§ 16. Прынцып Гюйгенса — Фрэнеля. Дыфракцыя святла. Дыфракцыйная рашотка

Хвалевыя працэсы маюць свае спецыфічныя заканамернасці, якія адрозніваюць іх ад іншых фізічных працэсаў. Што гэта за заканамернасці? Пры якіх умовах яны праяўляюцца? Як іх можна выкарыстоўваць?

Асяроддзе называецца аднародным, калі яго фізічныя ўласцівасці па ўсім аб’ёме аднолькавыя ва ўсіх пунктах прасторы. Асяроддзе называецца ізатропным, калі яго фізічныя ўласцівасці аднолькавыя ва ўсіх напрамках у прасторы.  Хвалевая паверхня — гэта паверхня, усе пункты якой вагаюцца ў аднолькавых фазах, г. зн. гэта паверхня роўных фаз. Геаметрычнае месца пунктаў, да якіх даходзяць ваганні да моманту часу t, называецца хвалевым фронтам (гл. § 5). Хваля называецца кругавой, калі яе хвалевы фронт з’яўляецца акружнасцю. 

Заканамернасці распаўсюджвання хваль любой прыроды ў розных асяроддзях маюць многа агульнага. 

Для нагляднасці разгледзім працэс распаўсюджвання хваль на паверхні вады. Хвалі, якія ўзбуджаюцца кропкавай крыніцай S, распаўсюджваюцца ва ўсіх напрамках з аднолькавай па модулі скорасцю v. Такім чынам, фронт хвалі будзе мець выгляд акружнасці (мал. 93, а) некаторага радыусу. Калі гэта хваля ад кропкавай крыніцы будзе распаўсюджвацца ў аднародным ізатропным асяроддзі, то яе хвалевы фронт будзе мець выгляд сферычнай паверхні. 

Як бачна з малюнка 93, а, калі ў некаторы момант часу t фронт хвалі ад крыніцы S займаў становішча abc, то праз прамежак часу τ фронт зойме ўжо становішча ABC, пункты якога будуць аддалены ад пачатковага фронту хвалі на адлегласць l = vτ. У кожным наступным становішчы хвалевы фронт будзе па-ранейшаму заставацца сферычнай паверхняй.

Агульныя заканамернасці працэсу распаўсюджвання хваль раст­лу­мачыў Х. Гюйгенс, сфармуляваўшы ў 1690 г. прынцып, які дазваляе вызначаць становішча хвалевага фронту праз малы прамежак часу па яго становішчы ў дадзены момант часу. Згодна з прынцыпам Гюйгенса:

кожны пункт асяроддзя, якога хвалевы фронт дасягнуў у момант часу t, становіцца крыніцай другасных сферычных хваль. Новае становішча хвалевага фронту праз прамежак часу  вызначаецца агібаючай хвалевых франтоў другасных хваль у момант часу t + τ.

Такім чынам, згодна з прынцыпам Гюйгенса для знаходжання становішча хвалевага фронту праз прамежак часу τ трэба правесці акружнасці радыусам l = vτ  якія ўяўляюць сабой франты другасных хваль, з цэнтрамі на фронце ў становішчы I (гл. мал. 93, б). Адпаведна, агібаючая хвалевых франтоў другасных хваль (1, 2, 3 і г. д.) вызначае новае становішча хвалевага фронту — становішча II. Напомнім, што агібаючай называецца паверхня, якая датыкаецца да ўсіх другасных хваль. На вельмі вялікіх адлегласцях ад кропкавай крыніцы хвалі, якія яна выпраменьвае, можна лічыць плоскімі (мал. 94).

Лінія (L, M, N), перпендыкулярная хвалеваму фронту (гл. мал. 93, а) у дадзеным пункце, з’яўляецца праменем. Прамень вызначае напрамак распаўсюджвання хвалі, а таксама напрамак пераносу энергіі хваляй. Напрыклад, будуць практычна паралельнымі сонечныя прамені, што падаюць на футбольнае поле.

Прынцып Гюйгенса тлумачыць прамалінейнасць распаўсюджвання хваль у аднародным асяроддзі. Паколькі ў такім асяроддзі радыусы франтоў другасных хваль (vτ) аднолькавыя на ўсіх участках (мал. 94), то хвалевы фронт (A′B′) плоскай хвалі з цягам часу перамяшчаецца ў адным і тым жа напрамку, застаючыся паралельным свайму пачатковаму становішчу AB.

Аднак пры распаўсюджванні святла паблізу ад меж непразрыстых цел ці пры праходжанні праз адтуліны ў непразрыстых экранах назіраюцца адхіленні ад закона яго прамалінейнага распаўсюджвання. Прычым адхіленне істотна залежыць ад суадносін паміж даўжынёй хвалі і памерам перашкоды. Сапраўды, стоячы за вуглом дома, мы добра чуем, што едзе аўтамабіль, хоць не бачым яго, паколькі знаходзімся ў абсягу «ценю». Такім чынам, гукавыя хвалі нібыта «паварочваюць за вугал», у той час як светлавыя хвалі гэтага зрабіць не могуць. 

З’ява агібання хвалямі непразрыстых перашкод, якая праяўляецца ў адхіленні напрамку распаўсюджвання хваль ад прамалінейнага, называецца дыфракцыяй (мал. 95). 

З’ява дыфракцыі з’яўляецца адным з пацверджанняў хвалевай прыроды святла. Для праяўлення дыфракцыі памеры перашкод (адтулін) павінны быць меншымі або параўнальнымі з даўжынёй хвалі, вось чаму ў разгледжаным прыкладзе гук     ад працуючага матора аўтамабіля змог «павярнуць за вугал», а святло  , адбітае ад аўтамабіля, — не.

Прынцып Гюйгенса дазваляе знаходзіць толькі напрамак распаў­сюджвання хвалевага фронту і не закранае пытанне аб амплітудзе хвалі, а значыць, і аб інтэнсіўнасці хваль, якія распаўсюджваюцца ў розных напрамках.

Вывучаючы дыфракцыю святла, французскі фізік Агюстэн Жан Фрэнель дапоўніў прынцып Гюйгенса ўяўленнем аб інтэрферэнцыі другасных хваль, якія з’яўляюцца кагерэнтнымі. Прынцып Гюйгенса — Фрэнеля дазволіў ахарактарызаваць з’яву дыфракцыі колькасна:

усе крыніцы другасных хваль, размешчаныя на хвалевым фронце, кагерэнтныя паміж сабой. Для разліку амплітуды агібаючай хвалі ў дадзеным пункце прасторы трэба ўлічыць інтэрферэнцыю другасных хваль ад усіх участкаў хвалевага фронту ў пачатковы момант часу (гл. мал. 93, а). 

Такім чынам, паводле Фрэнеля ды­фракцыя святла тлумачыцца інтэрфе­рэн­цыяй другасных хваль ад розных участ­каў хвалевага фронту ў пачатковы момант часу.

Для назірання дыфракцыі святла вы­карыстоўваецца дыфракцыйная рашотка.

Дыфракцыйная рашотка — аптычны прыбор, прызначаны для дакладнага вымярэння даўжынь хваль і раскладання святла ў спектр. 

Дыфракцыйная рашотка складаецца з вялікай колькасці роўна­ад­даленых паралельных рысак (шчылін), нанесеных на шкляную ці металічную паверхню. Даўжыні рашотак складаюць 10—15 см. Яны змяшчаюць 10 000—20 000 рысак на 1 см. Назіранні праводзяцца як у адбітым святле (на металічных рашотках), так і ў праходзячым святле (на шкляных). 

Разгледзім дыфракцыйную рашотку, якая ўяўляе сабой сістэму з N аднолькавых роўнааддаленых паралельных шчылін (празрыстыя ўчасткі) у плоскім непразрыстым экране (мал. 96). 

Калі шырыня кожнай шчыліны b, шырыня непразрыстай часткі паміж шчылінамі a, то велічыня d = a + b называецца пастаяннай рашоткі або яе перыядам. 

Няхай на рашотку, пастаянная якой роўна d, нармальна падае плоская хваля, даўжыня якой λ. З прынцапа Гюйгенса вынікае, што хвалі, якія дыфрагіравалі на шчылінах, распаўсюджваюцца за рашоткай ва ўсіх напрамках у прасторы (мал. 97). 

Для назірання дыфракцыйнай карціны на экране паміж ім і рашоткай размяшчаюць збіральную лінзу такім чынам, каб экран знаходзіўся ў факальнай плоскасці лінзы (гл. мал. 97). Збіральная лінза факусіруе на экране падаючыя на яе паралельныя прамяні (другасныя хвалі). 

У залежнасці ад рознасці ходу паміж другаснымі хвалямі, вы­пуш­чанымі рознымі шчылінамі, яны інтэрферыруюць адна з адной, узмацняючы ці паслабляючы адна адну. На экране атрымліваецца дыфракцыйная карціна ў выглядзе сістэмы светлых і цёмных палос (гл. мал. 97). Найбольш яркія дыфракцыйныя максімумы атрымалі назву галоўных дыфракцыйных максімумаў.

Пры нармальным падзенні святла на дыфракцыйную рашотку ўмова ўзнікнення галоўных дыфракцыйных максімумаў, назіраемых пад вугламі θ, мае выгляд (мал. 98):

(1)

Тут m — парадак максімуму або парадак спектра, λ— даўжыня хвалі падаючага выпраменьвання. 

Атрыманая ўмова вызначае напрамак распаўсюджвання святла ў прасторы, па якім на адрэзку Δl=dsinθ  змяшчаецца цэлы лік даўжынь хваль mλ (гл. мал. 98). Такім чынам, пры выкананні ўмовы (1) другасныя хвалі ад усіх шчылін рашоткі прыходзяць у пункт назірання сінфазна (з фазамі, якія адрозніваюцца на лік, кратны 2π) і ўзмацняюць адна адну. 

Паміж максімумамі інтэнсіўнасці размешчаны мінімумы, паколькі пры змяненні вугла θ на адрэзку Δl ужо не будзе змяшчацца цэлы лік даўжынь хваль. Значыць, другасныя хвалі прыходзяць у пункт назірання, паслабляючы адна адну.

З умовы ўзнікнення галоўных дыфракцыйных максімумаў (1) вынікае, што пры m = 0 для любых даўжынь хваль θ = 0. Такім чынам, прама ў цэнтры рашоткі ўтворыцца нулявы максімум, які называецца таксама цэнтральным максімумам. Дыфракцыйныя максімумы, якія адпавядаюць m = 1, утвораць спектр першага парадку, m = 2 — спектр другога парадку і г. д. (гл. мал. 97). Колькасць максімумаў m у дыфракцыйнай карціне абмежавана, паколькі |sinθ|≤ 1.  Максімальны парадак спектра m_max , які дае дыфракцыйная рашотка пры нармальным падзенні святла на яе, вызначаецца з умовы |sinθ|≤ 1 . Тады з суадносіны (1) трэба ўзяць цэлую частку адносіны:

(2)

г. зн. залежыць ад перыяду рашоткі і даўжыні светлавой хвалі. Адзначым, што пры вызначэнні максімальнага парадку спектра неабходна браць цэлую частку ліку m_max.
Як вынікае з суадносіны (2), для атрымання спектра першага парадку  неабходна, каб перыяд рашоткі быў большы за даўжыню светлавой хвалі 

Пры падзенні на рашотку белага святла цэнтральны максімум (m = 0) уяўляе сабой відарыс крыніцы (мал. 99, а), паколькі ў гэтым напрамку збіраецца выпраменьванне ўсіх даўжынь хваль. Для ўсіх мак­сімумаў ненулявога парадку (m0) у дыфракцыйнай рашотцы сінус вугла адхілення прама прапарцыянальны даўжыні хвалі падаючага выпра­меньвання (sinθ~λ). Такім чынам, чырвоныя прамені, якія маюць большую даўжыню хвалі, чым сінія, ад-хіляюцца дыфракцыйнай рашоткай мацней (мал. 99, б, в). Такім чынам, пры асвятленні рашоткі белым святлом справа і злева ад цэнтральна-
га максімуму назіраюцца максімумы першага, другога і больш высокіх парадкаў, звернутых фіялетавым краем да цэнтра дыфракцыйнай карціны, а чырвоным —ад яе (мал. 99, а).

З павелічэннем колькасці шчылін у дыфракцыйнай рашотцы нарастае колькасць светлавой энергіі, прапускаемай рашоткай, значыць, інтэнсіўнасць галоўных максімумаў пры гэтым павялічваецца. Акрамя таго, галоўныя максімумы з расплывістых ператвараюцца ў рэзкія і вузкія, падзеленыя практычна цёмнымі прамежкамі, паколькі другасныя максімумы вельмі слабыя і складаюць не больш за 5 % ад галоўнага (мал. 100). Таму пры падзенні монахраматычнага выпрамень­вання на рашоткі, у якіх колькасць рысак на 1 см дасягае 10⁵, дыфракцыйны спектр складаецца з вельмі рэзкіх ліній.

Пытаннi да параграфу

1. Што называюць дыфракцыяй святла? Пры якіх умовах яе назіраюць?
2. У чым сутнасць прынцыпу Гюйгенса?
3. Чаму пры аддаленні аркестра, калі ён апыняецца за вуглом дома, праз некаторы час чутны толькі гукі барабана і труб-басоў?
4. У чым сутнасць прынцыпу Гюйгенса — Фрэнеля?
5. У чым падабенства і адрозненне паміж інтэрферэнцыяй і дыфракцыяй?
6. Што называюць дыфракцыйнай рашоткай? Перыядам рашоткі?
7. Запішыце формулу для вызначэння максімумаў інтэнсіўнасці, ствараемай дыфракцыйнай рашоткай.
8. Чаму блізарукія людзі прыплюшчваюць вочы, каб лепш бачыць?
9. Як можна павысіць дакладнасць вымярэння даўжыні хвалі з выкарыстаннем дыфракцыйнай рашоткі?
10. У чым перавага для дыфракцыйнай рашоткі: а) вялікага ліку шчылін; б) малога перыяду рашоткі?
11. Чым можна растлумачыць вясёлкавую афарбоўку кампакт-дыскаў?
12. Чым можна растлумачыць вясёлкавае святло вакол вулічнага ліхтара, калі на яго паглядзець скрозь вейкі, прыжмурыўшы вока?

 

Прыклад рашэння задачы

На дыфракцыйную рашотку, якая мае   падае нармальна монахраматычнае выпраменьванне даўжынёй хвалі  λ = 550 нм. Вызначыце найбольшы парадак  дыфракцыйнага максімуму, які можна назіраць.

Дадзена:

,

 - ? 

 Рашэнне: 

  Умова дыфракцыйных максімумаў:

.

Такім чынам, sinθ =Nmλ 

Найбольшы парадак  дыфракцыйнага максімуму назіраецца пры вугле θ, блізкім да вугла 90°. У выніку гэтага будзем лічыць, што

,

тады найбольшы парадак максімуму знаходзіцца па формуле:

.

Для вызначэння  неабходна ўзяць цэлую частку атрыманага значэння:

Адказ:  = 3.

Практыкаванне 12

1. Пад якім вуглом θ назіраецца максімум трэцяга парадку пры нармальным падзенні святла даўжынёй хвалі  λ=840 нм на дыфракцыйную рашотку з перыядам 
2. Разлічыце колькасць рысак N на міліметр дыфракцыйнай рашоткі, калі вымераны вугал θ=46°43′ і чырвоная лінія спектра кадмію першага парадку мае даўжыню хвалі λ=644 нм. Зрабіце аналагічныя вылічэнні, калі пад гэтым вуглом бачна лінія другога парадку.
3. Колькі рысак N на 1 см павінна мець дыфракцыйная рашотка, калі спектр другога парадку адсутнічае ў бачным абсягу?
4. Вызначыце найбольшы парадак m_max спектра, назіраемага пры нармальным падзенні монахраматычнага святла на дыфракцыйную рашотку, якая мае N= калі даўжыня хвалі святла λ=520 нм
5. Монахраматычнае святло падае нармальна на дыфракцыйную рашотку. Дыфракцыйны максімум першага парадку назіраецца пад вуглом θ=12°. Колькі іншых парадкаў m можа назірацца і пад якімі вугламі?
6. Святло з даўжынямі хваль ад λ₁=400 да λ₂=780 нм падае нармальна на дыфракцыйную рашотку. У якіх парадках можа адбыцца перакрыцце максімумаў і мінімумаў? Ці залежыць адказ ад шырыні шчыліны?
7. Калі на рашотку з перыядам d=1,3 мкм  нармальна падае святло з даўжынёй хвалі λ=500 нм , то назіраюцца спектры першага і другога парадку, але спектр трэцяга парадку не назіраецца. Растлумачце гэты выпадак.
8. Вугал дыфракцыі  φ=54,8° для сіняй і чырвонай ліній супадае для рашоткі, якая мае  , то даўжыня хвалі сіняй лініі λ_с=454 нм . Вызначыце даўжыню хвалі   λ_к  чырвонай лініі і зрабіце вывад аб нумарах парадкаў дыфракцыі для абодвух колераў.
9. Пакажыце, што ствараемыя рашоткай спектры другога і трэцяга парадкаў у выпадку белага святла заўсёды будуць перакрывацца.
10. Дзве дыфракцыйныя рашоткі, якія маюць   і  , асвятляюцца па чарзе аднолькавым святлом. Вызначыце, якая з рашотак дае больш шырокі спектр пры аднолькавых умовах эксперымента.
11. Дыфракцыйная рашотка, якая мае  , асвятляецца белым святлом, якое падае нармальна на рашотку. Дыфракцыйныя максімумы якога найбольшага парадку  m_max  можна назіраць: а) у чырвоным абсягу спектра (λ₁=760 нм); б) у фіялетавым абсягу спектра (λ₂=400 нм)?
12. Белае святло з даўжынямі хваль ад  λ₁=400 нм да λ₂=700 нм падае нармальна на дыфракцыйную рашотку, якая мае  . Вызначыце рознасць вуглоў дыфракцыі (вуглавую шырыню)  Δθ спектра першага парадку на экране.
13. Дыфракцыйная рашотка асвятляецца падаючым на яе нармальна святлом з даўжынёй хвалі λ₁=589 нм. На экране, што знаходзіцца на адлегласці l=42 см ад рашоткі, дыфракцыйны максімум першага парадку знаходзіцца на адлегласці  x₁=2,48 см ад цэнтральнага максімуму. Пры замене крыніцы дыфракцыйны максімум другога парадку знаходзіцца на адлегласці x₂=3,84 см ад цэнтральнага максімуму. Вызначыце даўжыню хвалі  λ₂ святла, што выпраменьваецца гэтай крыніцай.