§ 1-1. Ураўненне гарманічных ваганняў

Пры руху матэрыяльнага пункта (МП) па акружнасці радыусам R з пастаянняй вуглавой скорасцю  вугал павароту φ радыус-вектара МП змяняецца з цягам часу па законе . Цэнтраімклівае паскарэнне МП накіравана да цэнтра акружнасці і яго модуль роўны

Вынікі эксперыментаў паказваюць, што для ўзнікнення і існавання механічных ваганняў неабходна выкананне пэўных умоў. Перш за ўсё, пры вывядзенні (напрыклад, пры малым зрушэнні) цела са становішча раўнавагі ў сістэме павінна ўзнікаць выніковая сіла, якая імкнецца вярнуць цела ў становішча раўнавагі. Акрамя таго, у сістэме павінна быць дастаткова малое трэнне, паколькі ў адваротным выпадку ваганні хутка затухнуць з прычыны страты энергіі або нават могуць не ўзнікнуць увогуле.

Разгледзім вывучаны вамі ў 9-м класе выпадак перыядычнага руху — раўнамернае вярчэнне цела па акружнасці. Будзем лічыць цела матэрыяльным пунктам (МП), яно верціцца ў плоскасці ху па акружнасці радыусам R з лінейнай скорасцю  (гл. мал. 12-1, а). Няхай разглядаемы рух адбываецца супраць ходу гадзіннікавай стрэлкі. Выберам восі О_х и О_у, як паказана на малюнку 12-1, а.

Калі ў пачатковы момант часу t₀ = 0 матэрыяльны пункт знаходзіўся ў становішчы М₁, то праз прамежак часу  ён апынецца ў некаторым становішчы М. Спраецыруем на вось О_х радыус-вектар  пункта, які рухаецца, яго лінейную скорасць  и цэнтраімклівае паскарэнне  .

Праекцыя радыус-вектара  на вось О_х з’яўляецца яго каардынатай х (пункт В). Яна вызначае зрушэнне матэрыяльнага пункта ад цэнтра акружнасци О ўздоўж восі О_х (мал. 12-1, а).

Паколькі пры раўнамерным вярчэнні пункта М па акружнасці яго каардыната (зрушэнне) х будзе перыядычна змяняцца ад  да , то можна сказаць, што пункт В выконвае вагальны рух уздоўж восі О_х, а яго каардыната х з’яўляецца каардынатай вагальнага пункта.

Адпаведна, праекцыя лінейнай скорасці  матэрыяльнага пункта М на вось О_х з’яўляецца праекцыяй скорасці  пункта В і перыядычна змяняецца ад  да  (гл. мал. 12-1, б). Праекцыя цэнтраімклівага паскарэння МП  на вось О_х (гл. мал. 12-1, в) з’яўляецца праекцыяй паскарэння  пункта В, якое таксама перыядычна змяняецца ад  да .  

Радыус-вектар  за прамежак часу  павярнуўся на вугал (гл. мал. 12-1, а). Пры раўнамерным вярчэнні пункта па акружнасці яго лінейная скорасць  накіравана па датычнай (гл. мал. 12-1, б), а цэнтраімклівае паскарэнне  — да цэнтра акружнасці (гл. мал. 12-1, в). Такім чынам:

,  , .

З улікам таго, што модуль лінейнай скорасці v₀=ωR  і модуль цэнтраімклівага паскарэння   и  , выконваюцца суадносіны:

, .

дзе  T — перыяд вярчэння цела па акружнасці.

Калі ў момант часу t = t₀ = 0 матэрыяльны пункт знаходзіўся ў пункце М₁, то каардынату v_x, праекцыі скорасці  і паскарэння а_х пункта В у любы момант часу можна вызначыць па формулах:

Поскольку функции  периодические, то через промежуток времени равный периоду T , по истечении которого угол  изменится на , все характеристики движения точки B вдоль оси  (координата, проекции скорости и ускорения) примут прежние значения (см. таблицу 1-1, рис. 12-1), т. е. значения характеристик периодически повторяются.

Точка B в течение этого промежутка времени дважды проходит через начало координат, двигаясь в противоположных направлениях вдоль оси  (рис. 12-2). Как отмечалось выше, повторяемость — основной признак периодического движения

Табліца 1-1. Каардыната х, праекцыі скорасці  і паскарэння ах МП, які рухаецца па акружнасці, у розныя моманты часу
t	x	vx	ax
0	R	O	- a0
	0	- vo	0
	- R	0	a0
	0	v0	0
T	R	0	- a0

Звернем увагу на тое, што праекцыя паскарэння    пункта В (гл. мал. 12-1 а, в) у любы момант часу прапарцыянальна зрушэнню (каардынаце)

   і процілегла яму па знаку:

.

Перапішам дадзеную суадносіну ў выглядзе:

.

(1)

Такім чынам, ваганні, што апісваюцца ўраўненнем (1), з’яўляюцца гарманічнымі, паколькі іх рашэннямі з’яўляюцца функцыі синуса або косінуса. Ураўненне (1) называецца ўраўненнем гарманічных ваганняў. Сістэма, якая выконвае такія ваганні, — гарманічнай вагальнай сістэмай або гарманічным асцылятарам (ад лац. оscillo — вагаюся).

Ураўненню гарманічных ваганняў адпавядаюць залежнасці (5) або (6) (гл. § 1), якія называюцца кінематычным законам руху пры гарманічных ваганнях.

Пры разгляданні ваганняў важнае значэнне мае велічыня, якая стаіць пад знакам сінуса або косінуса ў (2) і (3) і называецца фазай ваганняў. Такім чынам, фаза (ад грэч.  (фазіс) — з’яўленне, момант з’яўлення)  — аргумент перыядычнай функцыі, які вызначае значэнне фізічнай велічыні ў любы момант часу t. Яна вызначае стан вагальнай сістэмы (каардынаты, скорасці, паскарэнні) у любы момант часу пры зададзенай частаце і амплітудзе. Адзінкай фазы з’яўляецца радыян (1 рад);

 — пачатковая фаза, якая вызначае стан вагальнай сістэмы ў пачатковы момант часу (t₀ = 0).

Амплітуда ваганняў А і пачатковая фаза  вызначаюцца не ўласцівасцямі самой сістэмы, а тым спосабам, якім у сістэме выкліканы ваганні. Так, ваганні можна выклікаць адхіленнем ад стану раўнавагі, а можна — штуршком са стану раўнавагі.

Заўважым, што гэтаксама як мы разглядалі змяненне каардынаты х цела М, якое верціцца, можна разглядаць і змяненне яго каардынаты у (пункт С) (гл. мал. 12-1, а). Значыць, пункт С будзе выконваць гарманічныя ваганні ўздоўж восі О_у.

Такім чынам, раўнамернае вярчэнне цела па акружнасці можна разглядаць як накладанне двух аднолькавых па амплітудзе гарманічных ваганняў, якія адбываюцца адначасова ў двух узаемна перпендыкулярных напрамках.

Пытанні да параграфу

1. У якія моманты часу ператвараецца ў нуль паскарэнне гарманічнага асцылятара?
2. Што называецца фазай гарманічнага вагання? Пачатковай фазай гарманічнага вагання?
3. Ці могуць у якісьці момант часу супасці напрамкі зрушэння і скорасці гарманічнага асцылятара?
4. Ці можна падвоіць, патроіць максімальную скорасць гарманічнага асцылятара?

Прыклад рашэння задачы

За якую частку перыяду цела, якое выконвае гарманічныя ваганні, прахоздіць адлегласць: а) ад становішча раўнавагі да максімальнага зрушэння; б) першую палову гэтай адлегласці; в) другую палову гэтай адлегласці?

Рашэнне

Каардыната х цела, якое выконвае гарманічныя ваганні, вызначаецца суадносінай:

.

Тут A — амплітуда ваганняў,  t — час, які адлічваецца з моманту праходжання становішча раўнавагі, T — перыяд ваганняў,  — пачатковая фаза.

Няхай цела знаходзіцца ў становішчы раўнавагі ў пачатковы момант часу , тады  і .

а) Прамежак часу , неабходны целу для праходжання адлегласці з сярэдняга становішча ў крайняе , вызначаецца з ураўнення:

Найменшае значэнне , пры якім выконваецца гэта роўнасць, атрымліваецца пры :

Адкуль шуканы прамежак часу:

б) Прамежак часу , неабходны для праходжання першай паловы гэтай адлегласці , вызначаецца з ураўнення:

Адкуль:

в) Прамежак часу , неабходны для праходжання другой паловы гэтай адлегласці, вызначаецца з суцадносіны:

Адказ:  а)  , б) , в) . Такім чынам, для праходжання першай паловы адлегласці цела затрачвае ў 2 разы менш часу, чым для праходжання другой паловы.

Практыкаванне 1-1

1. Вызначыце частату  пульсу па асцылаграме, паказанай на малюнку 12-3.

2. Вызначыце найбольшыя значэнні модуляў скорасці  і паскарэння  вагальнага матэрыяльнага пункта, калі амплітуда яго ваганняў А = 5,0 см, а перыяд ваганняў — Т = 3,0 с.

3. Матэрыяльны пункт выконвае ваганні па законе . За перыяд ваганняў Т пункт праходзіць шлях s = 40 см. Вызначыце каардынату  матэрыяльнага пункта ў момант часу , калі фаза ваганняў .

4. Амплітуда ваганняў матэрыяльнага пункта А = 1,0 см, частата Гц. Запішыце кінематычны закон руху  і пабудуйце графік залежнасці каардынаты пункта ад часу . Вызначыце фазу  і каардынату  пункта ў момант часу , калі пачатковая фаза .

5. Запішыце кінематычны закон руху  матэрыяльнага пункта, калі за прамежак часу  ён выконвае  ваганняў з амплітудай . У момант часу  пункт рухаўся ў напрамку восі Ох і яго каардыната х(0) = 5,0 см.