§ 4. Свабодныя і вымушаныя ваганні. Рэзананс

Ваганні грузу, падвешанага на нітцы, з цягам часу затухаюць, паколькі ў сістэме дзейнічаюць сілы трэння і супраціўлення паветра. Пры якіх умовах механічныя ваганні не затухаюць? Ці можна дабіцца павелічэння амплітуды ваганняў, выкарыстаўшы знешняе ўздзеянне?

Сілы ўзаемадзеяння цел сістэмы называюць унутранымі. Целы, якія не ўваходзяць у сістэму, называюцца знешнімі целамі. Сілы, якія дзейнічаюць на целы сіс­тэмы з боку знешніх цел, называюць знешнімі.

Ваганні, што адбываюцца з пастаяннай у часе амплітудай, называюцца незатухаючымі ваганнямі (мал. 23, а). Незатухаючыя ваганні, якія выконвае сістэма каля становішча ўстойлівай раўнавагі пад дзеяннем унутраных сіл пасля таго, як яна была выведзена са стану раўнавагі і пакінута сам-насам, называюцца свабоднымі (уласнымі) ваганнямі. Свабодныя ваганні (пры адсутнасці трэння) адбываюцца са строга вызначанай частатой  якая называецца частатой свабодных (уласных) ваганняў сістэмы. Гэта частата залежыць толькі ад параметраў сістэмы. Прыкладамі такіх ваганняў могуць служыць ваганні матэматычнага і спружыннага маятнікаў, якія адбываюцца пры адсутнасці сіл трэння.

Амплітуда свабодных ваганняў вызначаецца пачатковымі ўмовамі, г. зн. тым пачатковым адхіленнем або штуршком, які прыводзіць у рух маятнік ці груз на спружыне. Свабодныя ваганні з’яўляюцца самым простым відам ваганняў.
У любой рэальнай вагальнай сістэме заўсёды прысутнічаюць сілы трэння (супраціўлення), таму механічная энергія сістэмы з цягам часу памяншаецца, пераходзячы ва ўнутраную энергію. Страты механічнай энергіі прыводзяць да памяншэння амплітуды ваганняў.
Ваганні, амплітуда якіх памяншаецца з цягам часу з-за страт энергіі вагальнай сістэмай, называюцца затухаючымі ваганнямі (мал. 23, б).

Пры малых стратах энергіі ваганні можна лічыць перыядычнымі і карыстацца такімі паняццямі, як перыяд і частата ваганняў, лічачы перыядам прамежак часу паміж двума паслядоўнымі максімумамі зруху х(t) (мал. 24, а).

Ваганні ў любой рэальнай сістэме рана ці позна затухаюць. Каб ваганні не затухалі, неабходна ўздзеянне знешняй сілы. Аднак не ўсякая знешняя сіла прымушае сістэму рухацца перыядычна. Напрыклад, немагчыма разгайдаць арэлі, калі ўздзейнічаць на іх пастаяннай сілай.

Правядзём наступны эксперымент. Злучым матэматычны маятнік з метраномам тонкім лёгкім стрыжнем (мал. 25, а). Змяняючы частату ваганняў метранома (мал. 25, б), дасягнём павелічэння амплітуды ваганняў матэматычнага маятніка. Дослед паказвае, што яго амплітуда будзе максімальнай пры супадзенні ўласнай частаты ваганняў маятніка і метранома.

Ваганні цел пад дзеяннем знешняй перыядычнай сілы называюцца вымушанымі, а сіла — вымушаючай. У выпадку дзеяння гарманічнай вымушаючай сілы, напрыклад  або , спачатку назіраецца даволі складаны рух цела. Праз некаторы час пасля пачатку дзеяння вымушаючай сілы ваганні пры наяўнасці трэння набываюць стацыянарны характар і не залежаць ад пачатковых умоў. Частата атрыманых вымушаных ваганняў заўсёды роўна частаце вымушаючай сілы.
Амплітуда і энергія вымушаных ваганняў залежаць ад таго, наколькі адрозніваюцца частата вымушаючай сілы  і частата ўласных ваганняў , а таксама ад велічыні трэння (супраціўлення) у сістэме.

Пры вымушаных ваганнях магчыма з’ява, якую называюць рэзанансам (ад лац. resono — адгукацца, адклікацца).

Рэзананс — гэта з’ява рэзкага нарастання амплітуды вымушаных ваганняў пры набліжэнні частаты знешняй сілы, што дзейнічае на вагальную сістэму, да частаты  уласных ваганняў сістэмы  (мал. 26).
Падвесім на пругкай нітцы (АВ) чатыры матэматычныя маятнікі з аднолькавымі грузамі, тры з якіх маюць розныя даўжыні, а даўжыня чацвёртага роўна даўжыні другога (мал. 27). Спачатку паглядзім, што будзе з маятнікамі, калі разгайдаць першы ці трэці маятнік.

Назіранні паказваюць, што праз некаторы час пачнуць гайдацца і астатнія маятнікі. Але амплітуда іх ва­ганняў будзе малая. А вось калі раз­гайдаць другі маятнік, то амп­літуда ваганняў чацвёртага будзе нарастаць і дасягне до­сыць вялі­кага значэння.

Гэта адбываецца таму, што час­тата знешняй сілы, якая дзей­­нічае на чацвёрты маятнік, супадае з частатой яго ўласных ва­ганняў (паколькі даўжыні дру­­гога і чацвёртага маятнікаў роўныя). Мы назіралі з’яву рэзанансу.
Падкрэслім, што пры рэзанансе ствараюцца аптымальныя ўмовы для перадачы энергіі ад знешняй крыніцы ваганняў да вагальнай сістэмы.

Так пры ўзбуджэнні камертона А (мал. 28) такі ж камертон В праз некаторы час таксама пачынае актыўна гучаць. Пры гэтым зыходнай знешняй сілай з’яўляецца ўдар малатком па першым камертоне, а знешняй сілай, якая дзейнічае на другі камертон, — сіла ціску паветра пры ваганнях.

Успомнім таксама працэс разгойдвання на арэлях. Калі іх разгойдваць з вельмі малой ці вельмі вялікай частатой, то эфект будзе вельмі малы. Разгойдванне будзе найбольш эфектыўным, калі падабраць частату штуршкоў, роўную частаце ўласных ваганняў арэляў.

Большасць будынкаў і механізмаў здольна выконваць свабодныя ваганні. Пры знешніх перыядычных уздзеяннях з частатой, блізкай да рэзананснай, у іх могуць узбуджацца ваганні вялікай амплітуды, што можа прывесці да разбуральных наступстваў. У сувязі з гэтым, напрыклад, пры праходжанні па мастах вайсковых частак салдатам даюць каманду ісці вольным крокам (не ў нагу). Па той жа прычыне цягнікі рухаюцца па мастах або вельмі павольна, або на максімальнай скорасці.

У 1850 г. ланцуговы мост праз раку Мэн паблізу ад г. Анжэр (Францыя) разбурыўся падчас праходжання па ім атрада салдат, паколькі частата іх кроку супала з частатой свабодных ваганняў моста. 7 лістапада 1940 г. моцны парывісты вецер выклікаў рэзанансныя ваганні вісячага Такомскага моста (ЗША), што прывяло да яго разбурэння (мал. 29). Заўважым, што сучасныя вісячыя масты — гэта ўстойлівыя канструкцыі, якія вытрымліваюць моцныя парывістыя вятры і іншыя нагрузкі дзякуючы новым інжынерным рашэнням.

Пытаннi да параграфу

1. Якія ваганні называюцца незатухаючымі?
2. Якія ваганні называюцца свабоднымі (уласнымі)?
3. Чаму ваганні рэальнага маятніка затухаюць з цягам часу?
4. Ад чаго залежыць частата ўласных ваганняў?
5. Якія ваганні называюцца вымушанымі? Ад чаго залежыць частата вымушаных ваганняў?
6. Чаму для ўзнікнення ваганняў у сістэме знешняя сіла павінна быць непастаяннай?
7. Што такое рэзананс? Прывядзіце прыклады карыснага і шкоднага ўплыву рэзанансу.
8. Вада ў вядры, што нясе хлопчык, пачала моцна расплёсквацца. Чаму расплёскванне можа спыніцца пры змяненні тэмпу хады
9. Наліце поўнае вядро вады і паспрабуйце яго несці. Растлумачце, чаму ўжо праз некалькі крокаў вада пачне расплёсквацца. А калі вы пакладзяце на ваду кружок з пенапласту і зноў панесяце вядро з вадой, то ці будзе расплёсквацца вада і чаму?

 

Прыклад рашэння задачы

Вызначыце модуль скорасці v руху цягніка, пры якой матэматычны маятнік, падвешаны ў вагоне, вельмі моцна разгойдваецца. Даўжыня маятніка l = 11 см, адлегласць паміж стыкамі рэек L = 12,5 м.

Рашэнне

Маятнік пачынае моцна разгойдвацца, калі частата яго ўласных ваганняў супадае з частатой вымушаючай сілы. Частата вымушаючай сілы супадае з частатой удараў колаў вагона аб стыкі рэек.

Прамежак часу паміж двума паслядоўнымі ўдарамі (перыяд):

.

Частата вымушаючай сілы:

.

(1)

Частата ўласных ваганняў матэматычнага маятніка:

.

(2)

З формул (1) і (2) атрымаем:

.

Адкуль:

	.

Адказ:  .

Практыкаванне 4

1. Намалюйце графік затухаючых ваганняў грузу на спружыне, калі амплітуда кожнага наступнага вагання памяншаецца ў n = 1,5 раза. Пачатковая амплітуда А = 30 мм, працягласць аднаго вагання Т = 0,50 с. 

2. Для чаго ўсе прылады, што вібрыруюць (электрарухавікі, дызельныя ўстаноўкі і г. д.), у вышынных будынках ставяць на спецыяльныя гумавыя або металічныя амартызатары?

3. Пры руху цягніка вагоны адчуваюць перыядычныя ўдары на стыках рэек. Вызначыце скорасць v цягніка, пры якой пасажыры будуць адчуваць найбольш моцнае вертыкальнае разгойдванне вагона, калі даўжыня рэйкі L = 12,5 м, а перыяд уласных вертыкальных ваганняў вагона Т = 1,5 с.

4. Якой павінна быць даўжыня l матэматычнага маятніка, падвешанага ў вагоне, каб ён разгойдваўся найбольш моцна пры руху вагона са скорасцю, модуль якой 

? Адлегласць паміж стыкамі рэек L = 12,5 м.

5. Цераз ручай перакінута доўгая вузкая дошка. Калі дзяўчынка стаіць на ёй нерухома, дошка прагінаецца на . Вызначыце даўжыню l крокаў дзяўчынкі, пры якіх дошка пачне разгойдвацца так, што дзяўчынка з цяжкасцю будзе ўтрымліваць раўнавагу пры руху яе са скорасцю, модуль якой .