§ 21. Формула тонкай лінзы

Адным з найбольш простых аптычных прыбораў з’яўляецца тонкая лінза (мал. 144), якая шырока выкарыстоўваецца як для выпраўлення дэфектаў зроку, так і для атрымання аптычных відарысаў. Якія відарысы дае тонкая лінза? Як злучаны паміж сабой адлегласць ад прадмета да тонкай лінзы і адлегласць ад лінзы да відарыса?

Лінза называецца збіральнай, калі пасля праламлення ў ёй паралельны пучок становіцца сыходным (мал. 145, а). Калі ж пасля праламлення ў лінзе паралельны пучок становіцца разыходным, то лінза называецца рассейвальнай
(мал. 145, б). Велічыня, адваротная фокуснай адлегласці лінзы, выражанай у метрах, называецца яе аптычнай сілай: 

Адзінка аптычнай сілы — дыяптрыя (1 дптр). 1 дптр адпавядае аптычнай сіле лінзы з фокуснай адлегласцю F = 1 м; 1 дптр = 1м^-1

Лінзы можна прадставіць у выглядзе сукупнасці трохгранных прызм. На малюнку 145 паказана мадэль дваякавыпуклай лінзы, сабранай з прызм, павернутых асновамі да цэнтра лінзы (гл. мал. 145, а). Адпаведна, мадэль дваякаўвагнутай лінзы будзе прадстаўлена прызмамі, павернутымі асновамі ад цэнтра лінзы (гл. мал. 145, б). Праламляючыя вуглы гэтых прызм можна падабраць такім чынам, каб падаючыя на яе паралельныя прамені пасля праламлення ў прызмах сабраліся ў адным пункце F (гл. мал. 145, 146).

Лінза лічыцца тонкай, калі яе таўшчыня ў цэнтры нашмат меншая за радыусы паверхняў, якія абмяжоўваюць яе. Тонкая лінза дае відарыс без скажэнняў толькі ў тым выпадку, калі святло монахраматычнае і прадмет дастаткова малы, а значыць, прамені распаўсюджваюцца паблізу ад галоўнай аптычнай восі. 

Пералічым умовы, пры адначасовым выкананні якіх лінза з’яўляецца збіральнай (мал. 147, а): 

- таўшчыня ў цэнтры большая за таўшчыню каля краёў;

- яе паказчык праламлення большы за паказчык праламлення навакольнага асяроддзя.

Пры невыкананні (або выкананні) толькі адной з гэтых умоў лінза з’яўляецца рассейвальнай (мал. 147, б). Разгледзім асноўныя характарыстыкі лінзы (мал. 148, а, б).

Прамая лінія, на якой ляжаць цэнтры абедзвюх сферычных паверхняў лінзы, называецца галоўнай аптычнай воссю.

Пункт лінзы, праходзячы праз які прамень не праламляецца, называецца аптычным цэнтрам.

Прамая лінія, якая праходзіць праз аптычны цэнтр лінзы і не супадае з галоўнай аптычнай воссю, называецца пабочнай аптычнай воссю. Кожная лінза мае толькі адну галоўную аптычную вось і бясконца многа пабочных восей.

Плоскасць, якая праходзіць праз аптычны цэнтр тонкай лінзы перпенды­кулярна да галоўнай аптычнай восі, называецца галоўнай плоскасцю лінзы.

Пункт, у які збіраецца вузкі пучок святла пасля праламлення ў лінзе, што распаўсюджваецца паралельна галоўнай аптычнай восі, называецца галоўным фокусам F лінзы. Адлегласць OF ад аптычнага цэнтра лінзы да яе галоўнага фокуса, называецца фокуснай адлегласцю лінзы.

Плоскасць, якая праходзіць праз галоўны фокус перпендыкулярна да галоўнай аптычнай восі, называецца факальнай плоскасцю. Факальная плоскасць збіральнай лінзы з’яўляецца геаметрычным месцам пунктаў, у якіх перасякаюцца паралельные прамені, што падаюць на лінзу пад любым вуглом да галоўнай аптычнай восі. Таму пучок святла, накіраваны на збіральную лінзу паралельна пабочнай аптычнай восі, збіраецца ў пабочным фокусе. 

Пабудова відарысаў

Звычайна для пабудоў у лінзах выкарыстоўваюць тры характэрныя (стандартныя) прамені (мал. 149, а, б):

- прамень (1), які ідзе праз аптычны цэнтр лінзы, не зведвае праламлення;
- прамень (2), паралельны галоўнай аптычнай восі, пасля праламлення праходзіць праз галоўны фокус;
- прамень (3), які праходзіць праз галоўны фокус, пасля праламлення ідзе паралельна галоўнай аптычнай восі.

Для пабудовы відарыса ў лінзе дастаткова пабудаваць ход двух праменяў ад кожнага пункта прадмета (гл. мал. 149). Відарыс знаходзіцца ў месцы перасячэння праменяў пасля праламлення на паверхнях лінзы (сапраўдны відарыс) або ў месцы перасячэння прадаўжэнняў праменяў (уяўны відарыс).

Адзначым, што калі прадмет AB размешчаны перпендыкулярна да галоўнай аптычнай восі, то і яго відарыс  A₁B₁ будзе перпендыкулярны да гэтай восі. Таму дастаткова пабудаваць толькі відарыс A₁ пункта прадмета А,  а відарыс B₁ пункта B знойдзем, апусціўшы перпендыкуляр з пункта B₁ на галоўную аптычную вось (гл. мал. 149). 

Для пабудовы відарыса пункта, які знаходзіцца на галоўнай аптыч­най восі, акрамя праменя, што праходзіць праз цэнтр лінзы, выкарыстоўваюць прамень, які падае на яе паралельна якой-небудзь пабочнай аптычнай восі (мал. 150). Гэты прамень пасля праламлення ў лінзе пройдзе праз пабочны фокус F′ які ляжыць на пабочнай восі. Такія пабудовы дадзены для збіральнай і рассейвальнай лінз на малюнку 150. На малюнку 151 дадзены прыклад пабудовы абсягу бачання прадмета S у тонкай лінзе. 

Характарыстыкі відарысаў

У залежнасці ад тыпу лінзы і адлегласці да яе можна атрымліваць відарысы: павялічаныя і паменшаныя, прамыя і адваротныя (перавернутыя), сапраўдныя і ўяўныя (мал. 152).

Паміж фокуснай адлегласцю тонкай лінзы, адлегласцю ад прадмета да лінзы і ад лінзы да відарыса існуе пэўная колькасная залежнасць, называемая формулай тонкай лінзы. 

Выведзем формулу тонкай лінзы з геаметрычных меркаванняў, разглядаючы ход характэрных праменяў: праменя, які ідзе праз аптычны цэнтр О лінзы, праменя, паралельнага галоўнай аптычнай восі лінзы, і праменя, што праходзіць праз галоўны фокус лінзы. 

Пабудуем відарыс прадмета AB у тонкай збіральнай лінзе (мал. 153). Няхай адлегласць ад прадмета да лінзы d, адлегласць ад лінзы да відарыса f, фокусная адлегласць лінзы F, адлегласць ад прадмета да пярэдняга галоўнага фокуса α, адлегласць ад задняга галоўнага фокуса да відарыса  α'  вышыня прадмета h' , вышыня яго відарыса 

З малюнка 153 відаць, што  ΔABC ~  ΔCLO, ΔA'B'C'' ~  ΔKOC'' , ΔABO ~  ΔA'B'O  З падобнасці трохвугольнікаў вынікае:

	;	(1)
	;	(2)
	;	(3)

Выкарыстаўшы суадносіны (1) і (2), атрымаем:

З улікам таго што d = α + F, f = α′ + F (гл. мал. 153), знаходзім a = d − F  і α = d - F  и α′ = f - F  і падстаўляем у формулу (4):

Адкуль атрымліваем df = Ff + dF.

Падзяліўшы абедзве часткі апошняга выразу на dfF, атрымаем формулу тонкай лінзы

(5)

Для практычнага выкарыстання формулы лінзы трэба цвёрда запом­ніць правіла знакаў:

для збіральнай лінзы, сапраўднай крыніцы і сапраўднага відарыса велічыні F, d, f лічаць дадатнымі. Для рассейвальнай лінзы, уяўнай крыніцы і ўяўнага відарыса F, d, f лічаць адмоўнымі.

Заўважым, што прадмет або крыніца з’яўляецца ўяўнай толькі ў тым выпадку, калі на лінзу падае пучок сыходных праменяў.

Такім чынам, лінза з  F > 0 з’яўляецца збіральнай (дадатнай), а з F < 0  — рассейвальнай (адмоўнай).

Лінейным (папярочным) павелічэннем Г называецца адносіна ліней­нага памеру відарыса h' да лінейнага памеру прадмета h. З суадносіны (3) знаходзім лінейнае павелічэнне тонкай лінзы:

(6)

Паколькі аптычная сіла лінзы залежыць ад уласцівасцей навакольнага асяроддзя, то пад вадой без плавальных акуляраў мы бачым дрэнна. 

У сучасных аптычных прыборах для паляпшэння якасці відарысаў выкарыстоўваюць сістэмы лінз. Аптычная сіла D сістэмы тонкіх лінз, складзеных разам, роўна суме іх аптычных сіл D 

Пытаннi да параграфу

1. Што называюць аптычнай сілай лінзы? У якіх адзінках яна вымяраецца?
2. Што называюць галоўнай аптычнай воссю лінзы? Пабочнай воссю?
3. Што называюць галоўным фокусам лінзы? Фокуснай адлегласцю?
4. Па якой формуле вызначаецца папярочнае павелічэнне лінзы?
5. Як вядома, светлавыя прамені абарачальныя. Як гэта сцверджанне можна выкарыстаць пры прымяненні формулы тонкай лінзы?
6. Якія відарысы можа даць збіральная лінза? Рассейвальная?
7. Па якой формуле вызначаецца аптычная сіла сістэмы тонкіх лінз?
8. Вызначыце, як змяняецца становішча відарыса і яго лінейнае павелічэнне пры перамяшчэнні прадмета ўздоўж галоўнай аптычнай восі збіральнай (рассейвальнай) лінзы ад аптычнага цэнтра да бясконцасці.
9. Ці можа рассейвальная лінза даць сапраўдны відарыс?

 

Прыклад рашэння задачы

1. На якой адлегласці d ад рассейвальнай лінзы з аптычнай сілай D = −4 дптр трэба змясціць прадмет, каб яго ўяўны відарыс атрымаўся ў k = 5 разоў меншы (Г = )  за сам прадмет? Пабудуйце відарыс прадмета

Дадзена:
D = - 4 дптр   
Г =          

d  - ?

 Рашэнне:   

З формулы для лінейнага павелічэння:

знаходзім:

Па формуле тонкай лінзы (мал. 154) у адпаведнасці з правілам знакаў:

з улікам выразу для f атрымаем:

Адказ: d = 1м.

2. З дапамогай збіральнай лінзы можна атрымаць два відарысы аднаго і таго ж прадмета з аднолькавым павелічэннем. Адлегласці ад прадмета да лінзы пры атрыманні такіх відарысаў  і . Вызначыце фокусную адлегласць F лінзы і павелічэнне Г прадмета.

Дадзена:


       

F  - ?

 Рашэнне:   

  Запішам формулу лінзы для абодвух выпадкаў размяшчэння прадмета:

 (1),

                                (2)

Па ўмове задачы:  ,
Адкуль:   (3)

Прыраўнаем правыя часткі  (1) і (2) і, падставіўшы  (3), знойдзем:

.

Адкуль:

, .

Тады павелічэнне:

, .

Фокусную адлегласць лінзы знойдзем, падставіўшы знойдзеную f₁ у формулу лінзы:

,  .

Адказ: F = 30 см, Г = 2,0.

Практыкаванне 17

1. Пабудуйце відарыс прадмета AB у тонкіх збіральнай і рассейвальнай лінзах (мал. 155, 156). Які гэта відарыс

2. Вызначыце пабудовай становішча фокусаў тонкай лінзы, калі зададзена галоўная аптычная вось і ход адвольнага праменя ABC (мал. 157).

3. Запоўніце ў сшытку табліцу класіфікацыі відарысаў, даваемых тонкай лінзай у розных выпадках.

4. Відарыс прадмета, які знаходзіцца на адлегласці d = 32,0 см перад тонкай лінзай, размешчаны на адлегласці f = 43,0 см за лінзай. Якая гэта лінза і чаму роўна яе фокусная адлегласць F?

5. Фокусная адлегласць тонкай збіральнай лінзы F = 15 см. Дзе размешчана кропкавая крыніца святла, калі яе сапраўдны відарыс атрымліваецца на экране на адлегласці f = 40 см ад лінзы і аддалены на H = 3,0 см ад яе галоўнай аптычнай восі?

6. Тонкая лінза з фокуснай адлегласцю F = 12 см дае сапраўдны відарыс на адлегласці f = 20 см ад лінзы. Вызначыце адлегласць d, на якой размешчаны прадмет, і знайдзіце павелічэнне Г лінзы.

7. Аптычная сіла тонкай лінзы . Дзе трэба змясціць прадмет, каб атрымаць уяўны відарыс на адлегласці f = 25 см ад лінзы?

8. Прадмет знаходзіцца на адлегласці l = 60 см  ад экрана. Выкарыстаўшы тонкую лінзу, на экране атрымалі спачатку паменшаны відарыс прадмета, а затым, перасоўваючы лінзу, атрымалі аідарыс, у 2 разы большы, чым першы. Вызначыце фокусную адлегласць F лінзы.