§ 9. Вычисление площади фигуры методом Монте-Карло
| Сайт: | Профильное обучение |
| Курс: | Информационные технологии. 11 класс (Базовый уровень) |
| Книга: | § 9. Вычисление площади фигуры методом Монте-Карло |
| Напечатано:: | Гость |
| Дата: | Четверг, 21 Ноябрь 2024, 19:29 |
9.1. Постановка задачи (этап 1)
|
Задача. Методом Монте-Карло найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций |
Для вычисления площади фигур, ограниченных графиками функций, можно использовать различные методы, которые хорошо известны в математике.
|
и 
9.2. Выбор плана создания модели (этап 2)
|
Прежде всего следует построить изображение фигуры, для чего логично создать компьютерную модель фигуры в электронных таблицах (пример 9.1). Для вычисления площади фигуры доработаем программу предыдущего параграфа и используем ее (пример 9.2). План создания модели получает следующий вид: 3а) создание компьютерной модели фигуры; |
Пример 9.1. Чтобы построить изображение фигуры, нужно на одной координатной плоскости построить графики двух данных функций. Изображение позволит определить положение и размеры базового прямоугольника. Графики построим с помощью электронных таблиц. Пример 9.2. В программе нужно учесть размеры базового прямоугольника, соответственно изменить формулы расчета координат точек-песчинок и записать новые условия попадания точек-песчинок на фигуру. |
9.3. Создание компьютерной модели фигуры (этап 3а)
|
Будем строить графики функций на промежутке [–5; 15] с шагом 1. Компьютерную модель фигуры будем строить, используя схему размещения данных и заголовков, приведенную в примере 9.3. В ячейки строки 5 вводим следующие формулы A5: =B1 B5: =A5*(10–A5)/5 C5: =A5/3 В ячейку A6 вводим =A5+$B$2 Диапазон B5:C5 копируем на диапазон B6:C6 и диапазоном A6:C6 заполняем таблицу вниз до строки 25 включительно. Для построения графиков выделяем диапазон A4:C25 и вставляем диаграмму Точечная ( |
Пример 9.3. Схема размещения данных и заголовков компьютерной модели фигуры в электронных таблицах.
Пример 9.4. На диаграмме сразу строятся два графика. После настройки можно получить диаграмму следующего вида.
|
— Точечная с гладкими кривыми) 
9.4. Создание компьютерной расчетной модели (этап 3б)
|
Для создания программы montekarloS используем текст программы montekarlo из пункта 8.5. Добавим в объявление переменных типа real имена a и b, которые используем для ширины и высоты базового прямоугольника. Далее для этих переменных задаем начальные значения (пример 9.5.). Чтобы случайные точки попадали на базовый прямоугольник, изменяем операторы присвоения случайных значений координатам в теле цикла: x := a * random(); Чтобы записать новое условие оператора if снова изучаем фигуру (пример 9.6) и записываем условие (x/3 < y) and (y < x*(10-x)/5) Здесь в первом неравенстве слева — это выражение функции, график которой ограничивает фигуру снизу. В втором неравенстве справа — выражение функции, которая ограничивает фигуру сверху. Изменяем формулу вычисления площади (пример 9.7) и выводим результат оператором writeln('Площадь фигуры = ',s); |
Пример 9.5. Анализ построенной фигуры позволяет в качестве базового взять прямоугольник с вершиной в начале координат. Высоту прямоугольника можно взять равной 5, а ширину следует выбрать между 8 и 9, ориентируясь на графики. Возьмем ширину базового прямоугольника равной 8,5. Тогда в программе надо задать эти начальные значения для переменных a и b, дописав операторы:
Пример 9.6. Анализ построенной фигуры показывает, что она ограничена сверху графиком функции Пример 9.7. Для вычисления площади заданной фигуры используем основную формулу метода Монте-Карло Площадь S0 базового прямоугольника вычисляется как произведение длин его сторон. Тогда оператор вычисления площади должен иметь вид s := a * b * k / n; |
, а снизу — графиком функции 
.
.9.5. Исследование модели (этап 4)
| Адекватность метода проверена в предыдущем параграфе. Адекватность компьютерной модели можно проверить расчетами при помощи других методов (пример 9.8). |
Пример 9.8. Аналитические вычисления, проведенные другим математическим методом, показали, что площадь заданной фигуры равна 19,29.
|
9.6. Получение решения задачи (этап 5)
| Несколько запусков программы montekarloS с увеличением числа n точек-песчинок в 10 и более раз показывают, что результат с округлением до десятых долей равен 19,3. |
Уже отмечалось, что увеличить точность вычислений площади фигуры геометрическим методом Монте-Карло можно увеличением числа n точек-песчинок.
|
и 
;
и 
;
и 
;
и 
;
и 
;
.