§ 31-1. Квантово-механическая модель атома

Теория Бора предложила физикам пользоваться по
понедельникам, средам и пятницам классическими законами,
а по вторникам, четвергам и субботам — квантовыми.

Вильям Брэгг-старший 

Модель атома Бора не смогла дать исчерпывающие ответы на вопросы об устойчивости атома, о дискретности спектра его излучения. Только с развитием квантовой механики с использованием нового математического аппарата удалось построить завершенную модель строения атома, позволяющую понять законы микромира.

Атомная орбиталь — область околоядерного пространства, в котором наиболее вероятно нахождение данного электрона (рис. 198-1). Орбитали, в зависимости от энергии электронов, имеют различные формы и размеры. Каждый электрон характеризуется собственным механическим моментом движения, который называется спином (от англ. spin — вращать), проекция которого принимает два значения. На одной орбитали может находиться не более двух электронов, имеющих противоположные (антипараллельные) спины.

В классической механике движение частицы описывается заданием ее координат и импульса (скорости) в каждой точке траектории. Чтобы рассчитать параметры движения любой сложной системы, достаточно задать координаты и импульсы (скорости) всех частиц, входящих в систему, в начальный момент времени и условия, при которых происходит движение (действующие силы, поля). После этого, используя уравнения движения (второй закон Ньютона), можно найти координаты и импульсы (скорости) в любой момент времени, т.е. определить, где будет находиться частица в тот или иной момент времени.

При переходе в область микромира оказывается, что такой способ не применим. Для описания явлений микромира была разработана квантовая механика. Квантовая механика — раздел физики, в котором изучаются свойства и поведение микрочастиц, а также связь величин, характеризующих частицы, с физическими величинами, непосредственно измеряемыми в экспериментах.

Результаты экспериментов показывают, что микрообъекты обладают одновременно корпускулярными и волновыми свойствами. Так, например, электрон является частицей, имеющей определенную массу и заряд, но при его движении вокруг ядра необходимо учитывать его волновые свойства, так как у него отсутствует определенная траектория движения и точное расположение в пространстве. Для объяснения двойственного поведения микрообъектов требовался кардинальный пересмотр установившихся представлений.

В квантовой механике движение частицы описывается волновой функцией  — функцией координат и времени. Зная волновую функцию частицы, используя измерительные приборы, можно получить сведения о поведении этой частицы и  о результатах любого ее взаимодействия. При этом волновая функция характеризует вероятность любого результата измерения. Квадрат ее модуля  определяет вероятность пребывания частицы в окрестности точки с координатами (x,y,z) в момент времени t. В квантовой механике, даже если задать все начальные условия в какой-то момент времени и полностью решить систему уравнений для волновых функций, можно установить только вероятность тех или иных процессов. Например, вероятность обнаружить электрон в данном месте может оказаться в 10 раз больше вероятности его нахождения в другом месте. Однако предсказать его положение со стопроцентной достоверностью, как это было в классической механике, уже нельзя.

Электроны в атоме приближенно рассматриваются как «размазанные» в пространстве и образующие вокруг ядра электронное облако (см. рис. 198-1). Электронное облако, которое соответствует основному состоянию, концентрируется в области, находящейся достаточно близко к ядру. Для возбужденных состояний оно распределяется на все большие расстояния от ядра. Слабее всего связаны с ядром электроны самой внешней оболочки, которые определяют размеры атома в целом.

В зависимости от того, что и как измеряется в определенном состоянии частицы, на первый план выступают то ее корпускулярные свойства, то ее волновые свойства. Применение волновой функции позволяет описать как корпускулярные, так и волновые свойства микрочастиц.

Важнейшим физическим положением квантовой механики является знаменитый принцип неопределенности Гейзенберга, согласно которому:

ни при каком увеличении точности измерений невозможно добиться того, чтобы произведение неопределенностей измерения координаты и импульса частицы стало меньше постоянной Планка.

Таким образом, в квантовой механике для системы, находящейся в некотором известном состоянии, можно предсказать результаты измерений либо ее положения, либо ее импульса по отдельности. Вероятностная интерпретация предсказывает, что измерения одинаковым детектором для одинаковых частиц в одинаковых состояниях одной и той же величины будут давать разные результаты. В частности, вероятность координаты определяется как .

Один из важнейших выводов квантовой механики состоит в том, что существует самый низкий уровень энергии, которому соответствует основное состояние системы. В этом состоянии система обладает минимальной кинетической энергией, причем  ≠ 0.

Ядерная модель атома не означает, что существуют орбиты электронов и что электрон необходимо уподобить твердому шарику, движущемуся вокруг ядра. Отказ от такого механического представления об электроне и его движении позволил Гейзенбергу и Шредингеру построить квантовую теорию атома, в которой постулаты Бора оказываются следствиями более общих принципов.

В квантовой механике для задания каждого состояния электрона в атоме необходимы четыре различных квантовых числа n, l, m_l, m_s . В таблице 9-1 представлены допустимые значения всех четырех квантовых чисел электрона.

Рассмотрим основы квантово-механического описания наиболее простого атома — атома водорода. Квантовое число n из модели атома Бора сохраняется под названием главного квантового числа. Оно принимает целочисленные значения от 1 до . От него зависят полная энергия состояния атома водорода:

, .

Число l называется орбитальным квантовым числом, которое (при заданном n) принимает целочисленные значения: 

.

Число m_l называется магнитным квантовым числом и принимает (при заданном l) целочисленные значения от -l до +l :

.

Для описания состояний электрона в атоме вводится еще одно квантовое число — спиновое , которое принимает два значения:

.

Это связано с тем, что при заданных n, l, m_l электрон может находиться в двух различных состояниях, характеризуемых проекцией спина.

Австрийский физик-теоретик Вольфганг Паули предложил простое правило (принцип запрета Паули) — в одном и том же квантовом состоянии может находиться не более одного электрона.

Согласно этому принципу два электрона не могут иметь одинакового набора квантовых чисел, и на его основе объясняется наличие групп из 2, 8, 18 и 32 элементов периодической таблицы Менделеева.

Эти группы элементов являются следствием принципа запрета Паули, а также квантово-механического правила, согласно которому значение квантового числа l не превосходит
n-1(0 ≤ l ≤ n-1), а квантовое число m  пробегает ряд целочисленных значений от -l до  +l (- l ≤ m ≤ + l).

Атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в различных состояниях (рис. 198-2).

Энергия атома водорода зависит только от главного квантового числа n, но уровню энергии с заданным n соответствуют несколько состояний, отличающихся значениями  l, m_l, m_s. Состояния с заданными значениями n, l принято обозначать как 1_s, 2_s, 2_p, 3_s, ... , где цифры указывают значения n, а буквы s,p,d,f, ... — соответствующие значения l = 0,1,2,3, ... . Уровень, которому соответствует лишь одно квантовое состояние, называется невырожденным.

Полное число всех возможных состояний электрона с различными l и m при фиксированном значении главного квантового числа n получится равным n². С учетом двух возможных значений спина общее число электронов в оболочке оказывается равным 2n². Это и есть максимальное число электронов в оболочке с номером n.

Спектр излучения (поглощения) атома водорода можно полностью описать как результат переходов атома из одних состояний, описываемого квантовыми числами n, l, m_l, m_s, в другие, описываемые иным набором. Однако, как доказано теоретически и подтверждено экспериментально, разрешены не все переходы, а только удовлетворяющие правилам отбора.

Правила отбора касаются изменений орбитального l и магнитного m_s квантовых чисел при переходах с излучением (т.е. испусканием или поглощением). Их изменение  удовлетворяет условиям:

,

В то же время правила отбора не накладывают никаких ограничений на изменения главного квантового числа n .

Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число, называют электронной оболочкой или слоем.

Основные законы квантовой механики были открыты в 1900—1928 гг. В это же время произошло ее становление как новой науки — полноправного раздела теоретической физики. В это время были выдвинуты новые фундаментальные идеи — кванта энергии и света, стационарных состояний атомных систем и переходов между ними, принципа соответствия и корпускулярно-волнового дуализма для излучения и микрочастиц.

Решив задачу описания простейшего из атомов — атома водорода, квантовая механика в настоящее время применяется для решения разнообразных проблем физики микроскопических явлений — в теории атомов и молекул, ядер, элементарных частиц, в теории столкновений и теории излучения. Как было установлено, квантовые свойства частиц проявляются в таких физических явлениях, как сверхпроводимость, ферромагнетизм, сверхтекучесть.

В 1932 г. Вернеру Гейзенбергу была присуждена Нобелевская премия по физике за разработку основ квантовой механики. В 1933 г. «за открытие новых форм атомной теории» Эрвин Шредингер был удостоен Нобелевской премии по физике. В 1945 г. В. Паули была присуждена Нобелевская премия по физике за открытие принципа запрета. В 1954 г. М. Борн был удостоен Нобелевской премии за фундаментальные исследования в квантовой механике, в особенности за статистическую интерпретацию волновой функции

Вопросы к параграфу

1. Что изучается в квантовой механике?
2. Объясните принципиальное отличие квантово-механического описания состояния системы от ее классического описания.
3. Почему в квантовой механике понятие траектории частицы не имеет смысла?
4. Сформулируйте принцип запрета Паули. Что могло бы произойти, если бы этот принцип не выполнялся?
5. Сколько квантовых чисел необходимо для определения состояния электрона в атоме?