§ 28. Фатон. Ураўненне Эйнштэйна для фотаэфекту

Вывучэнне законаў фотаэфекту прывяло вучоных да нечаканай высновы: пры ўзаемадзеянні з рэчывам (паглынанні ці выпраменьванні) святло паводзіць сябе падобна часціцам, якія рухаюцца (квантам). Што гэта за часціцы? Якія іх уласцівасці і як яны звязаны з хвалевымі характарыстыкамі святла?

Электрон-вольт — энергія, якую набывае часціца з зарадам, роўным элементарнаму, пры перамяшчэнні паміж двума пунктамі з паскараючай рознасцю патэнцыялаў 1 B 

Развіваючы ідэі М. Планка, А. Эйнштэйн у 1905 г. для тлумачэння эксперыментальных законаў знешняга фотаэфекту прапанаваў гіпотэзу аб дыскрэтнасці самога электрамагнітнага выпраменьвання — святло выпраменьваецца, паглынаецца і распаўсюджваецца ў выглядзе асобных порцый (квантаў). Ён разгледзеў элементарныя працэсы паглынання і выпускання гэтых квантаў.
Паводле гіпотэзы Эйнштэйна монахраматычнае электрамагнітнае выпраменьванне частатой  мае не толькі хвалевыя ўласцівасці, але і ўласцівасці, характэрныя для патоку часціц. Кожная такая часціца рухаецца са скорасцю святла с і нясе квант энергіі . Назваць гэтыя часціцы фатонамі прапанаваў у 1928 г. амерыканскі фізік Артур Комптан.
Энергія фатона можа быць выражана праз даўжыню хвалі λ:

(1)

З рэлятывісцкага азначэння імпульсу  для фатона  вынікае, што модуль яго імпульсу вызначаецца выразамі:

(1-1)

Значыць, для фатона:

Выключыўшы скорасць  з рэлятывісцкіх выразаў імпульсу і эненргіі цела:

,  ,

атрымаем суадносіну

.

(1-2)

Для фатона  з формулы (1-2) знаходзім, што маса фатона роўна нулю (m = 0).

Маса фатона, які рухаецца са скорасцю святла ў вакууме, роўна нулю.
Такім чынам, фатон — дзіўная часціца, якая мае энергію E = hν, імпульсам . З прычыны таго што скорасць фатона роўна скорасці святла ў вакууме, яго маса роўна нулю (m = 0). Такія часціцы называюць бязмасавымі.
Фатон з’яўляецца элементарнай часціцай, толькі ў адрозненне ад іншых элементарных часціц ён не мае масы, а таму «вымушаны» заўсёды рухацца са скорасцю распаўсюджвання святла.
Такім чынам, фатон мае наступныя ўласцівасці:

- існуе толькі ў руху;
- з’яўляецца бязмасавай часціцай (m = 0);
- электрычна нейтральны (q = 0);
- скорасць яго руху роўна скорасці распаўсюджвання святла ў вакууме ва ўсіх  ІСА;
- энергія фатона прапарцыянальна частаце адпаведнага электра­маг­нітнага выпраменьвання (E = hν)
- модуль імпульсу фатона роўны адносіне яго энергіі да модуля скорасці руху ().

Разгледзім тлумачэнне эксперыментальных законаў фотаэфекту, прапанаванае Эйнштэйнам на падставе квантавых уяўленняў. Пры асвятленні электрода электрамагнітным выпраменьваннем (гл. мал. 171) адбываецца ўзаемадзеянне фатонаў з электронамі рэчыва. Калі энергія фатона E = hν досыць вялікая, то які-небудзь з электронаў пасля паглынання фатона можа атрымаць энергію, дастатковую для таго, каб пакінуць апраменьваемы ўзор. Электроны, якія пакінулі ўзор, маюць некаторую скорасць, таму нават пры адсутнасці напружання паміж электродамі сіла фотатоку не роўна нулю. Менавіта таму вольт-амперная характарыстыка фотаэфекту пры напружанні, роўным нулю, не праходзіць праз нуль (гл. мал. 172, в).
Для таго каб пакінуць рэчыва, электрон павінен выканаць работу супраць сіл узаемадзеяння электрона з атамамі рэчыва. Такім чынам, мінімальная энергія, неабходная для выбывання электрона з паверхні рэчыва, называецца работай выхаду і абазначаецца А_вых(А_вых > 0). Для металаў гэта работа звязана з пераадоленнем сіл узаемадзеяння электронаў з дадатна зараджанымі іонамі крышталічнай рашоткі, якія ўтрымліваюць электрон у рэчыве. Работа выхаду для металаў звычайна складае некалькі электрон-вольт (табл. 9).

Табліца 9. Фотаэлектрычныя характарыстыкі некаторых рэчываў

Астатняя частка энергіі паглынутага кванта складае кінэтычную энер­гію электрона, які вызваліўся. Найбольшую кінетычную энергію   будуць мець тыя электроны, якія паглынуць кванты святла паблізу ад паверхні металу і выляцяць з яго, не паспеўшы згубіць энергію пры сутыкненнях з іншымі часціцамі ў метале.
На падставе закону захавання энергіі можна запісаць наступнае ўраўненне для фотаэлектрона:

.

(2)

Гэту суадносіну называюць ураўненнем Эйнштэйна для знешняга фотаэфекту.
Адзначым, што — гэта максімальная кінетычная энергія электрона , якую ён можа мець, вылецеўшы з рэчыва.
З-за розных страт кінетычная энергія электрона будзе меншай за раз­ліковае значэнне.

Выкарыстаўшы ўраўненне Эйнштэйна, можна растлумачыць эксперыментальныя законы фотаэфекту.

Тлумачэнне першага закону фотаэфекту. Сіла фотатоку насычэння прапарцыянальна агульнаму ліку фотаэлектронаў, якія пакідаюць паверхню металу за адзінку часу. Лік такіх фотаэлектронаў, у сваю чаргу, прапарцыянальны ліку фатонаў, якія падаюць на паверхню за гэты ж час. Менавіта прапарцыянальна, а не роўна, паколькі частка квантаў святла паглынаецца крышталічнай рашоткай, і іх энергія пераходзіць ва ўнутраную энергію металу. Такім чынам, павелічэнне інтэнсіўнасці падаючага святла прыводзіць да росту ліку фотаэлектронаў, якія пакідаюць паверхню металу.

Тлумачэнне другога закону фотаэфекту. Фотаэлектрон вырываецца з катода за кошт дзеяння аднаго кванта падаючага выпраменьвання. Таму кінетычная энергія фотаэлектрона залежыць не ад поўнай энергіі хвалі, а ад энергіі аднаго кванта, г. зн. частаты . Пры павелічэнні частаты n падаючага святла максімальная кінетычная энергія  фотаэлектронаў нарастае лінейна, як вынікае з ураўнення Эйнштэйна для фотаэфекту (2), згодна з суадносінай:

(3)

Вядома, што фотатокам можна кі­ра­ваць, падаючы на металічныя плас­ціны розныя напружанні. Калі на сістэму падаць невялікае напружанне адваротнай палярнасці, якое «абцяжарвае» вылет электронаў, то сіла току паменшыцца, паколькі цяпер фотаэлектронам, акрамя работы выхаду, прыйдзецца выконваць дадатковую работу супраць сіл электрычнага поля.
Пры некаторым адмоўным значэнні напружання U_з электроны затарможваюцца і, не дасягнуўшы паверхні анода, вяртаюцца на катод. Сіла току ў ланцугу пры гэтым будзе роўна нулю (мал. 176). Велічыню U_з, пры якой сіла току ў ланцугу роўна нулю, называюць затрымліваючым напружаннем. Такім чынам, уся кінетычная энергія электронаў затрачваецца на работу супраць сіл электрычнага поля. Пры гэтым максімальная кінетычная энергія электронаў выражаецца праз затрымліваючае напружанне наступным чынам :

(4)

Тлумачэнне трэцяга закону фотаэфекту. Калі частата v падаючага выпраменьвання меншая за гранічную частату  пры якой , то выпусканне электронаў не адбываецца . Такім чынам, фотаэфект адсутнічае, калі частата выпраменьвання аказваецца меншай за некаторую характэрную для дадзенага рэчыва велічыню
Значыць, чырвоную мяжу фотаэфекту можна знайсці з умовы:

(5)

Яна залежыць толькі ад работы выхаду электронаў, г. зн. вызначаецца будовай металу і станам яго паверхні.
Даўжыня хвалі  выпраменьвання, якая адпавядае чырвонай мяжы фотаэфекту, можа быць вызначана з суадносіны:

(6)

З ураўнення Эйнштэйна для фотаэфекту (2) вынікае, што, знайшоўшы тангенс tg α вугла нахілу прамых ліній на малюнку 174, можна вылічыць пастаянную Планка, паколькі

а па пунктах перасячэння прадаўжэння графікаў (гл. мал. 175) з восямі U_з і  — знайсці работу выхаду А_вых і чырвоную мяжу для дадзенага рэчыва.

У наш час цяжка ўявіць сабе сучасную навуку і тэхніку без выкарыстання прылад (прыёмнікаў выпраменьвання), якія пераўтвараюць светлавыя сігналы ў электрычныя. Такія прылады называюцца фотаэлементамі (мал. 177).

Фотаэлементы выкарыстоў­ваюцца для кантролю пасажырапатоку ў метро, для ўключэння і выключэння асвятлення на вуліцах, для кіравання вытворчымі працэсамі, у ваеннай тэх­ніцы: у саманаводных снарадах, для сігналізацыі і лакацыі. Інфра­чырвоныя фотаэлементы шырока выкарыстоўваюцца ў пультах дыстанцыйнага кіравання рознымі бытавымі электроннымі прыборамі (тэлевізар, кандыцыянер і г. д.).

У 1921 г. пры прысуджэнні Альберту Эйнштэйну Нобелеўскай прэміі па фізіцы ў рашэнні Нобелеўскага камітэта падкрэслівалася, што «прэміяй асабліва адзначаецца тлумачэнне законаў фотаэлектрычнага эфекту». Першы фотаэлемент на знешнім фотаэфекце быў створаны Сталетавым у 1888 г.

Пытаннi да параграфу

1. У чым сутнасць гіпотэзы Эйнштэйна?
2. Што называецца фатонам? Пералічыце асноўныя ўласцівасці фатона.
3. Па якой формуле можна вызначыць энергію фатона?
4. Запішыце ўраўненне Эйнштэйна для фотаэфекту і назавіце ўсе фізічныя велічыні, якія ўваходзяць у яго.
5. Пакажыце, што ўраўненне Эйнштэйна для фотаэфекту з’яўляецца вынікам закону захавання і ператварэння энергіі.
6. Пералічыце ўмовы, неабходныя для ўзнікнення фотаэфекту.
7. Што такое затрымліваючае напружанне?
8. Што называецца чырвонай мяжой фотаэфекту? Ад чаго яна залежыць?
9. Як квантавая тэорыя тлумачыць існаванне гранічнай частаты фотаэфекту? Запішыце формулу для чырвонай мяжы фотаэфекту.
10. Растлумачце законы фотаэфекту зыходзячы з квантавай тэорыі святла.
11. Чаму энергія фотаэлектронаў для дадзенага рэчыва вызначаецца толькі частатой падаючага святла?

Прыклады рашэння задач

1. Монахраматычнае святло даўжынёй хвалі λ = 450нм падае на паверхню натрыю. Вызначыце: а) энергію E фатона гэтага святла; б) модуль імпульсу p фатона падаючага святла; в) чырвоную мяжу   фотаэфекту для натрыю; г) максімальную кінетычную энергію  фотаэлектронаў.

Дадзена:




    

E - ?  p - ?   - ?  - ?

 Рашэнне: 

  а) Энергія фатона:

,

.

 б) Модуль імпульсу фатона:

.

 в) Чырвоная мяжа звязана з работай выхаду суадносінай:

.

 г) З ураўнення Эйнштэйна для знешняга фотаэфекту знаходзім, што максімальная кінетычная энергія электрона, што вылецеў:

, 

Адказ:  а)  б)  в)  г) .

2. Пад дзеяннем святла даўжынёй хвалі  з паверхні металу вылятаюць электроны, пры гэтым іх энергія роўна палове энергіі фатонаў, што выклікаюць фотаэфект. Вызначыце даўжыню хвалі  якая адпавядае чырвонай мяжы фотаэфекту. 

Дадзена:

λ_к - ?  

 Рашэнне: 

  Запішам ураўненне Эйнштэйна для фота­эфекту:

.

 Чырвоную мяжу фотаэфекту вызначым з суадносіны:

Па ўмове задачы:

Тады , адкуль вынікае, што  

Паколькі даўжыня хвалі , то 

Адказ: λк=800нм.

   

Практыкаванне 19

1.Вызначыце энергію Е фатона для выпраменьвання частатой ν = 5,4 · 10¹⁴ Гц

2. Вылічыце энергію Е₁ фатона бачнага святла даўжынёй хвалі λ₁ = 0,60 мкм і параўнайце яе з энергіямі фатонаў ультрафіялетавага выпраменьвання даўжынёй хвалі λ₂= 0,252 мкм рэнтгенаўскага выпраменьвання λ₃= 0,10 мкм  і γ-выпраменьвання λ₄= 0,10 пм.
3. Вызначыце чырвоную мяжу ν_min фотаэфекту для некаторага металу, калі работа выхаду электрона з яго А_вых = 3,3 · 10^-19 Дж.
4. Вызначыце даўжыню хвалі λ ультрафіялетавага выпраменьвання, падаючага на паверхню цынку, пры якой модуль максімальнай скорасці вылятаючых фотаэлектронаў складае .

5. Вызначыце работу выхаду А_вых электрона з катода, выкарыстаўшы вольт-амперную характарыстыку вакуумнага фотаэлемента (мал. 178). Катод асвятляецца святлом з даўжынёй хвалі λ = 200 нм. Знайдзіце лік N электронаў, выбіваемых з фотакатода за адзінку часу.
6. Вызначыце колькасць N фатонаў з частатой ν= 9,5·10¹² Гц, якая змяшчаецца ў імпульсе выпраменьвання з энергіяй E = 8,8 · 10^-18 Дж.
7. Вызначыце максімальную кінетычную энергію  і модуль мак­сімальнай скорасці  фотаэлектрона, што вылецеў з нат­рыю пры апраменьванні яго ультрафіялетавым выпраменьваннем даўжынёй хвалі λ = 200 нм.
8. На металічную пласціну падае монахраматычнае святло даўжынёй хвалі λ = 413 нм. Вызначыце работу выхаду A_вых (эВ), калі затрымліваючае напружанне U₃ = 1,0 B
9. Вызначыце модуль імпульсу p фотона, які адпавядае яго выпраменьванню даўжынёй хвалі λ = 600 нм.
10. Вызначыце даўжыню хвалі λ выпраменьвання, фатон якога мае такую ж энергію, як электрон, што прайшоў паскаральную рознасць патэнцыялаў Δφ = 4,1 В.
11. Вызначыце максімальную скорасць  фотаэлектронаў, што вылецелі з паверхні цынку пры асвятленні яго ўльтрафіялетавым выпраменьваннем даўжынёй хвалі λ =300 нм.
12. Вызначыце работу выхаду А_вых электрона з рэчыва пласціны, якую асвятляюць святлом з даўжынёй хвалі λ = 350 нм, калі найбольшае значэнне імпульсу, што перадаецца пласціне адным фотаэлектронам, p = 3,0 · 10-25 кг · м/с.
13. Вызначыце даўжыню хвалі λ, калі модуль імпульсу фатона, які адпавядае гэтай хвалі, роўны p = 1,3 · 10^-27 кг · м/с .
14. Вызначыце модуль імпульсу p фатона, які выклікае фотаэфект, калі максімальная кінетычная энергія фотаэлектронаў у  k = 1,5 раза меншая за работу выхаду электронаў з рэчыва катода А_вых = 6,0 эВ.
15. Вызначыце частату падаючых на паверхню металу фатонаў, калі максімальная энергія фотаэлектронаў, што вылецелі, E_max = 9,0 эВ , а работа выхаду А_вых = 2,7 эВ.
16. Фатон, якому адпавядае даўжыня хвалі λ = 4,0 · 10^-10 м, зведвае пругкі цэнтральны ўдар з электронам у стане спакою і адлятае назад. Вызначыце скорасць  электрона пасля ўдару з фатонам.

17. Фатон, якому адпавядае даўжыня хвалі λ = 4,0·10^-10 м, сутыкаецца з электронам у стане спакою і адлятае пад вуглом  да пачатковага напрамку свайго руху. Вызначыце імпульс  фатона пасля сутыкнення, лічачы скорасць электрона пасля сутыкнення .
18. Вызначыце, на колькі Δt градусаў  нагрэецца кропля вады аб’ёмам V = 0,70 мм³, калі на яе штосекундна падаюць N = 2,5 · 10¹⁵ фатонаў з даўжынёй хвалі λ = 500 нм і цалкам паглынаюцца кропляй.
19. Вызначыце даўжыню хвалі λ электрамагнітнага выпраменьвання, якім апраменьваюць вальфрамавую пласцінку, калі вядома, што фотаэлектроны з максімальнай кінетычнай энергіяй праходзяць без адхілення абсяг аднародных узаемна перпендыкулярных электрычнага і імагнітнага палёў (мал. 178-1). Модуль напружанасці электрычнага поля , модуль індукцыі магнітнага поля B =10 мТл.