется парой координат , в этой системе координат.

Будем строить универсальную модель движения материального шара в некоторой газообразной или жидкой среде.

Для описания движения воспользуемся вторым законом Ньютона в векторной форме:

где — масса шара;

— вектор ускорения шара;

— вектор равнодействующей всех сил, действующих на шар.

Перечислим силы, действующие на шар:

— сила тяжести , направленная вниз (пример 16.2);

— архимедова выталкивающая сила , направленная вверх (пример 16.3);

— сила сопротивления среды движущемуся телу, которая направлена против вектора скорости и имеет две составляющие: силу вязкого трения среды о поверхность тела и силу лобового сопротивления среды (пример 16.4).

В результате для шара, движущегося в некоторой среде, уравнение второго закона Ньютона получает вид

Рассчитать положение движущегося тела позволяет выражение для его ускорения.

Если использовать известные формулы и значения величин (пример 16.5), то из уравнения второго закона Ньютона получаем

Распишем векторное уравнение как два уравнения для проекций векторов на координатные оси.

Используя обозначения примера 16.6, получаем

Пример 16.2. Для силы тяжести формула хорошо известна:

где — масса шара;

— вектор ускорения свободного падения, направленный вниз, со стандартной абсолютной величиной 9,81 м/с².

Пример 16.3. Архимедова сила рассчитывается по формуле:

где — плотность среды;

— объем шара;

— вектор ускорения свободного падения.

Пример 16.4. Формула для силы вязкого трения установлена опытным путем и носит название формулы Стокса.

Сила вязкого трения среды о движущийся шар радиуса вычисляется по формуле:

где — динамическая вязкость среды;

— вектор скорости шара.

Сила лобового сопротивления рассчитывается по формуле

где — безразмерный коэффициент, зависящий от формы тела;

— плотность среды;

— площадь сечения тела, поперечного направлению движения;

— абсолютная величина вектора скорости тела.

Пример 16.5. Для шара радиуса c плотностью известны следующие формулы для величин, входящих в выражения для сил.

Значение безразмерного коэффициента , зависящего от формы тела, для шара установлено опытным путем и равно 0,4.

Пример 16.6. Абсолютная величина вектора скорости находится по известной формуле:

Выражения для проекций ускорения тела при движении можно упростить, если ввести переменный коэффициент сопротивления среды

16.4. Создание документальной расчетной модели (этап 3б)

Для построения документальной расчетной модели используем метод дискретизации времени (пример 16.7).

Если в момент времени значения проекций вектора скорости и ускорения обозначены соответственно , и , , тогда значения проекций вектора скорости в момент вычисляются по формулам:

Подставляем выражения для проекций вектора ускорения, полученные в п. 16.3,

где — введенный в примере 16.6 коэффициент сопротивления среды.

Координаты положения тела в выделенные моменты времени вычисляются по формулам:

Начальные данные для вычислений приведены в примере 16.8.

К исходным данным нужно отнести и значения входящих в формулы параметров воздуха (пример 16.9).

Пример 16.7. Будем рассматривать положения тела в движении только в отдельные моменты времени.

Пусть начальный момент t₀ = 0, а последующие моменты t₁, t₂, t₃, … отстают друг от друга на одну и ту же величину , называемую шагом времени. Будем считать = 0,1 с.

Будем считать также, что скорость и ускорение тела меняются только в выделенные моменты времени. При малых значениях шага времени это вполне допустимое предположение.

Пример 16.8. Начальное положение тела задается равенствами

x(0) = 0, y(0) = 0.

Для вычисления проекций начальной скорости используем формулы, полученные еще в 9-м классе. Начальная скорость , для которой в условии задачи задана абсолютная величина , разлагается на составляющие и по углу бросания в градусах:

Пример 16.9. Для воздуха при температуре 20° C известно, что

ρ_с = 1,205 кг/м³; μ_с = 18,1⋅10^-6 Па⋅с.

16.5. Создание компьютерной расчетной модели (этап 3в)

Исходные данные и начало расчетной таблицы компьютерной модели разместим по схеме примера 16.10.

Заполняем первую строку расчетной таблицы. Сначала начальные значения времени и проекций вектора скорости.

A13: 0

B13: =A3*COS(A4*ПИ()/180)

C13: =A3*SIN(A4*ПИ()/180)

Далее формула расчета переменного коэффициента сопротивления среды K(t₀) и начальные значения координат камня.

D13: =(4,5*$A$9/$A$6+0,15*$A$8*

КОРЕНЬ(B13^2+C13^2))/($A$7*$A$6)

E13: 0 F13: 0

Следующая строка расчетной таблицы является основной.

A14: =A13+$A$5

B14: =ЕСЛИ(F13<0;0;(1–D13*$A$5)*B13)

C14: =($A$8/$A$7–1)*9,81*$A$5+

(1–D13*$A$5)*C13

В ячейку D14 формула копируется из ячейки D13.

E14: =E13+ЕСЛИ($B14=0;0;B13*$A$5)

В ячейку F14 формула копируется из ячейки E14. Функция ЕСЛИ() в формулах обеспечивает завершение траектории, если тело опускается ниже уровня земли.

Далее формулами диапазона A14:F14 заполняются вниз ячейки электронной таблицы до строки 70 включительно.

Для визуальной оценки следует построить траекторию полета камня (пример 16.11).

Пример 16.10. Схема размещения исходных данных и расчетной таблицы модели движения тела в воздухе в электронных таблицах.

В ячейке E7 указан материал тела. Для корректности отображения числа в ячейке A9 нужно изменить ее формат на числовой и увеличить число отображаемых десятичных знаков. Возможно, потребуется увеличить и ширину столбца A.

Эта компьютерная модель является базовой для построения моделей движения тела из другого материала (пенопласт, железо, дерево) и в другой среде (в воздухе, без воздуха, в воде).

Пример 16.11. Траекторию движения тела (полета камня) в воздухе построим на диаграмме. Для построения диаграммы в расчетной таблице выделяем диапазон E13:F70 и вставляем диаграмму Точечная ( — Точечная с гладкими кривыми).

На листе электронной таблицы появляется диаграмма, у которой название по умолчанию нужно поменять на название «Траектория полета камня в воздухе».

16.6. Исследование модели (этап 4)

Для проверки адекватности модели сравним данные строки 65 электронной таблицы в модели движения тела в воздухе и выверенные данные, приведенные в примере 16.12.

Пример 16.12. Выверенные данные строки 65 электронной таблицы в модели движения тела в воздухе.

16.7. Получение решения задачи (этап 5)

Для ответа на первые два вопроса в таблице находят соседние строки, в которых значения в столбце y(t) меняют знак. По ним находят значения дальности полета (в столбце x(t) и времени полета (в столбце Время).

Для ответа на третий и четвертый вопросы находят строку с максимальным значением в столбце y(t). А ответы дают значения этой строки в столбце x(t) и в столбце Время.

Для ответа на пятый вопрос нужно копированием построить вторую модель, которая сопротивление воздуха не учитывает (пример 16.13).

В модели-копии необходимо обнулить параметры воздуха в ячейках A8 и A9 и поменять название модели на название «Модель движения тела в среде без сопротивления». Можно сравнивать таблицы.

При копировании модели вместе с таблицей скопировалась и диаграмма. Но данные для этой диаграммы находятся на другом (исходном) листе. Поэтому на диаграмме можно достроить вторую траекторию. Щелкаем по диаграмме правой кнопкой мыши. В контекстном меню щелкаем по пункту Выбрать данные. Появляется диалоговое окно Выбор источника данных (пример 16.14).

В левом нижнем поле окна есть имя Ряд1. Это данные с другого листа. Щелкаем по кнопке Изменить. Появляется диалоговое окно Изменение ряда (пример 16.15).

В этом окне в верхнее поле Имя ряда: вводим имя «В воздухе» и щелкаем по кнопке OK. Вернулись в диалоговое окно Выбор источника данных, в котором щелкаем по кнопке Добавить (новый ряд). Появляется новое окно Изменение ряда.

В новом окне в верхнее поле Имя ряда: вводим имя «В среде без сопротивления». Во второе поле вводим диапазон E13:E70, в третье поле —F13:F70 и щелкаем по кнопке OK. Возвращаемся в окно Выбор источника данных (пример 16.16). Щелчком по кнопке OK возвращаемся к диаграмме (пример 16.17).

Пример 16.13. Строим копию построенной модели на новом листе рабочей книги по схеме примера 14.13.

Пример 16.14. Диалоговое окно Выбор источника данных.

Пример 16.15. Диалоговое окно Изменение ряда.

Пример 16.16. Диалоговое окно Изменение ряда после добавления второго ряда данных.

Пример 16.17. Диаграмма после добавления второго ряда данных.

Осталось поменять скопированное название диаграммы на новое название «Траектории полета камня в воздухе и в среде без сопротивления» и вывести Легенду в нижней части диаграммы.

Диаграмму можно переместить в любое место электронного листа.

Упражнения

1. Повторите на компьютере рассмотренное в п. 16.5 построение компьютерной модели движения камня в воздухе.

2. Используя копирование модели, построенной в упражнении 1, создайте компьютерную модель движения камня в среде без сопротивления, рассмотренную в п. 16.7. Достройте на скопированной диаграмме траекторию полета камня в среде без сопротивления.

3. Используя копирование модели, построенной в упражнении 1, создайте компьютерную модель движения шара из пенопласта в воздухе (средняя плотность пенопласта 25 кг/м³). Копию диаграммы удалите и постройте диаграмму с траекторией полета шара из пенопласта в воздухе.

4. Используя копирование модели, построенной в упражнении 3, создайте компьютерную модель движения шара из пенопласта в среде без сопротивления. Достройте на скопированной диаграмме траекторию полета в среде без сопротивления. Сравните дальности полета шара из пенопласта в воздухе и в среде без сопротивления.

5. Используя модели, построенные в упражнениях 2 и 4, сравните дальности полета камня и шара из пенопласта в воздухе, затем в среде без сопротивления.