§ 7. Вагальны контур. Свабодныя электрамагнітныя ваганні ў контуры. Формула Томсана. Ператварэнні энергіі ў вагальным контуры

Вагальныя працэсы магчымыя не толькі ў механічных сістэмах. Пры пэўных умовах і ў электрычных ланцугах узнікаюць ваганні сілы току і напружання і іншых электрамагнітных велічынь. Якія гэта ўмовы? Як вылічыць перыяд электрамагнітных ваганняў? Якія аналогіі існуюць паміж ваганнямі рознай прыроды?

Электрычнай ёмістасцю C кандэнсатара называюць фізічную велічыню, якая характарызуе яго здольнасць назапашваць электрычныя зарады і роўна адносіне зарада q кандэнсатара да напружання U паміж яго абкладкамі:  Адзінкай электрычнай ёмістасці ў СІ з’яўляецца 1 фарад (1 Ф).

Энергія электрастатычнага поля кандэнсатара: .
Энергия магнитного поля катушки с током: ,  L — індуктыўнасць шпулі, I — cіла току ў ланцугу. Адзінкай індуктыўнасці ў СІ з’яўляецца 1 генры (1 Гн). Узнікненне электрарухаючай сілы (ЭРС) у замкнутым праводзячым контуры пры змяненні магнітнага патоку, што праходзіць праз яго, называецца з’явай электрамагнітнай індукцыі. Пад з’явай самаіндукцыі разумеюць узнікненне ў замкнутым праводзячым контуры ЭРС індукцыі, ствараемай у выніку змянення сілы току ў самім контуры. Правіла Ленца: індукцыйны ток, што ўзнікае ў замкнутым праводзячым контуры, мае такі напрамак, пры якім створаны ім магнітны паток праз паверхню, абмежаваную контурам, імкнецца кампенсаваць змяненне магнітнага патоку, што выклікала дадзены ток.

Разгледзім электрычны ланцуг, які складаецца з паслядоўна злучаных кандэнсатара электраёмістасцю С і шпулі індуктыўнасцю L (мал. 52, а), які называецца вагальным контурам або LC-контурам. Калі электрычнае супраціўленне контуру можна лічыць роўным нулю (R = 0), то яго называюць ідэальным. Ідэальны вагальны контур з’яўляецца спрошчанай мадэллю рэальнага вагальнага контуру.
Падключыўшы (пры дапамозе ключа K) крыніцу току, зарадзім кандэнсатар да напружання U₀, надаўшы яму зарад q₀ (мал. 52, б). Значыць, у пачатковы момант часу (t = 0) кандэнсатар зараджаны так, што на яго абкладцы 1 знаходзіцца зарад +q₀, а на абкладцы 2 — зарад −q₀, пры гэтым  Электрычнае поле, створанае зарадамі абкладак кандэнсатара, мае энергію 

Разгледзім працэс разрадкі кандэнсатара ў вагальным контуры. Пасля злучэння зараджанага кандэнсатара са шпуляй (пры дапамозе ключа K) (мал. 52, в) ён пачне разраджацца, паколькі пад дзеяннем электрычнага поля, ствараемага зарадамі на абкладках кандэнсатара, свабодныя электроны будуць перасоўвацца па ланцугу ад адмоўна зараджанай абкладкі да дадатна зараджанай. На малюнку 52, в стрэлкай паказаны пачатковы напрамак току ў электрычным ланцугу.
Такім чынам, у контуры з’явіцца нарастаючы па модулі электрыч­ны ток, сіла I(t) якога будзе змяняцца з цягам часу (мал. 53, а). Але ім­гненная разрадка кандэнсатара немагчымая з прычыны з’явы сама­індукцыі. Сапраўды, у шпулі індуктыўнасці ўзнікне магнітны паток, што змяняецца з цягам часу, які выкліча з’яўленне ЭРС самаіндукцыі. Згодна з правілам Ленца, ЭРС самаіндукцыі імкнецца процідзейнічаць прычыне, якая яе выклікала, г. зн. павелічэнню па модулі сілы току. У выніку гэтага модуль сілы току ў вагальным контуры будзе на працягу некаторага прамежку часу плаўна нарастаць ад нуля да максімальнага значэння I₀ якое вызначаецца індуктыўнасцю шпулі і электраёмістасцю кандэнсатара (мал. 53, б).

Пры разрадцы кандэнсатара энергія яго электрычнага поля пера­твараецца ў энергію магнітнага поля шпулі з токам. Згодна з законам захавання энергіі сумарная энергія ідэальнага вагальнага контуру застаецца пастаяннай з цягам часу. Такім чынам, памяншэнне энергіі электрычнага поля кандэнсатара роўна павелічэнню энергіі магнітнага поля шпулі:

,

дзе q(t) — імгненнае значэнне зараду кандэнсатара і I(t) — сіла току ў шпулі ў некаторы момант часу t пасля пачатку разрадкі кандэнсатара.
У момант поўнай разрадкі кандэнсатара (q = 0) сіла току ў шпу­лі I(t) дасягне свайго максімальнага па модулі значэння I₀ (гл. мал. 53, б).
У адпаведнасці з законам захавання энергіі назапашаная ў кандэнсатары энергія электрычнага поля пяройдзе ў энергію магнітнага поля, назапашаную ў гэты момант у шпулі:

Пасля разрадкі кандэнсатара сіла току ў шпулі пачынае спадаць па модулі. Гэта таксама адбываецца не імгненна, паколькі ЭРС самаіндукцыі, якая ўзнікае зноў, згодна з правілам Ленца стварае індукцыйны ток.
Ён мае такі ж напрамак, як і ток у ланцугу, які памяншаецца па модулі, і таму «падтрымлівае» яго.
У выніку да моманту знікнення току зарад кандэнсатара дасягне максімальнага значэння q₀. Пры гэтым яго абкладка, першапачаткова зараджаная дадатна, будзе зараджана адмоўна. Далей працэс паўторыцца, розніца будзе толькі ў тым, што электрычны ток у контуры будзе праходзіць у процілеглым напрамку (гл. мал. 53, а.)

Такім чынам, у ідэальным LC-контуры будуць адбывацца перыядычныя змяненні значэнняў сілы току і напружання, прычым поўная энергія контуру будзе заставацца пастаяннай. У гэтым выпадку кажуць, што ў контуры ўзніклі свабодныя электрамагнітныя ваганні.

Свабодныя электрамагнітныя ваганні ў LC-контуры — гэта перыядычныя змяненні зараду на абкладках кандэнсатара, сілы току і напружання ў контуры, якія адбываюцца без спажывання энергіі ад знешніх крыніц і без страт энергіі на цеплавылучэнне і выпраменьванне.
Такім чынам, існаванне свабодных электрамагнітных ваганняў у контуры абумоўлена перазарадкай кандэнсатара, выкліканай узнікненнем ЭРС самаіндукцыі ў шпулі. Заўважым, што зарад q(t) кандэнсатара і сіла току I(t) у шпулі дасягаюць сваіх максімальных значэнняў q₀ і I₀ у розныя моманты часу (гл. мал. 53, а, б) (са зрухам на ).
Найменшы прамежак часу, на працягу якога LC-контур вяртаецца ў зыходны стан (да пачатковых значэнняў зараду на кожнай з абкладак), называецца перыядам свабодных (уласных) электрамагнітных ваганняў у контуры.

Атрымаем формулу для перыяду свабодных электрамагнітных ваганняў у контуры, выкарыстаўшы закон захавання энергіі па аналогіі з механічнымі ваганнямі. Паколькі поўная энергія ідэальнага LC-контуру, роўная суме энергій электрычнага поля кандэнсатара і магнітнага поля шпулі, захоўваецца, то ў любы момант часу справядлівая роўнасць:

.

(1)

Працэсы, якія адбываюцца ў вагальным контуры, аналагічныя ваганням спружыннага маятніка. Для поўнай механічнай энергіі спружыннага маятніка ў любы момант часу

.

(2)

дзе k — жорсткасць спружыны, m — маса грузу, x — праекцыя зруху цела ад становішча раўнавагі, vx — праекцыя яго скорасці на вось Ox.

Прааналізуем суадносіны (1) і (2). Бачна, што энергія электрычнага поля кандэнсатара  з’яўляецца аналагам патэнцыяльнай энергіі пругкай дэфармацыі спружыны . Значыць, энергія магнітнага поля шпулі  абумоўленая ўпарадкаваным рухам зарадаў, з’яўляецца аналагам кінетычнай энергіі грузу .
Такім чынам, аналагам каардынаты x(t) спружыннага маятніка пры ваганнях у электрычным контуры з’яўляецца зарад кандэнсатара q(t). Тады, адпаведна, аналагам праекцыі скорасці грузу v_x(t) будзе сіла току I(t) у вагальным контуры, паколькі сіла току характарызуе скорасць змянення зараду кандэнсатара з цягам часу.

Працягваючы праведзеную аналогію, заменім у формуле для перыяду ваганняў спружыннага маятніка  жорсткасць k на  і масу m на індуктыўнасць L. Тады для перыяду свабодных ваганняў у LC-контуры атрымаем формулу:

.

(3)

якая называецца формулай Томсана. Зыходзячы са сказанага, звядзём разгле­джа­ныя аналогіі паміж фізічнымі велічынямі пры электрамагнітных і механічных ваганнях у таб­ліцу 6.

Для назірання і даследавання электрамагніт­ных ваганняў выкарыстоўваюць электронны асцылограф, на экране якога назіраюць асцылаграму ваганняў U(t) (мал. 54).­

Табліца 6. Супастаўленне фізічных велічынь, якія характарызуюць механічныя і электрамагнітныя ваганні
Механічныя ваганні спружыннага маятніка	Электрамагнітныя ваганні ў ідэальным вагальным контуры
m (маса цела)	L (індуктыўнасць шпулі)
k (жорсткасць спружыны)	(велічыня, адваротная ёмістасці)
x(t) (каардыната цела)	q(t) (зарад кандэнсатара)
vx(t) (праекцыя хуткасцi цела)	I(t) (сiла тока)
(патэнцыяльная энергія пругкай дэфармацыі спружыны)	(энергія электрычнага поля кандэнсатара)
(кінетычная энергія)	(энергія магнітнага поля шпулі)
(перыяд ваганняў)	(перыяд ваганняў)
(цыклічная частата ваганняў)	(цыклічная частата ваганняў)

Залежнасць зараду кандэнсатара ад часу мае такі ж выгляд, як і залежнасць каардынаты цела, якое выконвае гарманічныя ваганні, ад часу:

.

Залежнасць сілы току ад часу ў ланцугу вагальнага контуру мае такі ж выгляд, як і праекцыі скорасці цела, якое выконвае гарманічныя ваганні, ад часу:

где, .

Залежнасць напружання на кандэнсатары ў вагальным контуры ў адпаведнасці з азначэннем электраёмістасці:

Таксама па гарманічным законе змяняюцца сіла току (але з іншай пачатковай фазай) у ланцугу і напружанне на кандэнсатары.

Для вызначэння пачатковай фазы φ₀ і максімальнага зараду q₀ неабходна ведаць зарад кандэнсатара і сілу току ў шпулі ў пачатковы момант часу (t = 0).

Адзначым, што вагальны контур, у якім адбываецца толькі абмен энергіяй паміж кандэнсатарам і шпуляй, называецца закрытым.
Поўная энергія ідэальнага вагальнага контуру (R = 0) з цягам часу захоўваецца, паколькі ў ім пры праходжанні току цеплата не вылучаецца. Рэальны вагальны контур заўсёды мае некаторае электрычнае супраціўленне R, якое абумоўлена супраціўленнем шпулі і злучальных правадоў. Гэта прыводзіць да таго, што электрамагнітныя ваганні ў рэальным контуры з цягам часу затухаюць, тады як у ідэальным контуры яны будуць адбывацца як заўгодна доўга.

Такім чынам, механічным аналагам ідэальнага вагальнага контуру з’яўляецца спружынны маятнік без уліку трэння, а механічным аналагам рэальнага вагальнага контуру — спружынны маятнік з улікам трэння.

Вагальны LC-контур шырока выкарыстоўваецца ў сучасных мікрасхемах для сродкаў электронікі і электратэхнічнага абсталявання.

Пытаннi да параграфу

1. З якіх элементаў складаецца ідэальны вагальны контур?
2. Якія электрамагнітныя ваганні ў контуры называюцца свабоднымі?
3. Ад якіх фізічных велічынь залежыць перыяд свабодных ваганняў у ідэальным вагальным контуры?
4. Па якім законе змяняюцца залежнасці зараду кандэнсатара і сілы току ў шпулі ідэальнага вагальнага контуру з цягам часу?
5. Чаму ў контуры, які складаецца з кандэнсатара і рэзістара, не могуць узнікнуць электрамагнітныя ваганні?
6. У вагальным контуры змянілі пачатковае значэнне зараду кандэнсатара. Якія велічыні, што характарызуюць электрамагнітныя ваганні ў контуры, зменяцца, а якія застануцца ранейшымі?
7. Як размеркавана назапашаная ў ідэальным вагальным контуры энергія паміж электрычным полем кандэнсатара і магнітным полем шпулі ў ідэальным вагальным контуры ў моманты часу  пасля пачатку разрадкі кандэнсатара?
8. Ці залежыць перыяд свабодных электрамагнітных ваганняў у ідэальным вагальным контуры ад назапашанай у ім энергіі?
9. Чым адрозніваюцца працэсы электрамагнітных ваганняў ў рэальным і ідэальным вагальных контурах?

 

Прыклады рашэння задач

1. Ідэальны вагальны контур складаецца з кандэнсатара ёмістасцю C = 400 пФ і шпулі індуктыўнасцю L = 10 мГн. Вызначыце максімальнае значэнне сілы току I₀ у контуры, калі максімальнае значэнне напружання на кандэнсатары U₀ = 500 B. 

Дадзена:

, 

.

I₀  - ?

Рашенне: 

Максімальная энергія электрычнага по­ля кандэнсатара:

,

а максімальная энергія магнітнага поля шпулі:

,

Паколькі контур ідэальны (R = 0), то яго поўная энергія захоўваецца з цягам часу. Па законе захавання энергіі: W_C = W_L, г. зн.

.

Адсюль:

Адказ: I₀ = 0,10 A.

2. Пры змяненні ёмістасці кандэнсатара ідэальнага LC-контуру на ΔC = 50 мФ частата свабодных электрамагнітных ваганняў у ім павялічылася з ν1 = 100 кГц да ν2 = 120 кГц.. Вызначыце індуктыўнасць шпулі L контуру.

Дадзена:

ΔC = 
ν₁ =  
ν_{2 =} 

L - ?

Рашэнне:

Частата ваганняў у контуры

.

Паколькi  

З умовы задачы атрымліваем сістэму ўраўненняў:                     

Адкуль:

Адняўшы ад першага ўраўнення другое, атрымаем:

Адкуль знойдзем:

Адказ:  L = 0,15 Гн.

Практыкаванне 7

1. Вызначыце перыяд T свабодных электрамагнітных ваганняў у ідэальным вагальным контуры, які складаецца з кандэнсатара ёмістасцю C = 15 мкФ і шпулі індуктыўнасцю L = 2,5 мГн.

2. Вызначыце перыяд ваганняў вагальнага контуру, паказанага на малюнку 55.

3. Кандэнсатар ёмістасцю C = 1,2 мкФ злучаны са шпуляй індуктыўнасцю L = 16 мкГн. Вызначыце частату ν свабодных электрамагнітных ваганняў у контуры.

4. Як зменіцца перыяд свабодных электрамагнітных ваганняў у кон­туры, калі індуктыўнасць L шпулі контуру павялічыць (паменшыць) у n = 16 разоў пры нязменнай ёмістасці кандэнсатара?

5. Вызначыце напружанне U на кан­дэнсатары ёмістасцю C у момант часу: а)  б)  калі ў пачатковы момант часу t₀ = 0 напружанне на кандэнсатары роўна U₀ = 48 B, а сіла току ў шпулі I₀ = 0, Т — перыяд ваганняў у контуры.

6. Уваходны контур радыёпрыёмніка змяшчае шпулю індуктыўнасцю L = 0,32 мГн. У якіх межах павінна змяняцца ёмістасць C кандэнсатара контуру, каб радыёпрыёмнік мог прымаць сігналы радыёстанцыі, што працуе ў дыяпазоне частот ад ν₁=8,0 МГц да ν₂=24,0 МГц?

7. Ёсць два вагальныя контуры. Адзін змяшчае кандэнсатар ёмістасцю C₁ = 240 мФ і катушку індуктыўнасцю L₁ = 10,0 мГн, другі — C₂ = 260 мФ і L₂ = 6,00 мГн. Ці настроены гэтыя контуры ў рэзананс? У колькі разоў k неабходна змяніць ёмістасць C₂ ці індуктыўнасць L₂, каб настроіць гэтыя контуры ў рэзананс?

8. У ідэальным вагальным контуры, які змяшчае кандэнсатар ёмістасцю С=52 мкФ, напружанне на кандэнсатары змяняецца па законе . Вызначыце перыяд Т электрамагнітных ваганняў, закон змянення сілы току I(t) , максімальную энергію электрычнага W_Cmax  і магнітнага W_Lmax поля.

9. Ідэальны вагальны контур змяшчае шпулю індуктыўнасцю L=2,0 мГн  і плоскі кандэнсатар, плошча кожнай абкладкі якога S=1,2·103 см2, а адлегласць паміж імі d=1,0 мм. Вызначыце дыэлектрычную пранікальнасць ε асяроддзя, якое запаўняе прастору паміж абкладкамі, калі максімальнае значэнне сілы току ў контуры I₀=12 мА, а максімальнае значэнне напружання U₀=10 В.

10. У колькі разоў k паменшыцца энергія зараджанага кандэнсатара ў ідэальным вагальным контуры пасля падключэння кандэнсатара да шпулі індуктыўнасці праз прамежак часу  ( T— перыяд свабодных ваганняў)?

11. Перыяд ваганняў у ідэальным вагальным контуры роўны T=4,0 мс . Вызначыце мінімальны прамежак часу τ_min, праз які энергія электрамагнітных ваганняў у контуры размяркуецца ў адносіне 1 : 4 паміж кандэнсатарам і шпуляй.

12. У вагальным контуры індуктыўнасць шпулі L=0,20 Гн, а максімальнае значэнне сілы току I₀=40 мА. Знайдзіце энергію электрычнага поля W_C кандэнсатара і магнітнага поля W_L  шпулі ў той момант, калі імгненнае значэнне сілы току ў два разы меншае за яго максімальнае значэнне.

13. У вагальным контуры з кандэнсатарам ёмістасцю C=4,0 мкФ рэзананс наступае пры частаце ν1=400 Гц. Вызначыце ёмістасць С₂  другога кандэнсатара, падключанага паралельна да зыходнага, калі рэзанансная частата становіцца роўнай ν₂=100 Гц

14. Кaлі ў LC-контуры да кандэнсатара ёмістасцю С паралельна далучыць кандэнсатар ёмістасцю C1=4C, то частата ваганняў у контуры паменшыцца на Δν=400 Гц. Вызначыце пачатковую частату ν₀ ваганняў у контуры.

15. Ідэальны вагальны контур змяшчае шпулю індуктыўнасці і два кандэнсатары аднолькавай ёмістасці. Пры паралельным злучэнні кандэнсатараў перыяд ваганняў у контуры роўны Т = 16,0 мкс. Вызначыце перыяд T₁ ваганняў  у контуры, калі гэтыя кандэнсатары злучыць паслядоўна.