§ 18-1. Формула сферычнага люстра

Сферычныя люстры знаходзяць шырокае прымяненне ў розных прыборах і прыладах. Для іх выкарыстання неабходна ўмець разлічваць іх характарыстыкі (палажэнні відарысаў, іх павелічэнне). Як жа гэта можна зрабіць?

Атрымаем формулу ўвагнутага сферычнага люстра. Няхай кропкавая крыніца святла S размешчана на галоўнай аптычнай восі за цэнтрам люстра (мал. 128-1).

Адлегласць  ад крыніцы да люстра абазначым . Прамень  пасля адбіцця перасячэ вось у пункце . Адлегласць ад люстра да пункта  абазначым .

У  ΔSAS₁ лінія АО з’яўляецца бісектрысай SAS₁  і дзеліць процілеглую старану на адрэзкі, прапарцыянальныя дзвюм іншым старанам трохвугольніка:

Для праменя SA , блізкага да аптычнай восі,

, .

(1)

Акрамя таго, SO = d - R i OS₁ = R - f. 

Падставіўшы гэтыя значэнні ў прапорцыю, атрымаем:

.

Гэта роўнасць прыводзіцца да выгляду (зрабіце гэта самастойна):

Атрыманая формула называецца формулай сферычнага люстра.

Звярніце ўвагу, што дадзеная формула атрымалася пры выкарыстанні набліжаных роўнасцей (1), г. зн. яна дакладная пры падзенні на лінзу параксіяльных праменяў.

Прааналізуем атрыманую формулу. Калі крыніцу аддаліць ад люстра бясконца далёка, то праменні, што падалі на люстра, будуць ісці паралельна аптычнай восі. Складаемае  стане роўным нулю. Адлегласць  f будзе роўна некатораму значэнню F, і формула люстра атрымае выгляд:

.

Адкуль знойдзем .

Такім чынам, прамені, паралельныя галоўнай аптычнай восі люстра, адбіўшыся ад яго, перасякаюцца ў пункце F, які ляжыць на галоўнай восі і размяшчаецца ад полюса люстра на адлегласці, роўнай палове яго радыуса (гл. мал. 114).

Гэты пункт называецца галоўным фокусам люстра. Велічыня D, адваротная фокуснай адлегласці сферычнага люстра, называецца яго аптычнай сілай:

.

Адзінкай вымярэння аптычнай сілы ў СІ з’яўляецца дыяптрыя: 1 дптр = 1м^-1.

Зыходзячы з прынцыпу абарачальнасці праменяў, можна зрабіць выснову, што прамені святла ад крыніцы, змешчанай у галоўным фокусе люстра, адбіўшыся ад яго, пойдуць паралельна галоўнай аптычнай восі (гл. мал. 147).

Адлегласці d і R для любога праменя, які выходзіць з пункта S і падае на люстра, застаюцца нязменнымі. Таму прамень пасля адбіцця будзе перасякаць вось у пункце S₁. Такім чынам, прамені, што выходзяць з якога-небудзь пункта S на галоўнай восі, размешчанай за цэнтрам лінзы, перасякаюцца пасля адбіцця ад люстра ў адным і тым жа пункце S₁, таксама размешчаным на гэтай восі. Гэты пункт S₁ называецца сапраўдным відарысам пункта S.

Для сапраўдных прадмета, відарыса і фокуса адлегласці d, f i F лічацца дадатнымі, а для ўяўных d, f i F — адмоўнымі.

Фокус выпуклага люстра заўсёды ўяўны, увагнутага — сапраўдны.

Адзначым, што пры падзенні на люстра разыходнага пучка прадмет будзе сапраўдным. Пры падзенні сыходнага пучка прадмет будзе ўяўным.

Увагнутыя люстры выкарыстоўваюцца для атрымання паралельных пучкоў святла ў розных адбівальніках, або рэфлектарах, для асвятлення аддаленых прадметаў (фары, пражэктары). Для гэтага крыніцу святла змяшчаюць ў галоўным фокусе (мал. 128-2) увагнутага люстра.

Атрыманая ўласцівасць факусіроўкі паралельнага пучка праменяў з'яўляецца прыбліжаным і справядлівым толькі для вузкага пучка, г. зн. праменяў, якія не вельмі аддалены ад аптычнай восі. Для шырокіх пучкоў мае месца сферычная аберацыя, калі далёкія ад аптычнай восі прамені перасякаюць яе не ў фокусе (гл. мал. 128-2). Відарыс пры гэтым скажаецца — становіцца нярэзкім. Падобныя скажэнні называюцца аберацыямі аптычных сістэм

Сферычная аберацыя — гэта з’ява, пры якой прамені, значна аддаленыя ад галоўнай аптычнай восі, сферычнае люстра збірае ў фокусе, размешчаным бліжэй да яго. У выніку кропкавы аб'ект будзе адлюстроўвацца плямай. Для атрымання кропкавага восевага відарыса люстра павінна быць парабалічным (гл. мал. 128-2, 128-3).

Такія люстры выкарыстоўваюцца ва ўсіх найбуйнейшых тэлескопах. Але нават у іх паралельныя пучкі, якія ідуць пад невялікімі вугламі да аптычнай восі, пасля адбіцця не перасякаюцца у адным пункце і даюць моцна скажоныя пазавосевыя відарысы. Таму прыдатнае для працы поле зроку аказваецца вельмі невялікім — парадку некалькіх дзясяткаў вуглавых мінут.

Пытаннi да параграфу

1.    Атрымайце формулу сферычнага люстра.
2.    Што называецца галоўным фокусам сферычнага люстра? Аптычнай сілай?
3.    Які відарыс атрымліваецца ва ўвагнутым люстры, калі прадмет знаходзіцца паміж полюсам і фокусам люстра? Дзе ён знаходзіцца?
4.    Які відарыс атрымліваецца ў выпуклым люстры? Дзе ён знаходзіцца?
5.    Дзе прымяняюцца вельмі вялікія ўвагнутыя люстры? Якая іх асноўная функцыя?
6.    Ці можа фарміравацца сапраўдны відарыс з выпуклым люстрам?
7.    Як зменіцца сапраўдны відарыс прадмета ва ўвагнутым люстры, калі верхнюю палову люстра прыкрыць непразрыстым экранам?
8.    Чаму роўна фокусная адлегласць любога плоскага люстра?
9.    Ці абмяжоўвае дыфракцыя відарысы, ствараемыя: а) сферычнымі люстрамі; б) плоскімі люстрамі?
10.Для чаго выкарыстоўваюцца парабалічныя люстры?

 

 

Прыклады рашэння задач

1. Вызначыце адносіну велічыні відарыса да велічыні прадмета  (павелічэнне), калі галоўная фокусная адлегласць увагнутага люстра F, а адлегласць ад прадмета да галоўнага фокуса p

2.  У аўтамабіле выпуклае люстра задняга віду мае радыус крывізны R = 50 см. Вызначыце становішча f відарыса і яго павелічэнне Г, калі назіраемы аўтамабіль знаходзіцца на адлегласці d =12  м ад люстра.

Практыкаванне 4-1

1.    Вызначыце, дзе трэба змясціць  прадмет перад увагнутым сферычным люстрам, каб відарыс супаў з прадметам.
2.    Галоўная фокусная адлегласць увагнутага сферычнага люстра . Вызначыце адлегласць d, на якой трэба змясціць прадмет, каб яго ўяўны відарыс атрымаўся на адлегласці .
3.    Увагнутае сферычнае люстра дае павялічаны ў  разы перавернуты відарыс прадмета. Вызначыце галоўную фокусную адлегласць  люстра і яго радыус R, калі прадмет знаходзіцца на адлегласці ад люстра
4.    Вызначыце аптычную сілу  выпуклага сферычнага люстра, калі адлегласць да крыніцы , а ад люстра да відарыса — .
5.    Дакажыце, што павелічэнне  сферычнага люстра, г. зн. адносіна некаторага лінейнага памеру  відарыса да адпаведнага лінейнага памеру  прадмета роўна адносіне адлегласці  ад відарыса да люстра да адлегласці  ад прадмета да люстра: .
6.    Прадмет вышынёй  знаходзіцца на адлегласці  перад увагнутым сферычным люстрам з фокуснай адлегласцю . Вызначыце становішча вадарыса . Знайдзіце вышыню h відарыса.
7.    Увагнутае сферычнае люстра мае фокусную адлегласць . Дзе трэба размясціць прадмет, каб уяўны відарыс быў у 2 разы далейшы ад люстра?
8.    У выпуклым сферычным люстры радыусам  атрымліваецца паменшаны ў 5 разоў відарыс прадмета. Вызначыце адлегласць d ад прадмета да люстра.
9.    Дакажыце, што калі p і  q — адлегласці ад крыніцы і яго відарыса да галоўнага фокуса F сферычнага люстра, то правільная формула F²=pq.
10.   Пакажыце (гл. мал. 113, б), што для  выраз для аптычнай сілы сферычнага люстра  мае адносную хібнасць .
11.   Пабудуйце графік залежнасці павелічэння сферычнага люстра ад адлегласці прадмета да люстра .